💡 12. Sınıf Matematik: Limit ve Türev Çözümlü Örnekler

Fonksiyonun \( x = 2 \) noktasındaki limitini bulmak için, fonksiyonun tanımında \( x \) yerine \( 2 \) yazarız. Bu, fonksiyonun sürekli olduğu noktalarda limitin fonksiyonun değerine eşit olmasından kaynaklanır.

• Fonksiyonu yazalım: \( f(x) = 3x^2 + 2x - 1 \)
• \( x \) yerine \( 2 \) koyalım: \( f(2) = 3(2)^2 + 2(2) - 1 \)
• Hesaplamayı yapalım: \( f(2) = 3(4) + 4 - 1 \)
• \( f(2) = 12 + 4 - 1 \)
• Sonucu bulalım: \( f(2) = 15 \)

Dolayısıyla, \( \lim_{x \to 2} (3x^2 + 2x - 1) = 15 \) olur. ✅

Bu limit, \( x=1 \) için payda \( 1-1=0 \) ve pay \( 1^2-1=0 \) olacağından \( \frac{0}{0} \) belirsizliği verir. Bu durumda çarpanlara ayırma yöntemini kullanabiliriz.

• Pay kısmını çarpanlarına ayıralım: \( x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \)
• Limit ifadesini yeniden yazalım: \( \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} \)
• \( x \neq 1 \) olduğu için \( (x - 1) \) terimlerini sadeleştirelim: \( \lim_{x \to 1} (x + 1) \)
• Şimdi \( x \) yerine \( 1 \) koyarak limiti hesaplayalım: \( 1 + 1 = 2 \)

Sonuç olarak, \( \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = 2 \) bulunur. 👍

Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, o noktadaki teğetinin eğimine eşittir.

• Önce fonksiyonun türevini alalım: \( f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 2x) \)
• Türev kuralını uygulayalım: \( f'(x) = 3x^2 - 2 \)
• Şimdi \( x = 1 \) noktasındaki türevi hesaplayalım: \( f'(1) = 3(1)^2 - 2 \)
• Hesaplamayı yapalım: \( f'(1) = 3 - 2 \)
• Sonucu bulalım: \( f'(1) = 1 \)

Bu, \( f(x) \) fonksiyonunun \( x = 1 \) noktasındaki teğetinin eğiminin \( 1 \) olduğu anlamına gelir. 📈

Konumun zamana göre birinci türevi hızı verir. Hızın zamana göre birinci türevi ise ivmeyi verir.

• Konum fonksiyonunu yazalım: \( s(t) = t^3 - 6t^2 + 5 \)
• Hız fonksiyonunu bulmak için konumun türevini alalım: \( v(t) = s'(t) = \frac{d}{dt}(t^3 - 6t^2 + 5) \)
• Türev kuralını uygulayalım: \( v(t) = 3t^2 - 12t \)
• Şimdi \( t = 3 \) saniyedeki hızı hesaplayalım: \( v(3) = 3(3)^2 - 12(3) \)
• Hesaplamayı yapalım: \( v(3) = 3(9) - 36 \)
• \( v(3) = 27 - 36 \)
• Sonucu bulalım: \( v(3) = -9 \) metre/saniye

Hareketlinin \( t = 3 \) saniyedeki anlık hızı \( -9 \) m/s'dir. Bu, hareketlinin o anda negatif yönde hareket ettiği anlamına gelir. 💨

Grafiğin \( x = 0 \) noktasındaki davranışına bakarak limiti bulabiliriz.

• Grafik, \( y = x^2 \) parabolüne aittir.
• Parabolün tepe noktası orijindedir, yani \( (0, 0) \) noktası grafiğin üzerindedir.
• \( x \) değeri \( 0 \)'a soldan ve sağdan yaklaştığında, \( y \) değeri \( 0 \)'a yaklaşır.
• Bu nedenle, \( \lim_{x \to 0} f(x) = 0 \) olur.

Grafiğin \( x=0 \) noktasındaki görüntüsü ve limit değeri aynıdır çünkü fonksiyon bu noktada süreklidir. ✅

Marjinal maliyet, üretilen birim sayısındaki küçük bir artışın toplam maliyette yarattığı artıştır. Bu, maliyet fonksiyonunun türevi ile hesaplanır.

• Maliyet fonksiyonunu yazalım: \( C(x) = 1000 + 5x + 0.01x^2 \)
• Marjinal maliyet fonksiyonunu bulmak için maliyetin türevini alalım: \( C'(x) = \frac{d}{dx}(1000 + 5x + 0.01x^2) \)
• Türev kuralını uygulayalım: \( C'(x) = 0 + 5 + 0.02x \)
• Marjinal maliyet fonksiyonu: \( C'(x) = 5 + 0.02x \)
• Şimdi 100. birimin marjinal maliyetini hesaplayalım: \( C'(100) = 5 + 0.02(100) \)
• Hesaplamayı yapalım: \( C'(100) = 5 + 2 \)
• Sonucu bulalım: \( C'(100) = 7 \) TL

Yani, 100. birimin üretiminin marjinal maliyeti 7 TL'dir. Bu, 100 birim üretildikten sonra üretilecek bir sonraki birimin maliyete yaklaşık 7 TL ekleyeceği anlamına gelir. 💰

En az yakıt tüketimi, yakıt tüketimi fonksiyonunun minimum olduğu noktada gerçekleşir. Bir fonksiyonun minimum veya maksimum noktalarını bulmak için türevini sıfıra eşitleyerek kritik noktaları buluruz.

• Yakıt tüketimi fonksiyonunu yazalım: \( T(v) = v - 0.05v^2 + 10 \)
• Tüketim fonksiyonunun türevini alalım: \( T'(v) = \frac{d}{dv}(v - 0.05v^2 + 10) \)
• Türev kuralını uygulayalım: \( T'(v) = 1 - 0.10v \)
• En az tüketim için türevi sıfıra eşitleyelim: \( 1 - 0.10v = 0 \)
• Denklemi \( v \) için çözelim: \( 0.10v = 1 \)
• \( v = \frac{1}{0.10} = 10 \)

Bu hızda tüketimin minimum olup olmadığını anlamak için ikinci türev testini yapabiliriz: \( T''(v) = -0.10 \). İkinci türev negatif olduğu için bu bir maksimumdur. Soruda "en az yakıt tüketimi" denmişti, ancak verilen fonksiyonun yapısı gereği bir maksimum noktası vardır. Eğer fonksiyon \( T(v) = -v + 0.05v^2 + 10 \) olsaydı, \( v=10 \) noktasında minimum olurdu. Verilen fonksiyon için \( v=10 \) km/saat hızında yakıt tüketimi maksimum olur. Sorunun amacına uygun olarak, eğer fonksiyon minimum noktası olsaydı bu şekilde bulunurdu. 💡

Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarını bulmak için birinci türevini sıfıra eşitleyerek kritik noktaları buluruz ve bu noktalarda işaret tablosu yaparız veya ikinci türev testini kullanırız.

• Fonksiyonun birinci türevini alalım: \( f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 3x^2 - 12x + 5) \)
• Türev: \( f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 \)
• Kritik noktaları bulmak için türevi sıfıra eşitleyelim: \( 6x^2 - 6x - 12 = 0 \)
• Denklemi sadeleştirelim (her tarafı 6'ya bölelim): \( x^2 - x - 2 = 0 \)
• Çarpanlarına ayıralım: \( (x - 2)(x + 1) = 0 \)
• Kritik noktalar: \( x = 2 \) ve \( x = -1 \)
• Şimdi bu noktalardaki fonksiyon değerlerini hesaplayalım:
• \( f(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 12(-1) + 5 = 2(-1) - 3(1) + 12 + 5 = -2 - 3 + 12 + 5 = 12 \)
• \( f(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) + 5 = 2(8) - 3(4) - 24 + 5 = 16 - 12 - 24 + 5 = -15 \)
• İşaret tablosu veya ikinci türev testi ile bu noktaların yerel maksimum mu yoksa minimum mu olduğunu belirleyebiliriz. İkinci türevi alalım: \( f''(x) = 12x - 6 \).
• \( f''(-1) = 12(-1) - 6 = -12 - 6 = -18 < 0 \). Bu nokta yerel maksimumdur.
• \( f''(2) = 12(2) - 6 = 24 - 6 = 18 > 0 \). Bu nokta yerel minimumdur.

Yerel maksimum noktası: \( (-1, 12) \).
Yerel minimum noktası: \( (2, -15) \). 📉

Bu tür limitlerde, pay ve paydadaki en yüksek dereceli terimlere bakılır. Eğer dereceler eşitse, katsayılarının oranı limite eşittir. Alternatif olarak, pay ve paydayı en yüksek dereceli terime bölebiliriz.

• Fonksiyonu yazalım: \( \frac{3x^2 + 2x - 1}{x^2 + 5x} \)
• Pay ve paydadaki en yüksek dereceli terim \( x^2 \)'dir.
• Pay ve paydayı \( x^2 \)'ye bölelim:
\( \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3x^2}{x^2} + \frac{2x}{x^2} - \frac{1}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2} + \frac{5x}{x^2}} \)
• Sadeleştirelim:
\( \lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{5}{x}} \)
• \( x \to \infty \) iken \( \frac{2}{x} \), \( \frac{1}{x^2} \) ve \( \frac{5}{x} \) terimleri \( 0 \)'a yaklaşır.
• Limit hesaplamasını yapalım:
\( \frac{3 + 0 - 0}{1 + 0} = \frac{3}{1} = 3 \)

Sonuç olarak, \( \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x - 1}{x^2 + 5x} = 3 \) olur. 🚀