💡 12. Sınıf Fizik: Hacim ve kütle kavramları Çözümlü Örnekler

Bu problemi çözmek için yoğunluk, kütle ve hacim arasındaki ilişkiyi kullanacağız. Yoğunluk formülü şu şekildedir: \[ \rho = \frac{m}{V} \] Burada:

• \( \rho \) yoğunluğu temsil eder.
• \( m \) kütleyi temsil eder.
• \( V \) hacmi temsil eder.

Soruda verilenler:

• Kütle \( m = 780 \, \text{g} \)
• Yoğunluk \( \rho = 7.8 \, \text{g/cm}^3 \)

Hacmi bulmak için formülü yeniden düzenleyebiliriz: \[ V = \frac{m}{\rho} \] Değerleri yerine koyalım: \[ V = \frac{780 \, \text{g}}{7.8 \, \text{g/cm}^3} \] Hesaplamayı yapalım: \[ V = 100 \, \text{cm}^3 \] Cevap: Demir bloğun hacmi \( 100 \, \text{cm}^3 \) tür. ✅

Yoğunluk, birim hacim başına düşen kütle olarak tanımlanır. Formülü şöyledir: \[ \rho = \frac{m}{V} \] Soruda verilen değerler:

• Hacim \( V = 250 \, \text{cm}^3 \)
• Kütle \( m = 500 \, \text{g} \)

Bu değerleri yoğunluk formülünde yerine koyalım: \[ \rho = \frac{500 \, \text{g}}{250 \, \text{cm}^3} \] Hesaplamayı yapalım: \[ \rho = 2 \, \text{g/cm}^3 \] Cevap: Sıvının yoğunluğu \( 2 \, \text{g/cm}^3 \) tür. 👉

Öncelikle küp şeklindeki tahta bloğun hacmini hesaplamamız gerekiyor. Küpün hacmi, bir kenarının küpü alınarak bulunur: \[ V = a^3 \] Burada \( a \) küpün bir kenar uzunluğudur. Soruda verilenler:

• Kenar uzunluğu \( a = 10 \, \text{cm} \)
• Kütle \( m = 800 \, \text{g} \)

Hacmi hesaplayalım: \[ V = (10 \, \text{cm})^3 = 1000 \, \text{cm}^3 \] Şimdi yoğunluğu hesaplamak için kütle ve hacim değerlerini kullanalım: \[ \rho = \frac{m}{V} = \frac{800 \, \text{g}}{1000 \, \text{cm}^3} \] \[ \rho = 0.8 \, \text{g/cm}^3 \] Cevap: Tahta bloğun yoğunluğu \( 0.8 \, \text{g/cm}^3 \) tür. 📌

Bu günlük hayat örneği, yoğunluk kavramının pratik uygulamasını gösterir. Yoğunluk formülünü tekrar hatırlayalım: \[ \rho = \frac{m}{V} \] Soruda verilen değerler:

• Hacim \( V = 500 \, \text{cm}^3 \) (mL, \( \text{cm}^3 \) ile aynıdır)
• Kütle \( m = 460 \, \text{g} \)

Bu değerleri kullanarak zeytinyağının yoğunluğunu hesaplayalım: \[ \rho = \frac{460 \, \text{g}}{500 \, \text{cm}^3} \] \[ \rho = 0.92 \, \text{g/cm}^3 \] Cevap: Zeytinyağının yoğunluğu yaklaşık olarak \( 0.92 \, \text{g/cm}^3 \) tür. Bu değer, zeytinyağının sudan (yoğunluğu yaklaşık \( 1 \, \text{g/cm}^3 \)) daha az yoğun olduğunu gösterir. 💡

Bu soruyu adım adım çözelim:

1. İlk Durum: Sadece Su
   Kabın kütlesi bilinmiyor, ancak suyun kütlesini hesaplayabiliriz. Suyun hacmi \( 200 \, \text{cm}^3 \) ve yoğunluğu \( 1 \, \text{g/cm}^3 \) ise, suyun kütlesi şu şekildedir:
   \[ m_{\text{su}} = \rho_{\text{su}} \times V_{\text{su}} = (1 \, \text{g/cm}^3) \times (200 \, \text{cm}^3) = 200 \, \text{g} \]
   Kabın kütlesi \( m_{\text{kab}} \) ise, ilk ölçümden bulunur:
   \[ m_{\text{kab}} + m_{\text{su}} = 350 \, \text{g} \]
   \[ m_{\text{kab}} + 200 \, \text{g} = 350 \, \text{g} \]
   \[ m_{\text{kab}} = 150 \, \text{g} \]
2. İkinci Durum: Su + Cisim
   Cisim eklendikten sonra toplam kütle 450 gram oluyor. Bu toplam kütle, kabın kütlesi, suyun kütlesi ve cismin kütlesinin toplamıdır.
   \[ m_{\text{toplam}} = m_{\text{kab}} + m_{\text{su}} + m_{\text{cisim}} \]
   Soruda cismin kütlesi 100 gram olarak verilmişti.
   \[ 450 \, \text{g} = 150 \, \text{g} + 200 \, \text{g} + 100 \, \text{g} \]
   Bu denklem doğrudur, yani verilen bilgiler tutarlıdır.
3. Cismin Hacmini Bulma
   Cisim suya tamamen battığında, taşırdığı su miktarı kadar hacim kaplar. Ancak soruda doğrudan cismin hacmi verilmemiş. Soruda bir bilgi eksikliği var gibi görünüyor. Eğer cismin hacmi verilseydi, yoğunluğunu kolayca bulabilirdik.
   Düzeltme: Soruda "Cismin tamamı suya battığında, kabın toplam kütlesi 450 gram oluyor." ifadesi, cismin hacminin ne kadar yer kapladığına dair bir ipucu vermiyor. Ancak, eğer cisim suya tamamen batmış ve toplam kütle 450 gram olmuşsa, bu durumda cismin kütlesi 100 gramdır. Cismin hacmini bulmak için başka bir bilgiye ihtiyacımız var.
   Varsayım: Eğer soruda "cismin hacmi X cm³'tür" şeklinde bir bilgi olsaydı, yoğunluk \( \rho_{\text{cisim}} = \frac{m_{\text{cisim}}}{V_{\text{cisim}}} \) ile bulunurdu.
   Soruyu Yeniden Yorumlama: Belki de sorunun amacı, cismin hacmini dolaylı yoldan bulmaktır. Ancak mevcut bilgilerle cismin hacmini belirlemek mümkün değil.
   Önemli Not: Bu tür sorularda genellikle cismin hacmi ya doğrudan verilir ya da taşırma prensibiyle (Archimedes) bulunur. Bu soruda bu bilgiler eksik.
   Varsayımsal Çözüm (Eğer cismin hacmi 50 cm³ olsaydı):
   Eğer cismin hacmi \( V_{\text{cisim}} = 50 \, \text{cm}^3 \) olsaydı, yoğunluğu şöyle hesaplardık:
   \[ \rho_{\text{cisim}} = \frac{m_{\text{cisim}}}{V_{\text{cisim}}} = \frac{100 \, \text{g}}{50 \, \text{cm}^3} = 2 \, \text{g/cm}^3 \]
   Sonuç: Mevcut haliyle sorunun eksik bilgisi bulunmaktadır. Cismin yoğunluğunu hesaplamak için cismin hacminin bilinmesi gerekmektedir. ❌

Bu soruyu çözmek için denge koşulunu ve yoğunluk formülünü kullanacağız.

1. Terazi Dengesi
   Terazinin dengede olması demek, her iki kefedeki cisimlerin kütlelerinin eşit olması demektir.
   \[ m_{\text{sol}} = m_{\text{sağ}} \]
2. Kütle ve Yoğunluk İlişkisi
   Kütle, yoğunluk ile hacmin çarpımına eşittir:
   \[ m = \rho \times V \]
3. Küp Hacimleri
   Sol kefedeki küpün kenar uzunluğu \( a \) ise hacmi \( V_{\text{sol}} = a^3 \) olur.
   Sağ kefedeki küpün kenar uzunluğu \( 2a \) ise hacmi \( V_{\text{sağ}} = (2a)^3 = 8a^3 \) olur.
4. Kütleleri Eşitleme
   Sol kefedeki küpün kütlesi: \( m_{\text{sol}} = \rho_{\text{sol}} \times V_{\text{sol}} = \rho_{\text{sol}} \times a^3 \)
   Sağ kefedeki küpün kütlesi: \( m_{\text{sağ}} = \rho_{\text{sağ}} \times V_{\text{sağ}} = \rho_{\text{sağ}} \times 8a^3 \)
   Terazi dengede olduğundan kütleleri eşitleriz:
   \[ \rho_{\text{sol}} \times a^3 = \rho_{\text{sağ}} \times 8a^3 \]
5. Oranı Bulma
   Denklemdeki \( a^3 \) terimleri sadeleşir:
   \[ \rho_{\text{sol}} = \rho_{\text{sağ}} \times 8 \]
   Sağ kefedeki küpün yoğunluğunun, sol kefedeki küpün yoğunluğuna oranını bulmak için \( \frac{\rho_{\text{sağ}}}{\rho_{\text{sol}}} \) ifadesini elde etmeliyiz:
   \[ \frac{\rho_{\text{sağ}}}{\rho_{\text{sol}}} = \frac{1}{8} \]

Cevap: Sağ kefedeki küpün yoğunluğunun, sol kefedeki küpün yoğunluğuna oranı \( \frac{1}{8} \) dir. 🚀

Bu soru, günlük hayatta karşılaştığımız nesnelerin yoğunluklarını tahmin etmemize yardımcı olur. Yoğunluk formülünü kullanarak hesaplama yapabiliriz: \[ \rho = \frac{m}{V} \] Soruda verilen değerler:

• Kütle \( m = 5 \, \text{g} \)
• Hacim \( V = 0.5 \, \text{cm}^3 \)

Bu değerleri formülde yerine koyalım: \[ \rho = \frac{5 \, \text{g}}{0.5 \, \text{cm}^3} \] Hesaplamayı yapalım: \[ \rho = 10 \, \text{g/cm}^3 \] Cevap: Madeni paranın yapıldığı metalin yoğunluğu yaklaşık olarak \( 10 \, \text{g/cm}^3 \) tür. Bu değer, demir (yaklaşık \( 7.8 \, \text{g/cm}^3 \)) veya alüminyumdan (yaklaşık \( 2.7 \, \text{g/cm}^3 \)) daha yüksektir ve bronz veya pirinç gibi alaşımlara daha yakındır. 🧐

Yoğunluk, kütle ve hacim arasındaki ilişkiyi tekrar hatırlayalım: \[ \rho = \frac{m}{V} \] Bu formülden hacmi çekebiliriz: \[ V = \frac{m}{\rho} \] Soruda verilenler:

• Kütle \( m = 300 \, \text{g} \)
• Yoğunluk \( \rho = 1 \, \text{g/cm}^3 \)

Değerleri formülde yerine koyalım: \[ V = \frac{300 \, \text{g}}{1 \, \text{g/cm}^3} \] \[ V = 300 \, \text{cm}^3 \] Cevap: Suyun hacmi \( 300 \, \text{cm}^3 \) tür. ✅

Bu soruyu çözmek için öncelikle silindir şeklindeki metal çubuğun hacmini hesaplamamız gerekiyor.

1. Silindir Hacmi
   Silindirin hacmi, taban alanı ile yüksekliğinin (boyunun) çarpımına eşittir:
   \[ V = \text{Taban Alanı} \times \text{Yükseklik} \]
2. Verilenler
   
   • Kütle \( m = 196 \, \text{g} \)
   • Taban Alanı \( A = 7 \, \text{cm}^2 \)
   • Yükseklik (Boy) \( h = 10 \, \text{cm} \)
3. Hacmi Hesaplama
   Verilen değerleri kullanarak hacmi hesaplayalım:
   \[ V = 7 \, \text{cm}^2 \times 10 \, \text{cm} = 70 \, \text{cm}^3 \]
4. Yoğunluğu Hesaplama
   Şimdi kütle ve hacim değerlerini kullanarak yoğunluğu bulalım:
   \[ \rho = \frac{m}{V} = \frac{196 \, \text{g}}{70 \, \text{cm}^3} \]
5. Sonuç
   Hesaplamayı yapalım:
   \[ \rho = 2.8 \, \text{g/cm}^3 \]

Cevap: Metal çubuğun yoğunluğu \( 2.8 \, \text{g/cm}^3 \) tür. Bu yoğunluk, alüminyumun yoğunluğuna yakındır. 💡