🎓 12. Sınıf
📚 12. Sınıf Fizik
💡 12. Sınıf Fizik: Basit harmonik hareket Çözümlü Örnekler
12. Sınıf Fizik: Basit harmonik hareket Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir yaya bağlı kütleli basit harmonik hareket yapan sistemde, kütlenin uzanımı \( x = 5 \cos(2t) \) metre olarak verilmiştir. Bu hareketin genlik, açısal frekans ve periyot değerlerini bulunuz. 💡
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için basit harmonik hareketin standart denklemini kullanacağız: \( x(t) = A \cos(\omega t + \phi) \).
- Genlik (A): Denkleme göre, uzanımın alabileceği maksimum değerdir. Verilen denklemde \( x = 5 \cos(2t) \) olduğu için, genlik \( A = 5 \) metredir.
- Açısal Frekans (\(\omega\)): Denklemin \( t \) değişkeninin katsayısıdır. Verilen denklemde \( \omega = 2 \) radyan/saniye'dir.
- Periyot (T): Açısal frekans ile ters orantılıdır ve \( T = \frac{2\pi}{\omega} \) formülü ile bulunur. Bu durumda, \( T = \frac{2\pi}{2} = \pi \) saniye olur.
Örnek 2:
Bir sarkacın basit harmonik hareket yapması için küçük açılarla salınması gerekir. Eğer bir sarkaç 10 saniyede 20 tam salınım yapıyorsa, bu sarkacın frekans ve periyot değerlerini hesaplayınız. ⏱️
Çözüm:
Frekans ve periyot, salınım sayısıyla doğrudan ilişkilidir.
- Frekans (f): Birim zamanda yapılan tam salınım sayısıdır. Formülü \( f = \frac{\text{Salınım Sayısı}}{\text{Zaman}} \) şeklindedir. Bu durumda, \( f = \frac{20}{10 \text{ s}} = 2 \) Hertz (Hz) olur.
- Periyot (T): Bir tam salınım için geçen süredir ve frekansın tersidir. Formülü \( T = \frac{1}{f} \) şeklindedir. Bu durumda, \( T = \frac{1}{2 \text{ Hz}} = 0.5 \) saniye olur.
Örnek 3:
Basit harmonik hareket yapan bir yayın ucuna bağlı 2 kg'lık bir cisim, 4 saniyede 10 tam salınım yapmaktadır. Yayın yay sabiti (k) ve hareketin açısal frekansı (\(\omega\)) nedir? ⚖️
Çözüm:
Basit harmonik hareketin periyodunu ve açısal frekansını kullanarak yay sabitini bulabiliriz.
- Öncelikle periyodu hesaplayalım: \( T = \frac{\text{Zaman}}{\text{Salınım Sayısı}} = \frac{4 \text{ s}}{10} = 0.4 \) saniye.
- Açısal frekansı periyot cinsinden bulalım: \( \omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0.4} = 5\pi \) rad/s.
- Yaylı sarkacın periyodu için \( T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \) formülü kullanılır. Bu formülden yay sabitini çekebiliriz: \( T^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k} \Rightarrow k = \frac{4\pi^2 m}{T^2} \). Verilen değerleri yerine koyarsak: \( k = \frac{4\pi^2 (2 \text{ kg})}{(0.4 \text{ s})^2} = \frac{8\pi^2}{0.16} = 50\pi^2 \) N/m.
Örnek 4:
Bir masa saatinin sarkaç mekanizması, basit harmonik hareket prensibine göre çalışır. Eğer saatin sarkacı 2 saniyede bir tam salınım yapıyorsa, bu sarkacın frekansı ve açısal frekansı nedir? 🕰️
Çözüm:
Bu soruda, periyodu bilinen bir basit harmonik hareketin frekans ve açısal frekansını bulacağız.
- Frekans (f): Periyodun tersidir. \( f = \frac{1}{T} \). Verilen periyot \( T = 2 \) saniye olduğuna göre, \( f = \frac{1}{2} = 0.5 \) Hz'dir.
- Açısal Frekans (\(\omega\)): Frekans ile \( \omega = 2\pi f \) ilişkisi vardır. Bu durumda, \( \omega = 2\pi (0.5 \text{ Hz}) = \pi \) rad/s olur.
Örnek 5:
Bir lunaparktaki dönme dolap, kabinlerin dairesel hareketini kullanarak basit harmonik hareketi temsil edebilir (kabinlerin yerden yüksekliği). Eğer bir dönme dolabın yarıçapı 15 metre ve bir tam turunu 60 saniyede tamamlıyorsa, maksimum hız ve ivme (merkezcil ivme) değerlerini bulunuz. (Not: Bu, tam olarak basit harmonik hareket olmasa da, dairesel hareketin projeksiyonu SHM'yi verir.) 🎡
Çözüm:
Dönme dolabın hareketi dairesel hareket olduğundan, merkezcil ivme ve hız kavramlarını kullanacağız. Dairesel hareketin projeksiyonunun basit harmonik hareket olduğunu unutmayalım.
- Açısal Hız (\(\omega\)): Bir tam tur \( 2\pi \) radyan olduğundan ve bir tur 60 saniye sürdüğünden, \( \omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{60 \text{ s}} = \frac{\pi}{30} \) rad/s olur.
- Maksimum Hız (v_max): Dairesel hareketin projeksiyonu olan basit harmonik hareketin maksimum hızı, \( v_{max} = A \omega \) formülü ile bulunur. Burada genlik (A), dönme dolabın yarıçapına eşittir, yani \( A = 15 \) m. Bu durumda, \( v_{max} = (15 \text{ m}) \times (\frac{\pi}{30} \text{ rad/s}) = \frac{\pi}{2} \) m/s olur.
- Maksimum İvme (a_max): Basit harmonik hareketin maksimum ivmesi, \( a_{max} = A \omega^2 \) formülü ile bulunur. Bu durumda, \( a_{max} = (15 \text{ m}) \times (\frac{\pi}{30} \text{ rad/s})^2 = 15 \times \frac{\pi^2}{900} = \frac{\pi^2}{60} \) m/s² olur.
Örnek 6:
Bir salıncakta sallanan çocuğun hareketi, yaklaşık olarak basit harmonik hareket olarak modellenebilir. Eğer çocuğun salınımı 4 saniye sürüyorsa ve salıncağın en yüksek noktadan en alçak noktaya gelmesi 2 saniye alıyorsa, bu durumun periyodu ve frekansı hakkında ne söylenebilir? 🌳
Çözüm:
Salıncak hareketi, küçük açılar için basit harmonik harekete benzer.
- Periyot (T): Bir tam salınım, salıncağın bir yöne gidip geri dönmesiyle tamamlanır. En yüksek noktadan en alçak noktaya gelmesi yarım periyottur. Soruda en yüksek noktadan en alçak noktaya gelmenin 2 saniye sürdüğü belirtilmiş. Bu, yarım periyottur. Dolayısıyla, tam periyot \( T = 2 \times 2 \text{ s} = 4 \) saniye olur. Bu, soruda verilen 4 saniye ile uyumludur.
- Frekans (f): Frekans, periyodun tersidir. \( f = \frac{1}{T} \). Bu durumda, \( f = \frac{1}{4 \text{ s}} = 0.25 \) Hz olur.
Örnek 7:
Basit harmonik hareket yapan bir cismin konumu \( x(t) = 10 \sin(3t + \frac{\pi}{4}) \) metre olarak verilmiştir. Cismin maksimum kinetik enerjisi ve maksimum potansiyel enerjisi arasındaki ilişki nedir? (Not: Kinetik ve potansiyel enerjinin toplamı sabittir.) ⚡
Çözüm:
Basit harmonik harekette toplam enerji sabittir ve bu enerji, kinetik ve potansiyel enerji arasında sürekli olarak dönüşür.
- Maksimum Kinetik Enerji (KE_max): Cismin hızının maksimum olduğu anda gerçekleşir. Bu, cismin denge konumunda (x=0) olduğu zamandır. Toplam enerji \( E = \frac{1}{2} k A^2 \) formülü ile verilir, burada \( A \) genlik ve \( k \) yay sabiti veya eşdeğer bir kuvvettir. Maksimum kinetik enerji, toplam enerjiye eşittir: \( KE_{max} = E = \frac{1}{2} k A^2 \).
- Maksimum Potansiyel Enerji (PE_max): Cismin uzanımının maksimum olduğu anda (genlikte) gerçekleşir. Bu anda hız sıfır olur ve tüm enerji potansiyel enerjiye dönüşür: \( PE_{max} = \frac{1}{2} k A^2 \).
Örnek 8:
Bir yay sarkacının periyodu 2 saniyedir. Eğer sarkaca bağlı cismin kütlesi 4 katına çıkarılırsa, yeni periyot ne olur? 🔗
Çözüm:
Yay sarkacının periyodu, \( T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \) formülü ile verilir. Bu formülde \( m \) kütle ve \( k \) yay sabitidir.
- İlk durumdaki periyot \( T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m_1}{k}} = 2 \) saniyedir.
- İkinci durumda, kütle 4 katına çıkarılırsa, \( m_2 = 4m_1 \) olur. Yeni periyot \( T_2 \) şu şekilde hesaplanır: \( T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{m_2}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{4m_1}{k}} \) \( T_2 = 2\pi \sqrt{4} \sqrt{\frac{m_1}{k}} \) \( T_2 = 2 \times (2\pi \sqrt{\frac{m_1}{k}}) \) \( T_2 = 2 \times T_1 \)
- İlk periyot \( T_1 = 2 \) saniye olduğuna göre, yeni periyot \( T_2 = 2 \times 2 \text{ s} = 4 \) saniye olur.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/12-sinif-fizik-basit-harmonik-hareket/sorular