💡 5. Sınıf Matematik: Çarpanlar ve katlar Çözümlü Örnekler
1
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
💡 12 sayısının tüm çarpanlarını (bölenlerini) bulunuz.
Bir sayının çarpanlarını bulmak, o sayıyı tam bölen sayıları bulmak demektir.
Çözüm ve Açıklama
12 sayısını elde etmek için hangi iki doğal sayıyı çarpabileceğimizi düşünelim:
\( 1 \times 12 = 12 \)
\( 2 \times 6 = 12 \)
\( 3 \times 4 = 12 \)
Bu durumda 12 sayısının çarpanları küçükten büyüğe şu şekildedir:
✅ 1, 2, 3, 4, 6 ve 12
2
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
🚀 8 sayısının 50'den küçük olan katlarını yazınız.
Bir sayının katlarını bulmak için o sayıyı sırasıyla 1, 2, 3... gibi doğal sayılarla çarparız.
Çözüm ve Açıklama
8 sayısının katlarını adım adım hesaplayalım:
\( 8 \times 1 = 8 \)
\( 8 \times 2 = 16 \)
\( 8 \times 3 = 24 \)
\( 8 \times 4 = 32 \)
\( 8 \times 5 = 40 \)
\( 8 \times 6 = 48 \)
Bir sonraki kat \( 8 \times 7 = 56 \) olacağı için ve bizden 50'den küçük olanlar istendiği için listemiz şöyledir:
✅ 8, 16, 24, 32, 40 ve 48
3
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
🔍 20 sayısının çarpanlarından kaç tanesi tek sayıdır?
Önce 20'nin tüm çarpanlarını listeleyelim, ardından içlerinden tek olanları seçelim.
Çözüm ve Açıklama
20 sayısının çarpanlarını bulalım:
\( 1 \times 20 = 20 \)
\( 2 \times 10 = 20 \)
\( 4 \times 5 = 20 \)
20'nin tüm çarpanları: 1, 2, 4, 5, 10, 20
Bu sayılar arasından tek olanları işaretleyelim:
1 (Tek sayı)
5 (Tek sayı)
✅ Cevap: 20 sayısının çarpanlarından 2 tanesi (1 ve 5) tek sayıdır.
4
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
🍎 Bir manav, elindeki 30 adet elmayı her pakette eşit sayıda elma olacak şekilde paketlemek istiyor. Manavın her bir pakete koyabileceği elma sayısı seçeneklerini bulunuz.
Çözüm ve Açıklama
Manavın elmaları eşit paylaştırabilmesi için paket sayısının 30'un bir çarpanı olması gerekir. 30'un çarpanlarını bulalım:
\( 1 \times 30 = 30 \) (1'er elmalı 30 paket)
\( 2 \times 15 = 30 \) (2'şer elmalı 15 paket)
\( 3 \times 10 = 30 \) (3'er elmalı 10 paket)
\( 5 \times 6 = 30 \) (5'er elmalı 6 paket)
\( 6 \times 5 = 30 \) (6'şar elmalı 5 paket)
\( 10 \times 3 = 30 \) (10'ar elmalı 3 paket)
\( 15 \times 2 = 30 \) (15'er elmalı 2 paket)
\( 30 \times 1 = 30 \) (30 elmalı 1 tek paket)
✅ Sonuç: Bir pakete 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 veya 30 adet elma konulabilir.
5
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
🚌 Bir duraktan her 15 dakikada bir otobüs geçmektedir. Sabah saat 08:00'de ilk otobüs geçtiğine göre, saat 09:30'a kadar otobüslerin geçtiği dakikaları (katlarını kullanarak) bulunuz.
Çözüm ve Açıklama
Bu soru 15 sayısının katları ile ilgilidir. 08:00 başlangıç anı \( 0 \). dakikadır.
1. Otobüs: 08:00 (Başlangıç)
2. Otobüs: \( 15 \times 1 = 15 \) dakika sonra \( \rightarrow \) 08:15
3. Otobüs: \( 15 \times 2 = 30 \) dakika sonra \( \rightarrow \) 08:30
4. Otobüs: \( 15 \times 3 = 45 \) dakika sonra \( \rightarrow \) 08:45
5. Otobüs: \( 15 \times 4 = 60 \) dakika sonra \( \rightarrow \) 09:00
6. Otobüs: \( 15 \times 5 = 75 \) dakika sonra \( \rightarrow \) 09:15
7. Otobüs: \( 15 \times 6 = 90 \) dakika sonra \( \rightarrow \) 09:30
✅ Otobüslerin geçiş saatleri: 08:00, 08:15, 08:30, 08:45, 09:00, 09:15 ve 09:30'dur.
6
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
🖼️ Alanı 24 santimetrekare olan bir dikdörtgenin kenar uzunlukları santimetre cinsinden birer doğal sayıdır. Bu dikdörtgenin çevre uzunluğu en az kaç santimetre olabilir?
İpucu: Çevrenin küçük olması için kenar uzunluklarının birbirine en yakın çarpanlar olması gerekir.
Çözüm ve Açıklama
Alanı 24 ise, kısa ve uzun kenarın çarpımı 24 olmalıdır. 24'ün çarpan çiftlerini (kenar uzunluklarını) yazalım:
1 ve 24 için Çevre: \( 1 + 24 + 1 + 24 = 50 \) cm
2 ve 12 için Çevre: \( 2 + 12 + 2 + 12 = 28 \) cm
3 ve 8 için Çevre: \( 3 + 8 + 3 + 8 = 22 \) cm
4 ve 6 için Çevre: \( 4 + 6 + 4 + 6 = 20 \) cm
Hesapladığımız çevre uzunlukları: 50, 28, 22 ve 20'dir.
✅ En az çevre uzunluğu: 20 cm olur.
7
Çözümlü Örnek
Zor Seviye
⭐ Hem 4'ün hem de 6'nın katı olan, 50'den küçük doğal sayıları bulunuz.
Bu sayıları bulmak için her iki sayının da katlarını listeyip ortak olanları seçmeliyiz.
Şimdi her iki listede de bulunan ortak sayıları işaretleyelim:
12
24
36
48
✅ Ortak katlar: 12, 24, 36 ve 48'dir.
8
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
🧩 Bir sayının çarpanları küçükten büyüğe sıralandığında baştan ve sondan aynı sıradaki sayıların çarpımı o sayıyı verir. 1, 2, a, 6, 9, b Yukarıda bir sayının tüm çarpanları küçükten büyüğe sıralanmıştır. Buna göre \( a + b \) toplamı kaçtır?
Çözüm ve Açıklama
Kurala göre en baştaki ile en sondakinin çarpımı sayının kendisini verir:
Sayımız \( 1 \times b \) 'ye eşittir.
Aynı zamanda \( 2 \times 9 = 18 \) 'e eşittir.
Buradan sayımızın 18 olduğunu anlıyoruz. Şimdi eksik çarpanları bulalım:
\( 1 \times b = 18 \rightarrow b = 18 \)
\( 2 \times 9 = 18 \)
\( a \times 6 = 18 \rightarrow a = 3 \)
Bizden istenen \( a + b \) toplamı:
✅ \( 3 + 18 = 21 \)
5. Sınıf Matematik: Çarpanlar ve katlar Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
💡 12 sayısının tüm çarpanlarını (bölenlerini) bulunuz.
Bir sayının çarpanlarını bulmak, o sayıyı tam bölen sayıları bulmak demektir.
Çözüm:
12 sayısını elde etmek için hangi iki doğal sayıyı çarpabileceğimizi düşünelim:
\( 1 \times 12 = 12 \)
\( 2 \times 6 = 12 \)
\( 3 \times 4 = 12 \)
Bu durumda 12 sayısının çarpanları küçükten büyüğe şu şekildedir:
✅ 1, 2, 3, 4, 6 ve 12
Örnek 2:
🚀 8 sayısının 50'den küçük olan katlarını yazınız.
Bir sayının katlarını bulmak için o sayıyı sırasıyla 1, 2, 3... gibi doğal sayılarla çarparız.
Çözüm:
8 sayısının katlarını adım adım hesaplayalım:
\( 8 \times 1 = 8 \)
\( 8 \times 2 = 16 \)
\( 8 \times 3 = 24 \)
\( 8 \times 4 = 32 \)
\( 8 \times 5 = 40 \)
\( 8 \times 6 = 48 \)
Bir sonraki kat \( 8 \times 7 = 56 \) olacağı için ve bizden 50'den küçük olanlar istendiği için listemiz şöyledir:
✅ 8, 16, 24, 32, 40 ve 48
Örnek 3:
🔍 20 sayısının çarpanlarından kaç tanesi tek sayıdır?
Önce 20'nin tüm çarpanlarını listeleyelim, ardından içlerinden tek olanları seçelim.
Çözüm:
20 sayısının çarpanlarını bulalım:
\( 1 \times 20 = 20 \)
\( 2 \times 10 = 20 \)
\( 4 \times 5 = 20 \)
20'nin tüm çarpanları: 1, 2, 4, 5, 10, 20
Bu sayılar arasından tek olanları işaretleyelim:
1 (Tek sayı)
5 (Tek sayı)
✅ Cevap: 20 sayısının çarpanlarından 2 tanesi (1 ve 5) tek sayıdır.
Örnek 4:
🍎 Bir manav, elindeki 30 adet elmayı her pakette eşit sayıda elma olacak şekilde paketlemek istiyor. Manavın her bir pakete koyabileceği elma sayısı seçeneklerini bulunuz.
Çözüm:
Manavın elmaları eşit paylaştırabilmesi için paket sayısının 30'un bir çarpanı olması gerekir. 30'un çarpanlarını bulalım:
\( 1 \times 30 = 30 \) (1'er elmalı 30 paket)
\( 2 \times 15 = 30 \) (2'şer elmalı 15 paket)
\( 3 \times 10 = 30 \) (3'er elmalı 10 paket)
\( 5 \times 6 = 30 \) (5'er elmalı 6 paket)
\( 6 \times 5 = 30 \) (6'şar elmalı 5 paket)
\( 10 \times 3 = 30 \) (10'ar elmalı 3 paket)
\( 15 \times 2 = 30 \) (15'er elmalı 2 paket)
\( 30 \times 1 = 30 \) (30 elmalı 1 tek paket)
✅ Sonuç: Bir pakete 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 veya 30 adet elma konulabilir.
Örnek 5:
🚌 Bir duraktan her 15 dakikada bir otobüs geçmektedir. Sabah saat 08:00'de ilk otobüs geçtiğine göre, saat 09:30'a kadar otobüslerin geçtiği dakikaları (katlarını kullanarak) bulunuz.
Çözüm:
Bu soru 15 sayısının katları ile ilgilidir. 08:00 başlangıç anı \( 0 \). dakikadır.
1. Otobüs: 08:00 (Başlangıç)
2. Otobüs: \( 15 \times 1 = 15 \) dakika sonra \( \rightarrow \) 08:15
3. Otobüs: \( 15 \times 2 = 30 \) dakika sonra \( \rightarrow \) 08:30
4. Otobüs: \( 15 \times 3 = 45 \) dakika sonra \( \rightarrow \) 08:45
5. Otobüs: \( 15 \times 4 = 60 \) dakika sonra \( \rightarrow \) 09:00
6. Otobüs: \( 15 \times 5 = 75 \) dakika sonra \( \rightarrow \) 09:15
7. Otobüs: \( 15 \times 6 = 90 \) dakika sonra \( \rightarrow \) 09:30
✅ Otobüslerin geçiş saatleri: 08:00, 08:15, 08:30, 08:45, 09:00, 09:15 ve 09:30'dur.
Örnek 6:
🖼️ Alanı 24 santimetrekare olan bir dikdörtgenin kenar uzunlukları santimetre cinsinden birer doğal sayıdır. Bu dikdörtgenin çevre uzunluğu en az kaç santimetre olabilir?
İpucu: Çevrenin küçük olması için kenar uzunluklarının birbirine en yakın çarpanlar olması gerekir.
Çözüm:
Alanı 24 ise, kısa ve uzun kenarın çarpımı 24 olmalıdır. 24'ün çarpan çiftlerini (kenar uzunluklarını) yazalım:
1 ve 24 için Çevre: \( 1 + 24 + 1 + 24 = 50 \) cm
2 ve 12 için Çevre: \( 2 + 12 + 2 + 12 = 28 \) cm
3 ve 8 için Çevre: \( 3 + 8 + 3 + 8 = 22 \) cm
4 ve 6 için Çevre: \( 4 + 6 + 4 + 6 = 20 \) cm
Hesapladığımız çevre uzunlukları: 50, 28, 22 ve 20'dir.
✅ En az çevre uzunluğu: 20 cm olur.
Örnek 7:
⭐ Hem 4'ün hem de 6'nın katı olan, 50'den küçük doğal sayıları bulunuz.
Bu sayıları bulmak için her iki sayının da katlarını listeyip ortak olanları seçmeliyiz.
Şimdi her iki listede de bulunan ortak sayıları işaretleyelim:
12
24
36
48
✅ Ortak katlar: 12, 24, 36 ve 48'dir.
Örnek 8:
🧩 Bir sayının çarpanları küçükten büyüğe sıralandığında baştan ve sondan aynı sıradaki sayıların çarpımı o sayıyı verir. 1, 2, a, 6, 9, b Yukarıda bir sayının tüm çarpanları küçükten büyüğe sıralanmıştır. Buna göre \( a + b \) toplamı kaçtır?
Çözüm:
Kurala göre en baştaki ile en sondakinin çarpımı sayının kendisini verir:
Sayımız \( 1 \times b \) 'ye eşittir.
Aynı zamanda \( 2 \times 9 = 18 \) 'e eşittir.
Buradan sayımızın 18 olduğunu anlıyoruz. Şimdi eksik çarpanları bulalım: