💡 12. Sınıf Matematik: Sayılar temel kavramlar Çözümlü Örnekler

💡 Çözüm Adımları:

• Çarpımları 24 olan tam sayı ikililerini belirleyelim. Sayılar pozitif veya negatif olabilir.
• Pozitif tam sayılar için: \( (1, 24) \), \( (2, 12) \), \( (3, 8) \), \( (4, 6) \).
• Negatif tam sayılar için: \( (-1, -24) \), \( (-2, -12) \), \( (-3, -8) \), \( (-4, -6) \).
• Toplamın en büyük olması için sayıları birbirine en uzak seçmeliyiz. Ancak pozitiflik şartı verilmediği için negatif sayıları da düşünebiliriz.
• Ancak en büyük değeri aradığımız için pozitif büyük sayılar bizim için daha avantajlıdır. \( a = 1 \) ve \( b = 24 \) seçilirse toplam \( 1 + 24 = 25 \) olur.
• Negatiflerin çarpımı da 24 yapar ancak toplamları negatif olacağı için en büyük değeri vermez.
• ✅ Cevap: 25

💡 Çözüm Adımları:

• Toplamları sabit olan sayıların çarpımının en büyük olması için sayılar birbirine en yakın (mümkünse eşit) seçilmelidir.
• Sayılar pozitif tam sayı olduğu için 15 sayısını 3 eşit parçaya bölmeye çalışalım.
• \( 15 / 3 = 5 \) olduğundan sayılarımızı \( x = 5 \), \( y = 5 \) ve \( z = 5 \) olarak seçebiliriz.
• Şimdi bu sayıların çarpımını hesaplayalım: \( 5 \times 5 \times 5 = 125 \).
• ✅ Cevap: 125

💡 Çözüm Adımları:

• Verilen denklem: \( 3x + 4y = 72 \). x ve y doğal sayılar yani \( \{0, 1, 2, 3, ...\} \) kümesinin elemanlarıdır.
• x'in alabileceği ilk değeri bulmak için y yerine 0 verelim: \( 3x + 4(0) = 72 \Rightarrow 3x = 72 \Rightarrow x = 24 \).
• x, y'nin katsayısı olan 4'er 4'er azalırken; y, x'in katsayısı olan 3'er 3'er artar.
• x değerleri sırasıyla şu şekildedir: 24, 20, 16, 12, 8, 4 ve 0.
• Bu örüntüye göre x, 4'er azalarak 0 değerine kadar (0 dahil) inmeli ve doğal sayı şartını sağlamalıdır.
• Terim sayısı formülünden veya direkt sayarak x'in 7 farklı değer alabildiğini görürüz.
• ✅ Cevap: 7

💡 Çözüm Adımları:

• Denklemimiz: \( a \times (b - c) = 35 \). Sağ taraftaki 35 sayısı \( 1 \times 35 \) veya \( 5 \times 7 \) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
• a bir asal sayı olduğu için çarpanlardan biri kesinlikle asal olmalıdır. Bu durumda a sayısı 5 veya 7 olabilir.
• Durum 1: Eğer \( a = 5 \) ise, \( b - c = 7 \) olmalıdır. \( b \) ve \( c \) asal sayılardır. Farkları 7 olan asal sayılar arayalım. \( b = 11 \) ve \( c = 2 \) seçilirse \( 11 - 2 = 9 \) olur ki 7'ye eşit değildir. \( b = 13 \) ve \( c = 6 \) olsa 6 asal değildir. Farkı 7 olan asal sayılar \( 11 \) ve \( 4 \) (4 asal değil) veya \( 17 \) ve \( 10 \) gibi gitmektedir. Buradan uygun asal sayı bulunamaz.
• Durum 2: Eğer \( a = 7 \) ise, \( b - c = 5 \) olmalıdır. Farkları 5 olan asal sayılar arayalım. \( b = 7 \) ve \( c = 2 \) seçilirse \( 7 - 2 = 5 \) olur. Buradaki b ve c asal sayılardır. \( a = 7 \), \( b = 7 \), \( c = 2 \) değerleri tüm şartları sağlar.
• Şimdi toplamı hesaplayalım: \( a + b + c = 7 + 7 + 2 = 16 \).
• ✅ Cevap: 16

💡 Çözüm Adımları:

• Basamak kavramını kullanarak sayıları çözümleyelim.
• \( AB5 \) sayısı basamak analizine göre \( 100A + 10B + 5 \) şeklinde yazılır.
• \( AB \) sayısı ise \( 10A + B \) şeklindedir.
• Soru metnindeki eşitliği kuralım: \( 100A + 10B + 5 = 11 \times (10A + B) - 4 \).
• Parantezi dağıtalım: \( 100A + 10B + 5 = 110A + 11B - 4 \).
• Bilinenleri ve bilinmeyenleri bir tarafa toplayalım: \( 5 + 4 = 110A - 100A + 11B - 10B \).
• İşlemi düzenlersek: \( 9 = 10A + B \) elde edilir.
• \( 10A + B \) ifadesi zaten \( AB \) iki basamaklı sayısının çözümlenmiş halidir. Buradan \( AB = 9 \) çıkmaz çünkü AB iki basamaklı bir sayıdır, bu ifade \( A = 0 \) ve \( B = 9 \) anlamına gelir ancak AB iki basamaklıysa A sıfır olamaz.
• Soruyu tekrar kontrol edelim: \( 9 = 10A + B \) eşitliğini sağlayan rakamlar \( A = 0 \) ve \( B = 9 \) olmalıdır. Eğer AB iki basamaklı deniyorsa burada bir istisna vardır veya A sıfır kabul edilerek tek basamaklı bir ifade gibi düşünülebilir. Soru standart çözümünde \( A = 0 \) ve \( B = 9 \) için \( 09 \) sayısı iki basamaklı kabul edilmez. Tekrar düzenleyelim: \( AB5 = 10 \times (AB) + 5 \). Verilen: \( 10(AB) + 5 = 11(AB) - 4 \).
• Buradan \( AB = 9 \) bulunur. AB iki basamaklı ise bu yazım teknik olarak hatalı durabilir ama rakamları toplamı sorulduğunda \( A = 0, B = 9 \) için toplam 9'dur.
• ✅ Cevap: 9

💡 Çözüm Adımları:

• Rafların yüksekliği hem 12'nin hem de 15'in katı olmalıdır çünkü koliler üst üste konulduğunda rafı tam doldurmaktadır.
• EKOK(12, 15) değerini bulalım. 12 = \( 2^2 \times 3 \), 15 = \( 3 \times 5 \). EKOK = \( 4 \times 3 \times 5 = 60 \) cm.
• Rafın yüksekliği 60 cm ve katları olmalıdır.
• Raf yüksekliği 2 metre (200 cm) ile 3 metre (300 cm) arasındadır.
• 60'ın katları arasından bu aralıkta olanı bulalım: \( 60 \times 4 = 240 \) cm. (240 cm, 200 ile 300 arasındadır).
• Raf yüksekliği 240 cm'dir.
• Mavi koli sayısı: \( 240 / 12 = 20 \) adet.
• Turuncu koli sayısı: \( 240 / 15 = 16 \) adet.
• İki koli sayısı arasındaki fark: \( 20 - 16 = 4 \).
• ✅ Cevap: 4

💡 Çözüm Adımları:

• Hemşirelerin birlikte tekrar nöbet tutması için geçen süre 3 ve 5'in en küçük ortak katı (EKOK) olmalıdır.
• EKOK(3, 5) = 15 gündür. Yani bu iki hemşire her 15 günde bir birlikte nöbet tutar.
• Soru bizden 4. kez birlikte nöbet tutacakları günü istemektedir.
• İlk nöbet zaten gerçekleşmiştir. 4. kez buluşmak için aradan 3 tane 15 günlük süre geçmelidir.
• Geçen toplam gün sayısı: \( 3 \times 15 = 45 \) gündür.
• Haftanın günleri 7 günde bir tekrar ettiği için 45 sayısının 7 ile bölümünden kalanı bulalım: \( 45 = 7 \times 6 + 3 \) olduğundan kalan 3'tür.
• İlk nöbet pazartesi günü tutulduğu için, pazartesi üzerine 3 gün ekleyelim: Salı, Çarşamba, Perşembe.
• ✅ Cevap: Perşembe

💡 Çözüm Adımları:

• 1. Aşama (13 sayısı için): 13 bir asal sayıdır. Kurala göre 2 katının 1 eksiği alınır: \( 13 \times 2 - 1 = 26 - 1 = 25 \). Ekranda 25 yazar.
• 2. Aşama (15 sayısı için): 15 bir asal sayı değildir (bileşik sayıdır). Kurala göre en büyük asal böleni bulunur. 15 sayısının asal bölenleri 3 ve 5'tir. Bunlardan en büyüğü 5'tir. Ekranda 5 yazar.
• 3. Aşama (19 sayısı için): 19 bir asal sayıdır. Kurala göre 2 katının 1 eksiği alınır: \( 19 \times 2 - 1 = 38 - 1 = 37 \). Ekranda 37 yazar.
• Ekranda beliren sayıların toplamı: \( 25 + 5 + 37 = 67 \) olur.
• ✅ Cevap: 67