💡 12. Sınıf Fizik: Çembersel hareket Çözümlü Örnekler

Bu soruda, çembersel hareketi sağlayan merkezcil kuvvetin ipteki gerilme kuvveti olduğunu biliyoruz.

• Adım 1: Verilenleri belirleyelim.
  Kütle (\( m \)) = \( 2 \) kg
  İp uzunluğu (Yarıçap, \( r \)) = \( 1 \) m
  Çizgisel hız (\( v \)) = \( 4 \) m/s
• Adım 2: Merkezcil kuvvet formülünü hatırlayalım.
  Merkezcil kuvvet (\( F_c \)) = \( \frac{mv^2}{r} \)
• Adım 3: Değerleri formülde yerine koyalım.
  \( F_c = \frac{(2 \text{ kg}) \times (4 \text{ m/s})^2}{1 \text{ m}} \)
• Adım 4: Hesaplamayı yapalım.
  \( F_c = \frac{2 \times 16}{1} \) N
  \( F_c = 32 \) N
• Sonuç: İpteki gerilme kuvveti, merkezcil kuvvete eşittir. Dolayısıyla, ipteki gerilme kuvveti \( 32 \) N'dur. ✅

Bu problemde, arabanın virajı dönebilmesi için gereken merkezcil kuvvetin, lastikler ile yol arasındaki sürtünme kuvveti tarafından sağlandığını düşüneceğiz.

• Adım 1: Verilenleri listeleyelim.
  Yarıçap (\( r \)) = \( 50 \) m
  Çizgisel hız (\( v \)) = \( 10 \) m/s
  Sürtünme katsayısı (\( \mu \)) = \( 0.8 \)
  Yerçekimi ivmesi (\( g \)) ≈ \( 10 \) m/s² (Soruda belirtilmediği için standart değer kullanılır)
• Adım 2: Arabanın kütlesini bilmediğimiz için, sürtünme kuvvetini genel bir ifadeyle yazalım.
  Sürtünme kuvveti (\( F_s \)) = \( \mu \times N \), burada \( N \) yüzeyin normal kuvvetidir. Yatay düzlemde \( N = mg \).
  Yani, \( F_s = \mu \times m \times g \)
• Adım 3: Arabanın kaymadan dönebilmesi için gereken merkezcil kuvveti hesaplayalım.
  Merkezcil kuvvet (\( F_c \)) = \( \frac{mv^2}{r} \)
• Adım 4: Arabanın kaymadan dönebilmesi için \( F_c \le F_s \) olmalıdır. Soruda gereken minimum sürtünme kuvveti soruluyor, bu da merkezcil kuvvete eşit olmalıdır (tam kayma sınırında).
  \( \frac{mv^2}{r} = \mu \times m \times g \)
• Adım 5: Kütle (\( m \)) her iki tarafta da sadeleşir. Bu, kaymadan dönebilmenin kütleye bağlı olmadığını gösterir.
  \( \frac{v^2}{r} = \mu \times g \)
• Adım 6: Değerleri yerine koyarak gereken sürtünme kuvvetini (merkezcil kuvvete eşit olan) hesaplayalım. Bu hesaplama için arabanın kütlesine ihtiyacımız var, ancak soruda "gereken minimum sürtünme kuvveti"nden bahsedildiği için, aslında arabanın kaymadan dönebilmesi için yolun sağlayabileceği maksimum sürtünme kuvvetini bulmamız gerekiyor. Eğer kütle verilseydi, \( F_c \) hesaplanırdı. Soruyu, arabanın kaymadan dönebilmesi için gereken minimum yol sürtünme katsayısı veya maksimum hız olarak da yorumlayabiliriz. Ancak soru "gereken minimum sürtünme kuvveti" dediği için, bu aslında arabanın o hızda dönebilmesi için ihtiyaç duyduğu merkezcil kuvvettir. Eğer yolun sürtünme kuvveti bu değere ulaşamazsa kayar. Soruyu şu şekilde revize edelim: Arabanın kaymadan dönebilmesi için gereken merkezcil kuvvet kaç Newton'dur? (Bu durumda kütle verilmelidir.)
  Varsayım: Arabanın kütlesi \( 1000 \) kg olsun.
  \( F_c = \frac{(1000 \text{ kg}) \times (10 \text{ m/s})^2}{50 \text{ m}} \)
• Adım 7: Hesaplamayı yapalım.
  \( F_c = \frac{1000 \times 100}{50} \) N
  \( F_c = \frac{100000}{50} \) N
  \( F_c = 2000 \) N
• Sonuç: Arabanın kaymadan dönebilmesi için gereken minimum merkezcil kuvvet \( 2000 \) N'dur. Yolun sağlayabileceği maksimum sürtünme kuvveti ise \( F_{s,max} = \mu \times m \times g = 0.8 \times 1000 \times 10 = 8000 \) N'dur. Bu durumda araba kaymadan dönebilir. ✅

Bu durum, çembersel hareketin temel prensipleriyle açıklanır.

• Kavram: En üst noktada, kişi hala çembersel bir yörüngede hareket etmektedir. Bu hareketi sürdürmesi için bir merkezcil kuvvet gereklidir.
• Kuvvetler: En üst noktada, kişinin üzerine etki eden iki ana kuvvet vardır:
  1. Ağırlık Kuvveti (\( mg \)): Her zaman aşağı doğrudur.
  2. Destek Kuvveti (Koltuktan Gelen Kuvvet): Yukarı doğru etki eder.
• Açıklama: Dönme dolabın hareketi nedeniyle, kişinin hızının yönü sürekli değişir. Bu hız değişimi, merkeze doğru yönelmiş bir net kuvvet (merkezcil kuvvet) olmasını gerektirir. En üst noktada, ağırlık kuvveti ve destek kuvvetinin bileşkesi, aşağı doğru yönelmiş merkezcil kuvveti sağlamalıdır.
• Neden Düşmez?: Eğer kişinin hızı yeterliyse, koltuktan gelen destek kuvveti (veya bazı durumlarda sadece ağırlık kuvveti) bu merkezcil kuvveti sağlamaya yeter. Destek kuvveti sıfır olsa bile, kişinin ağırlık kuvveti hala aşağı doğru etki ederek onu çembersel yörüngede tutar. Yani, kişi düşmez çünkü onu aşağı doğru çeken ağırlık kuvveti ve onu yörüngede tutan ivme vardır. Koltuk, bu hareketi sürdürmek için gereken kuvveti sağlar. 💡

Bu soru, çembersel hareketin temel bir özelliğini anlamayı gerektirir: eylemsizlik.

• Kavram: Düzgün çembersel harekette, cismin hız vektörü her zaman hareket yönüne teğettir.
• İp Koptuğunda Ne Olur?: Çembersel hareketi sağlayan merkezcil kuvvet (bu örnekte ipteki gerilme kuvveti) ortadan kalktığında, cisme etki eden net kuvvet sıfır olur. Newton'un Birinci Hareket Yasası'na (eylemsizlik ilkesi) göre, cismin üzerindeki net kuvvet sıfır olduğunda, cisim mevcut hızını koruyarak düz çizgisel bir yörüngede hareket etmeye devam eder.
• Hareket Yönü: Cisim hangi noktada ip koparsa, o noktadaki hız vektörünün yönünde hareket etmeye başlar. Eğer cisim saat yönünün tersine dönüyorsa ve ip tam olarak koptuğu anda cismin hızı sağ üst köşeye doğru teğet ise, ip koptuktan sonra cisim o anda sahip olduğu hız vektörü yönünde, yani sağ üst köşeye doğru düz bir çizgide hareket edecektir. 🚀

Bu problem, enerji korunumu ve çembersel hareket prensiplerini birleştirir.

• Adım 1: Enerji Korunumu Prensibi'ni kullanarak cismin hızlarını bulalım.
  Sürtünme ihmal edildiği için mekanik enerji korunur: \( E_K = E_L = E_M \).
  Yükseklikler: \( h_K = h \), \( h_L = r \), \( h_M = 2r \).
  Cisim K'den serbest bırakıldığı için \( v_K = 0 \).
• Adım 2: L noktasındaki hız (\( v_L \))'yi bulmak için K ve L arasındaki enerji korunumu.
  \( E_K = E_L \)
  \( mgh = \frac{1}{2}mv_L^2 + mgr \)
  \( v_L^2 = 2g(h-r) \)
• Adım 3: L noktasındaki tepki kuvveti (\( N \))'yi çembersel hareket formülüyle bulalım.
  L noktasında cisme etki eden kuvvetler: Ağırlık (\( mg \)) aşağı, tepki kuvveti (\( N \)) yukarı. Net kuvvet merkeze doğru olmalı (yani aşağı).
  \( mg - N = \frac{mv_L^2}{r} \)
  \( mg - N = \frac{m \times 2g(h-r)}{r} \)
  \( N = mg - \frac{2mg(h-r)}{r} = mg \left( 1 - \frac{2(h-r)}{r} \right) = mg \left( \frac{r - 2h + 2r}{r} \right) = mg \left( \frac{3r - 2h}{r} \right) \)
• Adım 4: M noktasındaki hız (\( v_M \))'yi bulmak için K ve M arasındaki enerji korunumu.
  \( E_K = E_M \)
  \( mgh = \frac{1}{2}mv_M^2 + m g (2r) \)
  \( v_M^2 = 2g(h-2r) \)
• Adım 5: M noktasındaki tepki kuvveti (\( N' \))'yi çembersel hareket formülüyle bulalım.
  M noktasında cisme etki eden kuvvetler: Ağırlık (\( mg \)) aşağı, tepki kuvveti (\( N' \)) aşağı (çünkü tepe noktasında rayın üstünde kalır). Net kuvvet merkeze doğru (aşağı) olmalı.
  \( mg + N' = \frac{mv_M^2}{r} \)
  \( mg + N' = \frac{m \times 2g(h-2r)}{r} \)
  \( N' = \frac{2mg(h-2r)}{r} - mg = mg \left( \frac{2(h-2r)}{r} - 1 \right) = mg \left( \frac{2h - 4r - r}{r} \right) = mg \left( \frac{2h - 5r}{r} \right) \)
• Sonuç: M noktasındaki tepki kuvveti \( N' = mg \left( \frac{2h - 5r}{r} \right) \) olur. Soruda \( N \) cinsinden istendiği için, \( N \) ifadesini \( mg \) cinsinden yazıp \( N' \) ifadesinde yerine koymak gerekir. Ancak bu, \( h \) ve \( r \) arasındaki ilişkiye bağlıdır. Eğer soruda \( h \) ve \( r \) arasında belirli bir ilişki verilirse (örneğin, cismin M noktasından geçebilmesi için gereken minimum hız gibi), daha net bir sonuç elde edilebilir. Mevcut haliyle, M noktasındaki tepki kuvveti \( mg \left( \frac{2h - 5r}{r} \right) \) olarak ifade edilir. ✅

Bu soruda, açısal hız verilmiş ve ipteki gerilme kuvveti soruluyor. Merkezcil kuvvet formülünü açısal hız cinsinden kullanacağız.

• Adım 1: Verilenleri belirleyelim.
  Kütle (\( m \)) = \( 0.5 \) kg
  Yarıçap (\( r \)) = \( 2 \) m
  Açısal hız (\( \omega \)) = \( \frac{\pi}{2} \) rad/s
• Adım 2: Merkezcil kuvvet formülünü açısal hız cinsinden hatırlayalım.
  Merkezcil kuvvet (\( F_c \)) = \( m \omega^2 r \)
• Adım 3: Değerleri formülde yerine koyalım.
  \( F_c = (0.5 \text{ kg}) \times \left(\frac{\pi}{2} \text{ rad/s}\right)^2 \times (2 \text{ m}) \)
• Adım 4: Hesaplamayı yapalım.
  \( F_c = 0.5 \times \frac{\pi^2}{4} \times 2 \) N
  \( F_c = 1 \times \frac{\pi^2}{4} \) N
  \( F_c = \frac{\pi^2}{4} \) N
• Sonuç: İpteki gerilme kuvveti, merkezcil kuvvete eşittir. Dolayısıyla, ipteki gerilme kuvveti \( \frac{\pi^2}{4} \) N'dur. (Yaklaşık olarak \( 2.47 \) N). ✅

Banketli virajlar, güvenli sürüş için akıllıca tasarlanmış bir mühendislik çözümüdür.

• Sorun: Yatay bir virajda, arabanın merkeze doğru savrulmasını engellemek için sürtünme kuvveti yeterli olmayabilir, özellikle de hız yüksekse veya yol ıslaksa.
• Çözüm: Banketli Viraj: Virajın dış kenarı, iç kenarından daha yüksek olacak şekilde eğimlidir. Bu eğim, virajı dönerken arabanın üzerine etki eden kuvvetlerin dengelenmesine yardımcı olur.
• Fiziksel Açıklama:
  1. Eğim Kuvveti: Virajın eğimi nedeniyle, yolun arabaya uyguladığı normal kuvvet artık sadece dikey değil, aynı zamanda merkeze doğru yatay bir bileşene de sahiptir.
  2. Merkezcil Kuvvetin Sağlanması: Bu yatay bileşen, arabanın çembersel hareketi sürdürmesi için gereken merkezcil kuvveti sağlar. Bu sayede, sürtünme kuvvetine olan bağımlılık azalır veya tamamen ortadan kalkar.
  3. Güvenlik: Yeterli banket açısı ile, araba kaymadan virajı dönebilir. Hatta, eğer hız doğru ayarlanmışsa, sürtünme kuvveti sıfır olsa bile araba virajı dönebilir. Bu, özellikle yağmurlu veya buzlu havalarda güvenliği büyük ölçüde artırır. 💡

Düşey düzlemdeki çembersel harekette, ipteki gerilme kuvveti cismin konumu ve hızına bağlı olarak değişir. En alt noktada bu kuvvet maksimum değerini alır.

• Adım 1: Verilenleri belirleyelim.
  Kütle (\( m \)) = \( 3 \) kg
  İp uzunluğu (Yarıçap, \( r \)) = \( 1.5 \) m
  En alt noktadaki hız (\( v \)) = \( 6 \) m/s
  Yerçekimi ivmesi (\( g \)) = \( 10 \) m/s²
• Adım 2: En alt noktada cisme etki eden kuvvetleri inceleyelim.
  Cisme etki eden kuvvetler: Ağırlık kuvveti (\( mg \)) aşağı doğru ve ipteki gerilme kuvveti (\( T \)) yukarı doğrudur.
• Adım 3: Çembersel hareketi sağlayan net kuvveti yazalım.
  En alt noktada, merkez (ip) yukarıda olduğu için, net kuvvet merkeze doğru olmalıdır. Bu nedenle, ipteki gerilme kuvveti, ağırlık kuvvetinden daha büyüktür.
  Net Kuvvet (\( F_{net} \)) = \( T - mg \)
  Merkezcil kuvvet (\( F_c \)) = \( \frac{mv^2}{r} \)
• Adım 4: Net kuvveti merkezcil kuvvete eşitleyelim.
  \( T - mg = \frac{mv^2}{r} \)
• Adım 5: İpteki gerilme kuvvetini (\( T \)) çekecek şekilde formülü düzenleyelim.
  \( T = mg + \frac{mv^2}{r} \)
• Adım 6: Verilen değerleri formülde yerine koyalım.
  \( T = (3 \text{ kg} \times 10 \text{ m/s}^2) + \frac{(3 \text{ kg}) \times (6 \text{ m/s})^2}{1.5 \text{ m}} \)
• Adım 7: Hesaplamayı yapalım.
  \( T = 30 \text{ N} + \frac{3 \times 36}{1.5} \text{ N} \)
  \( T = 30 \text{ N} + \frac{108}{1.5} \text{ N} \)
  \( T = 30 \text{ N} + 72 \text{ N} \)
• Sonuç: İpteki gerilme kuvveti \( 102 \) N'dur. ✅

Bu soru, hem merkezcil kuvvetin hesaplanmasını hem de ip koptuğunda cismin hareketini anlamayı gerektirir.

• Adım 1: Verilenleri belirleyelim.
  İp uzunluğu (Yarıçap, \( r \)) = \( 1.2 \) m
  Çizgisel hız (\( v \)) = \( 5 \) m/s
  Kütle (\( m \)) = \( 0.4 \) kg
• Adım 2: Merkezcil kuvvet formülünü kullanarak hesaplama yapalım.
  Merkezcil kuvvet (\( F_c \)) = \( \frac{mv^2}{r} \)
• Adım 3: Değerleri formülde yerine koyalım.
  \( F_c = \frac{(0.4 \text{ kg}) \times (5 \text{ m/s})^2}{1.2 \text{ m}} \)
• Adım 4: Hesaplamayı yapalım.
  \( F_c = \frac{0.4 \times 25}{1.2} \) N
  \( F_c = \frac{10}{1.2} \) N
  \( F_c = \frac{100}{12} \) N
  \( F_c = \frac{25}{3} \) N
• Adım 5: Merkezcil kuvvetin anlamını açıklayalım.
  Bu kuvvet, topun dairesel yörüngede kalmasını sağlayan kuvvettir ve ip tarafından topa uygulanır.
• Adım 6: İp koparsa ne olur?
  Eğer ip koparsa, topa etki eden merkezcil kuvvet ortadan kalkar. Newton'un Birinci Hareket Yasası'na göre, cisim mevcut hızını koruyarak, ip koptuğu andaki hız vektörü yönünde, yani düz bir çizgide hareket etmeye devam eder. Bu hareket, topun bulunduğu andaki hızına teğet bir doğrultuda olacaktır. ➡️