💡 12. Sınıf Matematik: İntegral alan Çözümlü Örnekler

Bu alanı hesaplamak için belirli integrali kullanacağız. Alan, fonksiyonun verilen sınırlar arasındaki integraline eşittir.

• Adım 1: İntegrali tanımlayın. Alan \( A \), \( x=1 \) 'den \( x=3 \) 'e kadar \( x^2 \) fonksiyonunun integralidir.
• Adım 2: İntegrali hesaplayın. \[ A = \int_{1}^{3} x^2 \, dx \]
• Adım 3: İntegralin sonucunu bulun. \[ A = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{3} \]
• Adım 4: Sınır değerlerini yerine koyun ve farkı alın. \[ A = \frac{3^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3} \]

Sonuç olarak, alan \( \frac{26}{3} \) birim karedir. ✅

İki eğri arasındaki alanı bulmak için öncelikle kesişim noktalarını bulmalı ve ardından üstteki eğriden alttaki eğriyi çıkarmalıyız.

• Adım 1: Kesişim noktalarını bulun. \( x = x^2 \) denklemini çözün. \( x^2 - x = 0 \implies x(x-1) = 0 \). Kesişim noktaları \( x=0 \) ve \( x=1 \) 'dir.
• Adım 2: Hangi fonksiyonun üstte olduğunu belirleyin. \( 0 < x < 1 \) aralığında, \( x > x^2 \) olduğundan \( y=x \) üstteki eğridir.
• Adım 3: Alanı hesaplamak için integrali kurun. Alan \( A \), \( x=0 \) 'dan \( x=1 \) 'e kadar \( x \) fonksiyonundan \( x^2 \) fonksiyonunun çıkarılmasının integralidir. \[ A = \int_{0}^{1} (x - x^2) \, dx \]
• Adım 4: İntegrali hesaplayın. \[ A = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} \]
• Adım 5: Sınır değerlerini yerine koyun. \[ A = \left( \frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{3} \right) - \left( \frac{0^2}{2} - \frac{0^3}{3} \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3-2}{6} = \frac{1}{6} \]

İki eğri arasındaki kapalı bölgenin alanı \( \frac{1}{6} \) birim karedir. ✨

Bu problemde, hız-zaman grafiğinin altındaki alan, aracın aldığı yol bilgisini verir. Bu da belirli integral ile hesaplanır.

• Adım 1: Alınacak yolu temsil eden integrali tanımlayın. Yol \( S \), \( t=0 \) 'dan \( t=4 \) 'e kadar \( v(t) \) hız fonksiyonunun integralidir. \[ S = \int_{0}^{4} (3t^2 + 2) \, dt \]
• Adım 2: İntegrali hesaplayın. \[ S = \left[ \frac{3t^3}{3} + 2t \right]_{0}^{4} = \left[ t^3 + 2t \right]_{0}^{4} \]
• Adım 3: Sınır değerlerini yerine koyarak yolu hesaplayın. \[ S = (4^3 + 2 \times 4) - (0^3 + 2 \times 0) = (64 + 8) - 0 = 72 \]

Araç, ilk 4 saniyede 72 metre yol almıştır. 🛣️

Bu problemde, parabolün x-ekseni ile sınırladığı alanın bir kısmını hesaplamamız gerekiyor.

• Adım 1: Alanı veren integrali belirleyin. Parabolün tepe noktası \( (0,4) \) ve kökleri \( x=-2 \) ve \( x=2 \) 'dir. Alan, \( x=-2 \) 'den \( x=2 \) 'ye kadar \( y = -x^2 + 4 \) fonksiyonunun integralidir. \[ A = \int_{-2}^{2} (-x^2 + 4) \, dx \]
• Adım 2: İntegrali hesaplayın. Fonksiyon tek fonksiyon olduğu için simetriden yararlanabiliriz veya doğrudan hesaplayabiliriz. \[ A = \left[ -\frac{x^3}{3} + 4x \right]_{-2}^{2} \]
• Adım 3: Sınır değerlerini yerine koyarak alanı hesaplayın. \[ A = \left( -\frac{2^3}{3} + 4 \times 2 \right) - \left( -\frac{(-2)^3}{3} + 4 \times (-2) \right) \] \[ A = \left( -\frac{8}{3} + 8 \right) - \left( \frac{8}{3} - 8 \right) = -\frac{8}{3} + 8 - \frac{8}{3} + 8 = 16 - \frac{16}{3} = \frac{48-16}{3} = \frac{32}{3} \]

Çimlendirilecek alan \( \frac{32}{3} \) metrekaredir. 🏡

Bu soruda, fonksiyonun hem pozitif hem de negatif olduğu bölgelerdeki alanları ayrı ayrı hesaplayıp toplamamız gerekecek.

• Adım 1: Fonksiyonun işaretini inceleyin. \( \sin(x) \), \( [0, \pi] \) aralığında pozitif ve \( [\pi, 2\pi] \) aralığında negatiftir.
• Adım 2: Pozitif bölgedeki alanı hesaplayın. \[ A_1 = \int_{0}^{\pi} \sin(x) \, dx = [-\cos(x)]_{0}^{\pi} = (-\cos(\pi)) - (-\cos(0)) = (-(-1)) - (-1) = 1 + 1 = 2 \]
• Adım 3: Negatif bölgedeki alanı hesaplayın. Alan pozitif olmalı, bu yüzden integralin sonucunun mutlak değerini alacağız. \[ \int_{\pi}^{2\pi} \sin(x) \, dx = [-\cos(x)]_{\pi}^{2\pi} = (-\cos(2\pi)) - (-\cos(\pi)) = (-1) - (-(-1)) = -1 - 1 = -2 \]
• Adım 4: Negatif bölgedeki alanın pozitif değerini alın. \[ A_2 = |-2| = 2 \]
• Adım 5: Toplam alanı bulun. \[ A_{toplam} = A_1 + A_2 = 2 + 2 = 4 \]

\( \sin(x) \) fonksiyonunun \( [0, 2\pi] \) aralığında x-ekseni ile sınırladığı toplam alan 4 birim karedir. 💡

Bu kez alanı y-ekseni boyunca hesaplayacağız. Bunun için fonksiyonu \( x \) cinsinden değil, \( y \) cinsinden ifade etmemiz gerekecek.

• Adım 1: Fonksiyonun y-ekseni ile kesişim noktalarını bulun. \( x=0 \) iken \( y^2 - 4 = 0 \implies y^2 = 4 \implies y = \pm 2 \).
• Adım 2: Alanı y-ekseni boyunca hesaplamak için integrali kurun. Alan \( A \), \( y=-2 \) 'den \( y=2 \) 'ye kadar \( x = y^2 - 4 \) fonksiyonunun integralidir. Ancak, bu parabolün kolları sağa doğrudur ve y-ekseninin solunda kalır. Bu nedenle, integralin sonucu negatif çıkacaktır. Alanı pozitif almak için mutlak değerini almalıyız veya \( x=0 \) fonksiyonundan \( x=y^2-4 \) fonksiyonunu çıkarmalıyız. \[ A = \int_{-2}^{2} (0 - (y^2 - 4)) \, dy = \int_{-2}^{2} (4 - y^2) \, dy \]
• Adım 3: İntegrali hesaplayın. \[ A = \left[ 4y - \frac{y^3}{3} \right]_{-2}^{2} \]
• Adım 4: Sınır değerlerini yerine koyarak alanı hesaplayın. \[ A = \left( 4(2) - \frac{2^3}{3} \right) - \left( 4(-2) - \frac{(-2)^3}{3} \right) \] \[ A = \left( 8 - \frac{8}{3} \right) - \left( -8 - \frac{-8}{3} \right) = \left( \frac{24-8}{3} \right) - \left( -8 + \frac{8}{3} \right) \] \[ A = \frac{16}{3} - \left( \frac{-24+8}{3} \right) = \frac{16}{3} - \left( -\frac{16}{3} \right) = \frac{16}{3} + \frac{16}{3} = \frac{32}{3} \]

Parabolün y-ekseni ile sınırladığı alan \( \frac{32}{3} \) birim karedir. ⚖️

Bu problemde, öncelikle alanı \( a \) cinsinden ifade eden bir fonksiyon oluşturmalı, ardından bu fonksiyonun minimum değerini bulmak için türevini kullanmalıyız.

• Adım 1: Alan fonksiyonunu \( A(a) \) olarak tanımlayın. \( x=a \) doğrusu ve x-ekseni arasında \( y=x^3 \) fonksiyonunun alanı, \( x=0 \) 'dan \( x=a \) 'ya kadar olan integraldir. \[ A(a) = \int_{0}^{a} x^3 \, dx \]
• Adım 2: Alan fonksiyonunu hesaplayın. \[ A(a) = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{a} = \frac{a^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{a^4}{4} \]
• Adım 3: \( A(a) \) fonksiyonunun en küçük değerini bulmak için türevini alın ve sıfıra eşitleyin. \[ A'(a) = \frac{d}{da} \left( \frac{a^4}{4} \right) = \frac{4a^3}{4} = a^3 \]
• Adım 4: Türevi sıfıra eşitleyin. \( a^3 = 0 \implies a = 0 \). Ancak soruda \( a>0 \) koşulu verilmiştir. \( a>0 \) için \( A'(a) = a^3 > 0 \) olduğundan, \( A(a) \) fonksiyonu \( a>0 \) için artandır. Bu durumda, fonksiyonun en küçük değeri, \( a \) 'nın alabileceği en küçük değere yaklaştığı zaman elde edilir.
• Adım 5: \( a>0 \) koşulu göz önüne alındığında, fonksiyonun minimum değeri, \( a \) sıfıra yaklaştıkça sıfıra yaklaşır. Ancak tam olarak sıfır olamaz. Soruda bir "en küçük değer" sorulduğu için, bu durum genellikle \( a=0 \) noktasındaki değer olarak yorumlanır, ancak verilen koşul \( a>0 \) olduğu için, bu fonksiyonun minimuma en yakın değeri sıfırdır diyebiliriz. Eğer soru "minimum değerini alabileceği a değeri" olsaydı cevap \( a=0 \) olurdu. Alanın kendisi için en küçük değer ise 0'a çok yakın ama pozitif değerlerdir. Sorunun formatına uygun olarak en küçük değerin 0'a yaklaştığını belirtebiliriz.

\( A(a) \) fonksiyonunun \( a>0 \) için alabileceği en küçük değer 0'a çok yakın pozitif değerlerdir (limit olarak 0'dır). 🎯

Bu alanı hesaplamak için belirli integrali kullanacağız. Alan, fonksiyonun verilen sınırlar arasındaki integraline eşittir.

• Adım 1: İntegrali tanımlayın. Alan \( A \), \( x=0 \) 'dan \( x=3 \) 'e kadar \( 2x+1 \) fonksiyonunun integralidir. \[ A = \int_{0}^{3} (2x + 1) \, dx \]
• Adım 2: İntegrali hesaplayın. \[ A = \left[ \frac{2x^2}{2} + x \right]_{0}^{3} = \left[ x^2 + x \right]_{0}^{3} \]
• Adım 3: Sınır değerlerini yerine koyun ve farkı alın. \[ A = (3^2 + 3) - (0^2 + 0) = (9 + 3) - 0 = 12 \]

Sonuç olarak, alan 12 birim karedir. 👍