Problemler Ders Notu

12. sınıf matematik müfredatının en önemli ve günlük hayata en çok uyarlanabilen konularından biri Türev Yardımıyla Çözülen Maksimum ve Minimum Problemleri konusudur. Bu problemler; bir geometrik şeklin alanının en büyük olması, bir şirketin kârının maksimuma ulaştırılması veya bir üretim sürecinde maliyetin en aza indirilmesi gibi optimizasyon durumlarını incelemek amacıyla türevin birinci dereceden uygulamalarını kullanır.

🎯 Maksimum ve Minimum Problemleri Nedir?

Bir fonksiyonun alabileceği en büyük (maksimum) veya en küçük (minimum) değerleri bulma işlemine optimizasyon denir. 12. sınıf düzeyinde bu problemleri çözerken türevin sıfıra eşit olduğu yerel ekstremum noktalarından yararlanırız. Bir fonksiyonun türevinin sıfır olduğu noktalar, o fonksiyonun artanlıktan azalanlığa veya azalanlığa geçiş yaptığı tepe ve çukur noktalarını temsil eder.

Önemli Bilgi: Bir problemin maksimum veya minimum değerini bulmak için öncelikle istenen büyüklüğü tek bir değişkene bağlı bir fonksiyon olarak yazmalı, ardından bu fonksiyonun türevini alıp sıfıra eşitlemeliyiz.

📋 Problemleri Çözme Adımları

Maksimum ve minimum problemlerini sistematik bir şekilde çözmek için aşağıdaki adımları sırasıyla uygulamak kolaylık sağlar:

Adım No	Uygulanacak İşlem
1	Problemde en büyük veya en küçük olması istenen büyüklük belirlenir.
2	Bu büyüklük, tek bir değişken (örneğin \( x \)) cinsinden fonksiyon olarak ifade edilir.
3	Elde edilen fonksiyonun türevi alınır: \( f'(x) \).
4	Türev sıfıra eşitlenerek kritik noktalar bulunur: \( f'(x) = 0 \).
5	Bulunan \( x \) değeri fonksiyonda yerine yazılarak maksimum veya minimum değer hesaplanır.

✍️ Çözümlü Örnekler

Örnek 1: Bahçe Çitleri ile Alan Maksimumlaştırma

Bir çiftçi, düz bir nehir kenarında bulunan dikdörtgen biçimindeki tarlasının üç kenarını tel örgü ile çevirecektir. Nehir kenarına tel çekilmeyecektir. Kullanılacak telin toplam uzunluğu 120 metre olduğuna göre, bu tarlanın alanı en fazla kaç metrekare olabilir?

Çözüm:

Dikdörtgen tarlanın nehre dik olan kısa kenarlarına \( x \) diyelim. Bu durumda nehre paralel olan uzun kenarın uzunluğu toplam tel uzunluğundan kısa kenarlar çıkarılarak bulunur:

\[ y = 120 - 2x \]

Tarlanın alanı \( A \) olsun. Alan formülü kısa kenar ile uzun kenarın çarpımıdır:

\[ A(x) = x \times (120 - 2x) \] \[ A(x) = 120x - 2x^2 \]

Alanın en büyük değerini bulmak için alan fonksiyonunun \( x \) değişkenine göre türevini alıp sıfıra eşitleyelim:

\[ A'(x) = 120 - 4x \] \[ 120 - 4x = 0 \] \[ 4x = 120 \] \[ x = 30 \]

Bulduğumuz \( x = 30 \) değerini alan fonksiyonunda yerine yazarak maksimum alanı hesaplayalım:

\[ A(30) = 30 \times (120 - 2 \times 30) \] \[ A(30) = 30 \times 60 \] \[ A(30) = 1800 \]

Tarlanın alanı en fazla 1800 metrekare olabilir.

Örnek 2: Toplamları Sabit İki Sayının Kareleri Toplamı

Toplamları 20 olan iki pozitif gerçek sayının karelerinin toplamı en az kaç olabilir?

Çözüm:

Bu iki sayı \( x \) ve \( y \) olsun. Sayıların toplamı 20 olduğuna göre:

\[ x + y = 20 \implies y = 20 - x \]

Sayıların karelerinin toplamı \( T \) fonksiyonu ile ifade edilsin:

\[ T(x) = x^2 + y^2 \] \[ T(x) = x^2 + (20 - x)^2 \]

İfadeyi açıp düzenleyelim:

\[ T(x) = x^2 + 400 - 40x + x^2 \] \[ T(x) = 2x^2 - 40x + 400 \]

Kareler toplamının en küçük (minimum) değerini bulmak için fonksiyonun türevini alıp sıfıra eşitleyelim:

\[ T'(x) = 4x - 40 \] \[ 4x - 40 = 0 \] \[ x = 10 \]

Bulduğumuz \( x = 10 \) değerini \( T(x) \) fonksiyonunda yerine yazarak minimum toplamı bulalım:

\[ T(10) = 2 \times (10)^2 - 40 \times 10 + 400 \] \[ T(10) = 200 - 400 + 400 \] \[ T(10) = 200 \]

Bu iki sayının karelerinin toplamı en az 200 olabilir.

Örnek 3: Şirket Kâr Optimizasyonu

Bir teknoloji firmasının ürettiği bir ürünün satış adedine bağlı olarak elde ettiği günlük kâr fonksiyonu \( P(x) = -x^2 + 80x - 1200 \) TL olarak modellenmiştir. Burada \( x \) satılan ürün adedini göstermektedir. Firmanın maksimum kâr elde edebilmesi için günde kaç adet ürün satması gerekir ve bu maksimum kâr kaç TL'dir?

Çözüm:

Kâr fonksiyonu halihazırda tek bir değişkene bağlı olarak verilmiştir:

\[ P(x) = -x^2 + 80x - 1200 \]

Kârın maksimum olması için kâr fonksiyonunun türevini alıp sıfıra eşitlemeliyiz:

\[ P'(x) = -2x + 80 \] \[ -2x + 80 = 0 \] \[ 2x = 80 \] \[ x = 40 \]

Maksimum kâr elde etmek için günde 40 adet ürün satılmalıdır. Maksimum kâr miktarını bulmak için \( x = 40 \) değerini kâr fonksiyonunda yerine yazalım:

\[ P(40) = -(40)^2 + 80 \times 40 - 1200 \] \[ P(40) = -1600 + 3200 - 1200 \] \[ P(40) = 400 \]

Firmanın elde edebileceği maksimum kâr günlük 400 TL olarak bulunur.