💡 12. Sınıf Matematik: Türevin geometrik yorumu Çözümlü Örnekler

Bir fonksiyonun herhangi bir noktadaki teğetinin eğimi, o noktadaki türevine eşittir. Adım adım çözelim:

• 1. Adım: Fonksiyonun türevini alalım.
  \[ f'(x) = 2x + 4 \]
• 2. Adım: Teğetin eğimini bulmak için türev fonksiyonunda \( x = 1 \) yazalım.
  \[ m = f'(1) \]
• 3. Adım: Hesaplamayı yapalım.
  \[ m = 2 \cdot 1 + 4 = 6 \]

✅ Sonuç: Fonksiyonun \( x = 1 \) noktasındaki teğetinin eğimi 6'dır.

Teğet denklemi yazmak için teğet noktasına ve eğime ihtiyacımız vardır.

• 1. Adım: Teğet noktasının ordinatını (\( y \) değerini) bulalım.
  \( f(2) = 2^3 - 2 \cdot 2 + 4 = 8 - 4 + 4 = 8 \). Noktamız \( (2, 8) \) olur.
• 2. Adım: Teğetin eğimini (\( m \)) bulmak için türev alalım.
  \[ f'(x) = 3x^2 - 2 \] \[ m = f'(2) = 3 \cdot 2^2 - 2 = 12 - 2 = 10 \]
• 3. Adım: \( y - y_0 = m \cdot (x - x_0) \) formülünü kullanalım.
  \[ y - 8 = 10 \cdot (x - 2) \] \[ y - 8 = 10x - 20 \] \[ y = 10x - 12 \]

✅ Sonuç: Teğet doğrusunun denklemi \( y = 10x - 12 \) olarak bulunur.

Normal doğrusu, teğet doğrusuna değme noktasında dik olan doğrudur.

• 1. Adım: Teğet noktasını bulalım.
  \( f(2) = 2^2 - 3 \cdot 2 + 1 = 4 - 6 + 1 = -1 \). Nokta: \( (2, -1) \).
• 2. Adım: Teğetin eğimini (\( m_t \)) bulalım.
  \[ f'(x) = 2x - 3 \] \[ m_t = f'(2) = 2 \cdot 2 - 3 = 1 \]
• 3. Adım: Normalin eğimini (\( m_n \)) bulalım. Teğet ve normal dik olduğu için çarpımları -1'dir.
  \[ m_t \cdot m_n = -1 \Rightarrow 1 \cdot m_n = -1 \Rightarrow m_n = -1 \]
• 4. Adım: Normal denklemini yazalım.
  \[ y - (-1) = -1 \cdot (x - 2) \] \[ y + 1 = -x + 2 \] \[ y = -x + 1 \]

✅ Sonuç: Normal doğrusunun denklemi \( y = -x + 1 \) şeklindedir.

Paralel doğruların eğimleri birbirine eşittir.

• 1. Adım: Verilen doğrunun eğimini belirleyelim.
  \( y = 5x + 10 \) doğrusunun eğimi 5'tir. O halde teğetin eğimi de \( m = 5 \) olmalıdır.
• 2. Adım: Fonksiyonun türevini alıp 5'e eşitleyelim.
  \[ f'(x) = x^2 - 2x + 5 \] \[ x^2 - 2x + 5 = 5 \] \[ x^2 - 2x = 0 \]
• 3. Adım: Denklemi çözelim.
  \[ x \cdot (x - 2) = 0 \] Buradan \( x = 0 \) veya \( x = 2 \) bulunur.

✅ Sonuç: Eğrinin \( x = 0 \) ve \( x = 2 \) apsisli noktalarındaki teğetleri verilen doğruya paraleldir.

Bu soruda iki temel bilgiyi kullanacağız: Noktanın fonksiyonu sağlaması ve türevin eğime eşit olması.

• 1. Bilgi: \( A(1, 2) \) noktası parabol üzerindedir.
  \( f(1) = 2 \Rightarrow a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + 3 = 2 \)
  \[ a + b = -1 \] (Birinci denklem)
• 2. Bilgi: \( x = 1 \) noktasındaki türev, teğetin eğimine (4) eşittir.
  \[ f'(x) = 2ax + b \] \[ f'(1) = 4 \Rightarrow 2a + b = 4 \] (İkinci denklem)
• 3. Adım: İki denklemi ortak çözelim.
  \( (2a + b) - (a + b) = 4 - (-1) \)
  \( a = 5 \) bulunur.
  \( 5 + b = -1 \Rightarrow b = -6 \) bulunur.
• 4. Adım: Çarpımı hesaplayalım.
  \[ a \cdot b = 5 \cdot (-6) = -30 \]

✅ Sonuç: \( a \cdot b = -30 \) olarak hesaplanır.

Türevin geometrik yorumunda, türev fonksiyonunun işareti asıl fonksiyonun artan veya azalan olduğunu belirler.

• Kural: Eğer \( f'(x) < 0 \) ise fonksiyon o aralıkta azalandır.
• Analiz: Soruda \( f'(x) \) grafiğinin \( (-4, 2) \) aralığında \( x \) ekseninin altında kaldığı belirtilmiştir.
• Sonuç: Bu durum, söz konusu aralıkta \( f'(x) \) değerlerinin negatif olduğu anlamına gelir.

✅ Cevap: \( f(x) \) fonksiyonu \( (-4, 2) \) aralığında azalandır.

Günlük hayatta eğim genellikle dikey değişimin yatay değişime oranı olarak ifade edilir ve türevle hesaplanabilir.

• 1. Adım: Fonksiyonun türevini alarak eğim fonksiyonunu bulalım.
  \[ f'(x) = \frac{1}{8} \cdot 2x = \frac{1}{4}x \]
• 2. Adım: \( x = 4 \) noktasındaki eğimi hesaplayalım.
  \[ m = f'(4) = \frac{1}{4} \cdot 4 = 1 \]
• 3. Adım: Eğimi yüzde cinsinden ifade edelim.
  Eğimin 1 olması, dikey ve yatay değişimin eşit olduğu (45 derecelik açı) anlamına gelir.
  Yüzde olarak: \( 1 = %100 \).

✅ Sonuç: Kaykaycı \( x = 4 \) noktasındayken pistin eğimi %100'dür.

Bu soru, türevin maksimum noktadaki davranışını incelemektedir.

• 1. Adım: Fonksiyonun türevini alalım.
  \[ f'(x) = -0.04x + 0.8 \]
• 2. Adım: En yüksek noktada (yerel maksimum) teğet yere paraleldir. Yatay doğruların eğimi 0'dır.
  \[ -0.04x + 0.8 = 0 \Rightarrow 0.04x = 0.8 \Rightarrow x = 20 \]
• 3. Adım: \( x = 20 \) noktasındaki eğimi kontrol edelim.
  \[ f'(20) = 0 \]

Geometrik Anlam: Bir eğrinin ekstremum (maksimum veya minimum) noktalarında, eğer türev varsa, çizilen teğet \( x \) eksenine paraleldir ve eğimi sıfırdır. 💡

✅ Sonuç: En yüksek noktadaki teğetin eğimi 0'dır.