💡 12. Sınıf Matematik: Üslü sayılar Çözümlü Örnekler

💡 Çözüm:
Bir fonksiyonun üstel fonksiyon belirtebilmesi için tabanının pozitif bir gerçek sayı olması ve 1'e eşit olmaması gerekir.
Genel tanımıyla \( f(x) = b^x \) fonksiyonunda:

• \( b > 0 \) olmalıdır.
• \( b \neq 1 \) olmalıdır.

Bu kuralları sorumuzdaki taban olan \( a - 4 \) ifadesine uygulayalım:

1. Birinci Şart:
   \( a - 4 > 0 \implies a > 4 \) olmalıdır.
2. İkinci Şart:
   \( a - 4 \neq 1 \implies a \neq 5 \) olmalıdır.

✅ Sonuç:
Bu iki şartı birleştirdiğimizde, \( a \) parametresinin alabileceği en geniş değer aralığı: \[ (4, \infty) \setminus \{5\} \] olarak bulunur.

💡 Çözüm:
Verilen fonksiyon değerlerini adım adım hesaplayalım:

• \( f(1) \) değerini bulalım:
  Fonksiyonda \( x \) yerine \( 1 \) yazıyoruz:
  \( f(1) = 3^{1+2} - 5 \)
  \( f(1) = 3^3 - 5 \)
  \( f(1) = 27 - 5 = 22 \)


• \( f(-1) \) değerini bulalım:
  Fonksiyonda \( x \) yerine \( -1 \) yazıyoruz:
  \( f(-1) = 3^{-1+2} - 5 \)
  \( f(-1) = 3^1 - 5 \)
  \( f(-1) = 3 - 5 = -2 \)

👉 Toplam Değeri:
Bulduğumuz değerleri toplayalım: \[ f(1) + f(-1) = 22 + (-2) = 20 \] ✅ Cevap: \( 20 \) olarak bulunur.

💡 Çözüm:
Üslü denklemleri çözerken tabanları eşitlemek en pratik yöntemdir. Hem 9 hem de 27 sayıları 3'ün kuvvetleridir.

• \( 9 = 3^2 \)
• \( 27 = 3^3 \)

Şimdi bu değerleri denklemde yerine yazalım: \[ (3^2)^{x-1} = (3^3)^{2x-4} \] Üssün üssü alınırken üsler çarpılır kuralını uygulayalım: \[ 3^{2(x-1)} = 3^{3(2x-4)} \] \[ 3^{2x-2} = 3^{6x-12} \] Tabanlar eşit olduğuna göre üsler de eşit olmalıdır: \[ 2x - 2 = 6x - 12 \] Bilinmeyenleri bir tarafa toplayalım: \[ 12 - 2 = 6x - 2x \] \[ 10 = 4x \] \[ x = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} \] ✅ Cevap: \( x = \frac{5}{2} \) olarak elde edilir.

💡 Çözüm:
Günlük hayattaki büyüme durumlarını üstel fonksiyonlarla modelleyebiliriz.

• a) Fonksiyon Modeli:
  Başlangıçtaki bakteri sayısı (yani \( t = 0 \) anında): \( 500 \)
  1 saat sonra: \( 500 \times 3 \)
  2 saat sonra: \( 500 \times 3 \times 3 = 500 \times 3^2 \)
  Bu durumda \( t \) saat sonraki bakteri sayısını veren fonksiyon:
  \( f(t) = 500 \times 3^t \) olarak modellenir.


• b) 4 Saat Sonraki Bakteri Sayısı:
  Modelimizde \( t = 4 \) yazalım:
  \( f(4) = 500 \times 3^4 \)
  \( 3^4 = 81 \) olduğunu biliyoruz.
  \( f(4) = 500 \times 81 \)
  \( f(4) = 40500 \)

✅ Cevap:
a) Model: \( f(t) = 500 \times 3^t \)
b) 4 saat sonraki bakteri sayısı: \( 40500 \)

💡 Çözüm:
Radyoaktif bozunma problemleri azalan üstel fonksiyonlar ile modellenir.

• Başlangıç kütlesi: \( 80 \) gram
• Yarı ömür süresi: \( 20 \) yıl
• Geçen toplam süre: \( 60 \) yıl

Geçen süre içinde elementin kaç kez yarıya ineceğini bulalım: \[ \text{Yarılanma sayısı} = \frac{60}{20} = 3 \] Demek ki element kütlesi ardışık olarak 3 kez yarıya inecektir. Bunu üstel olarak modelleyelim: \[ M(t) = 80 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{20}} \] \( t = 60 \) için hesaplama yapalım: \[ M(60) = 80 \times \left(\frac{1}{2}\right)^3 \] \[ M(60) = 80 \times \frac{1}{8} \] \[ M(60) = 10 \] ✅ Cevap: 60 yıl sonra geriye \( 10 \) gram radyoaktif element kalır.

💡 Çözüm:
Bu tür denklemlerde değişken değiştirme yöntemi kullanarak denklemi ikinci dereceden bir denkleme dönüştürebiliriz.

• \( 2^x = u \) olsun.
• Bu durumda \( 4^x = (2^x)^2 = u^2 \) olur.

Şimdi bu ifadeleri denklemde yerine yazalım: \[ u^2 - 6u + 8 = 0 \] Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayıralım: \[ (u - 4)(u - 2) = 0 \] Buradan iki farklı \( u \) değeri elde ederiz:

1. \( u = 4 \)
2. \( u = 2 \)

Şimdi başlangıçta yaptığımız \( 2^x = u \) dönüşümüne geri dönelim:

• Durum 1:
  \( 2^x = 4 \implies 2^x = 2^2 \implies x = 2 \)
• Durum 2:
  \( 2^x = 2 \implies 2^x = 2^1 \implies x = 1 \)

✅ Çözüm Kümesi:
\[ \text{Ç.K.} = \{1, 2\} \] olarak bulunur.

💡 Çözüm:
Bir üstel fonksiyonun azalan olabilmesi için tabanının 0 ile 1 arasında olması gerekir.
Yani \( f(x) = b^x \) fonksiyonunda \( 0 < b < 1 \) şartı aranır. Sorumuzdaki taban ifadesini bu eşitsizliğe yerleştirelim: \[ 0 < \frac{3k - 12}{6} < 1 \] Eşitsizliğin her tarafını 6 ile çarpalım: \[ 0 < 3k - 12 < 6 \] Her tarafa 12 ekleyelim: \[ 12 < 3k < 18 \] Her tarafı 3'e bölelim: \[ 4 < k < 6 \] ✅ Sonuç:
Bu aralıktaki tek \( k \) tam sayı değeri \( 5 \)'tir. Dolayısıyla \( k = 5 \) olmalıdır.

💡 Çözüm:
Her ay %20 artış olması, mevcut kullanıcı sayısının her ay \( 1 + 0.20 = 1.2 \) katına çıkması anlamına gelir. Bu durumu üstel fonksiyon olarak modelleyebiliriz.

• Başlangıç değeri: \( 10000 \)
• Artış oranı: %20
• Büyüme çarpanı: \( 1.2 \)

\( t \) ay sonraki kullanıcı sayısını veren fonksiyon: \[ K(t) = 10000 \times (1.2)^t \] Bizden 3 ay sonraki değer istendiği için \( t = 3 \) yazalım: \[ K(3) = 10000 \times (1.2)^3 \] Öncelikle \( (1.2)^3 \) değerini hesaplayalım: \[ 1.2 \times 1.2 \times 1.2 = 1.728 \] Şimdi bu değeri başlangıç miktarı ile çarpalım: \[ K(3) = 10000 \times 1.728 \] \[ K(3) = 17280 \] ✅ Cevap: 3 ay sonra uygulamayı kullanan kişi sayısı \( 17280 \) olacaktır.