💡 5. Sınıf Matematik: Doğal sayılar üslü sayılar Çözümlü Örnekler

Bu soruyu üslü sayılarla ifade etmek için öncelikle tekrar eden sayıyı ve kaç kere tekrar ettiğini bulmalıyız.

• Tekrar eden sayı: 3
• Tekrar etme sayısı (kaç kere çarpıldığı): 4

Üslü sayılarda taban, tekrar eden sayıdır. Üs ise sayının kaç kere tekrar ettiğini gösterir.
Bu durumda, 3 sayısının 4 kere kendisiyle çarpımı şu şekilde üslü biçimde gösterilir:
\[ 3^4 \] Burada 3 taban, 4 ise üsstür.
Hesaplaması ise şöyledir: \( 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81 \).
Yani, \( 3^4 = 81 \). 💡

"5'in karesi" ifadesi, 5 sayısının kendisiyle 2 kere çarpılması anlamına gelir.
Bunu üslü sayı olarak şu şekilde yazarız:
\[ 5^2 \] Burada taban 5, üs ise 2'dir.
Değerini hesaplamak için 5'i kendisiyle çarparız:
\( 5 \times 5 = 25 \)
Dolayısıyla, 5'in karesi \( 5^2 = 25 \) 'tir. ✅

"10'un küpü" demek, 10 sayısının kendisiyle 3 kere çarpılması demektir.
Üslü sayılarda bu ifadeyi şu şekilde gösteririz:
\[ 10^3 \] Burada taban 10'dur ve üs 3'tür. Bu, 10 sayısının kendisiyle 3 defa çarpıldığını ifade eder. 📌

Bu soruda iki farklı üslü sayının değerini hesaplamamız isteniyor.

• a) \( 2^5 \) 'in Hesaplanması:
Bu ifade, 2 sayısının kendisiyle 5 kere çarpılması anlamına gelir.
\( 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32 \)
Yani, \( 2^5 = 32 \). 👉
• b) \( 7^2 \) 'nin Hesaplanması:
Bu ifade, 7 sayısının kendisiyle 2 kere çarpılması anlamına gelir (7'nin karesi).
\( 7 \times 7 = 49 \)
Yani, \( 7^2 = 49 \).

Karenin alanı, bir kenar uzunluğunun kendisiyle çarpılmasıyla bulunur.
Karenin bir kenar uzunluğu 6 cm olarak verilmiş.
Karenin alanı = Kenar uzunluğu \( \times \) Kenar uzunluğu
Karenin alanı = \( 6 \text{ cm} \times 6 \text{ cm} \)
Bunu üslü sayılarla ifade edersek:
Alan = \( 6^2 \) \( \text{cm}^2 \)
Şimdi değerini hesaplayalım:
\( 6 \times 6 = 36 \)
Dolayısıyla, karenin alanı \( 36 \) \( \text{cm}^2 \) 'dir. 💡

Bu problemi adım adım çözelim:

• 1. Seviye: 5 düşman
• 2. Seviye: 1. seviyedeki düşman sayısının 3 katı.
  \( 5 \times 3 = 15 \) düşman
• 3. Seviye: 2. seviyedeki düşman sayısının 3 katı.
  \( 15 \times 3 = 45 \) düşman

Şimdi bu durumu üslü sayılarla ifade edelim.
Başlangıçta 5 düşman var. Her seviyede 3 ile çarpılıyor.
1. seviye: \( 5 \)
2. seviye: \( 5 \times 3 = 5 \times 3^1 \)
3. seviye: \( (5 \times 3) \times 3 = 5 \times 3^2 \)
Yani 3. seviyedeki düşman sayısı \( 5 \times 3^2 \) şeklinde üslü olarak ifade edilir.
Hesaplaması ise: \( 5 \times (3 \times 3) = 5 \times 9 = 45 \). ✅

Bu soruda, bakteri sayısının her saat 2 katına çıktığı bilgisi verilmiş. Başlangıçta 4 bakteri var.
Bu durumu üslü sayılarla modelleyebiliriz.
Başlangıç sayısı: 4
Her saat 2 ile çarpılıyor, yani üs 2 olacak.

• 0 saat sonra (başlangıç): \( 4 \)
• 1 saat sonra: \( 4 \times 2 = 4 \times 2^1 \)
• 2 saat sonra: \( (4 \times 2) \times 2 = 4 \times 2^2 \)
• 3 saat sonra: \( (4 \times 2^2) \times 2 = 4 \times 2^3 \)
• ...
• 5 saat sonra: \( 4 \times 2^5 \)

5 saat sonraki bakteri sayısı üslü olarak \( 4 \times 2^5 \) şeklinde ifade edilir.
Şimdi bu sayıyı hesaplayalım:
Önce üslü kısmı hesaplarız: \( 2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32 \).
Sonra başlangıç sayısı ile çarparız: \( 4 \times 32 = 128 \).
Dolayısıyla, 5 saat sonra 128 bakteri olur. 💡

Bu denklemde, 3 sayısının hangi kuvvetinin 81'e eşit olduğunu bulmamız gerekiyor.
Bunu yapmak için 3'ü kendisiyle çarparak 81'e ulaşmaya çalışalım:

• \( 3^1 = 3 \)
• \( 3^2 = 3 \times 3 = 9 \)
• \( 3^3 = 9 \times 3 = 27 \)
• \( 3^4 = 27 \times 3 = 81 \)

81 sayısını \( 3^4 \) olarak ifade edebildiğimizi gördük.
O halde denklemimiz şu hale gelir:
\[ 3^x = 3^4 \] Tabanlar aynı olduğu için üsler de eşit olmalıdır.
Bu durumda, \( x = 4 \) olmalıdır. ✅