💡 5. Sınıf Matematik: İki paralel doğru ve bir kesen Çözümlü Örnekler

Bu soruyu çözmek için paralel doğrular ve kesenler konusunda öğrendiğimiz temel açılar arasındaki ilişkileri kullanacağız.

• Yöndeş Açılar: Yöndeş açılar her zaman birbirine eşittir. Kesişim noktasında oluşan 70 derecelik açının yöndeş olduğu diğer açı da 70 derecedir.
• Tümler Açılar: Birbirini 90 dereceye tamamlayan açılardır.
• Bütünler Açılar: Birbirini 180 dereceye tamamlayan açılardır.
• Ters Açılar: Kesişim noktasının tam karşısında bulunan açılardır ve birbirine eşittir.

Şimdi açılarımızı bulalım:

• Verilen açı 70 derece.
• Bu açının ters açısı da 70 derecedir.
• Bu 70 derecelik açının bütünler açısı \( 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \) olur.
• Bu 110 derecelik açının da ters açısı 110 derecedir.

Yani, kesişimde oluşan açılar 70 derece, 110 derece, 70 derece ve 110 derecedir. ✅

Evet, iki paralel doğruyu kesen bir üçüncü doğru çizildiğinde oluşan iç ters açılar birbirine eşittir. 👍 Bunun nedeni şöyledir:

• Öncelikle, paralel doğrular ve kesen oluşturduğunda yöndeş açıların birbirine eşit olduğunu biliyoruz.
• Ayrıca, bir doğru üzerindeki iki komşu açının toplamının bütünler açı olduğu için \( 180^\circ \) olduğunu biliyoruz.
• İç ters açılar, bir yöndeş açı ile aynı doğru üzerindeki bütünler açının ters açısıdır. Bu iki ilişki birleştiğinde iç ters açıların eşit olduğu sonucuna varılır.

Bu özellik, geometrik çizimlerde ve problemlerde sıkça kullanılır. 💡

Bu soruda iç ters açıların özelliğini kullanacağız.

• Soruda verilen bilgiye göre \( \alpha \) ve \( \beta \) iç ters açılardır.
• İç ters açıların birbirine eşit olduğunu biliyoruz.
• Verilen \( \alpha \) açısı \( 55^\circ \) olarak belirtilmiş.

Bu durumda, \( \beta \) açısı da \( \alpha \) açısına eşit olmalıdır. \[ \beta = \alpha \] \[ \beta = 55^\circ \] Yani, \( \beta \) açısı 55 derecedir. ✅

İki paralel doğruyu kesen bir üçüncü doğru çizildiğinde, oluşan karşı durumlu açıların toplamı her zaman \( 180^\circ \) olur. Bu açılar birbirini bütünler. 👉 Bunu şu şekilde açıklayabiliriz:

• Karşı durumlu açılar, paralel doğruların arasında ve kesenin aynı tarafında bulunan açılardır.
• Bu açılardan biri ile diğer paralel doğru üzerindeki yöndeş açısı, bir doğru üzerindedir ve toplamları \( 180^\circ \) olur (bütünler açılar).
• Dolayısıyla, karşı durumlu açıların toplamı da \( 180^\circ \) olur.

Bu kural, problemleri çözerken bize büyük kolaylık sağlar. 💡

Bu problem, iki paralel doğru ve bir kesen arasındaki açı ilişkilerini günlük hayata uyarlayan bir örnektir.

• Ahşap parçaları birbirine paraleldir.
• Destek çubuğu ise bu paralel doğruları kesen bir kesendir.
• Destek çubuğunun bir ahşap parçasıyla yaptığı açı 65 derece olarak verilmiş. Bu açı, kesen ile paralel doğru arasındaki açılardan biridir.

Şimdi diğer ahşap parçasıyla yaptığı açıyı bulalım:

• Paralel doğruları kesen bir doğrunun oluşturduğu açılarda, iç ters açılar birbirine eşittir.
• Ayrıca, yöndeş açılar da birbirine eşittir.
• Destek çubuğunun bir ahşap parçasıyla yaptığı 65 derecelik açının, diğer ahşap parçasıyla yaptığı iç ters açısı da 65 derece olacaktır.
• Eğer destek çubuğunun diğer ahşap parçasıyla yaptığı açıları da düşünürsek, 65 derecenin bütünleri olan \( 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ \) açıları da oluşacaktır.

Sonuç olarak, destek çubuğunun diğer ahşap parçasıyla yaptığı açılardan biri 65 derece, diğeri ise 115 derecedir. Marangoz ustası, hangi açıyı ölçtüğüne bağlı olarak bu değerlerden birini bulacaktır. ✅

Bu durum, paralel doğrular ve kesen kavramının günlük hayattaki bir uygulamasıdır.

• Tren rayları birbirine paraleldir.
• Köprü ise bu paralel rayları kesen bir kesendir.
• Köprünün bir rayla yaptığı açı 40 derece olarak verilmiş.

Bu bilgiyi kullanarak diğer rayla ilgili açılar hakkında şunları söyleyebiliriz:

• Köprünün diğer rayla yaptığı iç ters açı da 40 derece olacaktır. Çünkü iç ters açılar birbirine eşittir.
• Köprünün diğer rayla yaptığı yöndeş açı da 40 derece olacaktır.
• Köprünün diğer rayla yaptığı karşı durumlu açı ise \( 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ \) olacaktır. Çünkü karşı durumlu açıların toplamı \( 180^\circ \) dir.
• Ayrıca, 40 derecenin bütünler açısı \( 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ \) olacaktır.

Yani, köprünün diğer rayla yaptığı açılar 40 derece ve 140 derece olacaktır. 💡

Bu soruda karşı durumlu açıların özelliğini kullanacağız.

• Soruda verilen bilgiye göre \( x \) ve \( y \) karşı durumlu açılardır.
• Karşı durumlu açıların toplamının \( 180^\circ \) olduğunu biliyoruz.
• Verilen \( x \) açısı \( 72^\circ \) olarak belirtilmiş.

Bu durumda, \( y \) açısını bulmak için şu işlemi yaparız: \[ x + y = 180^\circ \] \[ 72^\circ + y = 180^\circ \] \[ y = 180^\circ - 72^\circ \] \[ y = 108^\circ \] Yani, \( y \) açısı 108 derecedir. ✅

Bu problem, paralel doğrular ve kesen kavramının mimari bir tasarımda nasıl kullanıldığını gösterir.

• İki duvar çizgisi birbirine paraleldir.
• Merdiven ise bu paralel duvar çizgilerini kesen bir kesendir.
• Merdivenin bir duvar çizgisiyle yaptığı açı 75 derece olarak verilmiş.

Şimdi merdivenin diğer duvar çizgisiyle yaptığı açıyı bulalım:

• Merdivenin bir duvar çizgisiyle yaptığı 75 derecelik açı, diğer duvar çizgisiyle iç ters açı oluşturur.
• İç ters açıların birbirine eşit olduğunu bildiğimiz için, merdivenin diğer duvar çizgisiyle yaptığı iç ters açı da 75 derece olacaktır.
• Matematiksel olarak ifade edersek: Eğer \( \alpha \) bir duvar çizgisiyle yapılan açı ve \( \beta \) diğer duvar çizgisiyle yapılan iç ters açı ise,

\[ \alpha = \beta \] \[ 75^\circ = \beta \] Dolayısıyla, merdivenin diğer duvar çizgisiyle yaptığı açılardan biri 75 derecedir. Diğer açılar ise \( 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ \) olacaktır. Mimari tasarımda bu açılar, merdivenin güvenli ve estetik duruşunu belirler. 👍