💡 12. Sınıf Matematik: Sayı kümeleri Çözümlü Örnekler
12. Sınıf Matematik: Sayı kümeleri Çözümlü Örnekler
Aşağıda verilen sayıların ait oldukları en dar sayı kümelerini belirleyiniz:
- \( a = -5 \)
- \( b = \sqrt{16} \)
- \( c = \frac{3}{4} \)
- \( d = \pi \)
- \( a = -5 \): Bu sayı bir tam sayıdır. Negatif olduğu için doğal sayı değildir. En dar kümesi Tam Sayılar Kümesi \( (\mathbb{Z}) \)'dir.
- \( b = \sqrt{16} \): Karekök dışına \( 4 \) olarak çıkar. \( 4 \) bir sayma sayısıdır. En dar kümesi Doğal Sayılar Kümesi \( (\mathbb{N}) \) veya Sayma Sayılarıdır.
- \( c = \frac{3}{4} \): İki tam sayının oranı şeklinde yazılan ve tam sayı olmayan bu değer Rasyonel Sayılar Kümesi \( (\mathbb{Q}) \)'ne aittir.
- \( d = \pi \): Ondalık açılımı düzensiz ve sonsuza giden bir sayıdır. Rasyonel olarak ifade edilemez. Bu yüzden İrrasyonel Sayılar Kümesi \( (\mathbb{Q}') \)'ne aittir.
\( x \) bir rasyonel sayı ve \( y \) bir irrasyonel sayı olmak üzere;
I. \( x + y \)
II. \( x \cdot y \)
III. \( x^{2} \)
ifadelerinden hangisi veya hangileri kesinlikle irrasyonel bir sayıdır? (Not: \( x \neq 0 \) olarak alınız.)
- I. \( x + y \): Bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayının toplamı her zaman irrasyoneldir. Örneğin: \( 2 + \sqrt{3} \) toplamı rasyonel bir sonuç veremez. ✅
- II. \( x \cdot y \): \( x \neq 0 \) şartı verildiği için, sıfır dışındaki bir rasyonel sayı ile irrasyonel sayının çarpımı her zaman irrasyoneldir. Eğer \( x = 0 \) olsaydı sonuç \( 0 \) (rasyonel) olurdu. ✅
- III. \( x^{2} \): Rasyonel bir sayının karesi her zaman rasyoneldir. Örneğin: \( (\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4} \). Bu ifade irrasyonel olamaz. ❌
Bir dalgıç deniz seviyesinin \( 15 \) metre altına dalış yapmış, ardından bulunduğu konumdan \( 7 \) metre yukarı çıkmıştır. Bir dağcı ise deniz seviyesinden \( 120 \) metre yüksekliktedir.
Bu iki kişinin deniz seviyesine göre konumlarını ifade eden sayıların ait olduğu en geniş sayı kümesi nedir ve bu konumların toplamı kaçtır?
- Dalgıcın ilk konumu: Deniz seviyesinin altı negatif ile ifade edilir: \( -15 \).
- Dalgıcın son konumu: \( -15 + 7 = -8 \) metre.
- Dağcının konumu: Deniz seviyesinin üstü pozitif ile ifade edilir: \( +120 \) metre.
- Sayı Kümesi: Bu değerler negatif ve pozitif tam sayılardır. Bu sayıları kapsayan en geniş temel küme Tam Sayılar Kümesi \( (\mathbb{Z}) \)'dir. (Daha geniş olarak Reel Sayılar da denilebilir).
- Konumların Toplamı: \[ (-8) + 120 = 112 \]
Aşağıdaki denklemin Gerçek Sayılar (\( \mathbb{R} \)) ve Karmaşık Sayılar (\( \mathbb{C} \)) kümelerindeki çözüm kümelerini bulunuz:
\[ x^{2} + 25 = 0 \]- Denklemde \( 25 \) karşıya atılırsa: \[ x^{2} = -25 \]
- Gerçek Sayılar Kümesinde (\( \mathbb{R} \)): Hiçbir gerçek sayının karesi negatif olamaz. Bu nedenle gerçek sayılarda çözüm kümesi boş kümedir. \[ ÇK = \emptyset \]
- Karmaşık Sayılar Kümesinde (\( \mathbb{C} \)): \( \sqrt{-1} = i \) tanımını kullanalım.
- \( x = \sqrt{-25} \) veya \( x = -\sqrt{-25} \)
- \( x = 5i \) veya \( x = -5i \)
- Karmaşık sayılardaki çözüm kümesi: \[ ÇK = \{ -5i, 5i \} \]
Sayı doğrusu üzerinde \( A \) noktası \( \sqrt{2} \) sayısını, \( B \) noktası ise \( \sqrt{18} \) sayısını temsil etmektedir. Bu iki nokta arasındaki uzaklık bir \( x \) sayısı ile ifade ediliyor.
Buna göre \( x \) sayısı hangi sayı kümesine aittir?
- \( A = \sqrt{2} \)
- \( B = \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2} \)
- Uzaklık \( x = |B - A| \) formülü ile bulunur: \[ x = 3\sqrt{2} - \sqrt{2} \] \[ x = 2\sqrt{2} \]
- Analiz: \( \sqrt{2} \) irrasyonel bir sayıdır. İrrasyonel bir sayının rasyonel bir katsayı ile çarpımı (sıfır hariç) yine irrasyoneldir.
Aşağıda verilen devirli ondalık sayının rasyonel sayı karşılığını bulunuz ve pay ile paydasının toplamını hesaplayınız:
\[ 1,2\overline{3} \]- Kural: (Sayının tamamı - Devretmeyen kısım) / (Virgülden sonra devreden kadar 9, devretmeyen kadar 0)
- Sayının tamamı: \( 123 \)
- Devretmeyen kısım: \( 12 \)
- Virgülden sonra 1 tane devreden (\( 3 \)), 1 tane devretmeyen (\( 2 \)) var.
- İşlem: \[ \frac{123 - 12}{90} = \frac{111}{90} \]
- Sadeleştirme (her iki tarafı 3'e bölelim): \[ \frac{37}{30} \]
- Pay ve payda toplamı: \( 37 + 30 = 67 \)
\( A = \{ x | -3 < x \leq 5, x \in \mathbb{Z} \} \)
\( B = \{ y | y^{2} < 10, y \in \mathbb{N} \} \)
Olduğuna göre \( A \cap B \) kümesinin eleman sayısını bulunuz.
- A Kümesi (Tam Sayılar): \( -3 \) ile \( 5 \) arasındaki tam sayılar (\( 5 \) dahil). \[ A = \{ -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 \} \]
- B Kümesi (Doğal Sayılar): Karesi \( 10 \)'dan küçük olan doğal sayılar.
- \( 0^{2} = 0 < 10 \) (Uygun)
- \( 1^{2} = 1 < 10 \) (Uygun)
- \( 2^{2} = 4 < 10 \) (Uygun)
- \( 3^{2} = 9 < 10 \) (Uygun)
- \( 4^{2} = 16 > 10 \) (Uygun değil)
- Kesişim Kümesi (\( A \cap B \)): Her iki kümede ortak olan elemanlar. \[ A \cap B = \{ 0, 1, 2, 3 \} \]
Bir bilgisayar programı girilen \( n \) sayısı için şu adımları izliyor:
1. Adım: Sayıyı oku.
2. Adım: Sayı rasyonel ise 3. adıma, irrasyonel ise 4. adıma git.
3. Adım: Sayının karesini al ve ekrana yaz.
4. Adım: Sayının eşleniği ile çarp ve ekrana yaz.
Programa \( n = \sqrt{3} - 1 \) sayısı girilirse ekranda hangi sayı görünür?
- 1. Adım: Girilen sayı \( n = \sqrt{3} - 1 \).
- 2. Adım: \( \sqrt{3} \) irrasyonel olduğu için \( \sqrt{3} - 1 \) sayısı da irrasyoneldir. Bu yüzden 4. adıma gidilir.
- 4. Adım: Sayıyı eşleniği ile çarpalım.
- İrrasyonel \( a - \sqrt{b} \) ifadesinin eşleniği \( a + \sqrt{b} \)'dir.
- \( (\sqrt{3} - 1) \) sayısının eşleniği \( (\sqrt{3} + 1) \) olur.
- Çarpım: \( (\sqrt{3} - 1) \cdot (\sqrt{3} + 1) \)
- İki kare farkı özdeşliğinden: \( (\sqrt{3})^{2} - (1)^{2} \)
- \( 3 - 1 = 2 \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/12-sinif-matematik-sayi-kumeleri/sorular