💡 11. Sınıf Matematik: Sayma yöntemleri Çözümlü Örnekler

💡 Çözüm Adımları:

• A'dan B'ye gitmek için \(3\) farklı seçenek vardır.
• B'den C'ye gitmek için \(4\) farklı seçenek vardır.
• Toplama veya Çarpma Yoluyla Sayma: Ardışık gerçekleşen bu olaylar için çarpma kuralı uygulanır.
• Toplam yolların sayısı = \(3 \times 4 = 12\) olarak bulunur.

✅ Doğru Cevap: \(12\)

💡 Çözüm Adımları:

• Faktöriyel tanımına göre sayılar en küçük faktöriyel olan \(5!\) cinsinden ortak paranteze alınır.
• Pay kısmındaki \(7!\) ifadesi \(7 \times 6 \times 5!\) şeklinde yazılır.
• Pay kısmındaki \(6!\) ifadesi \(6 \times 5!\) şeklinde yazılır.
• Pay = \(5! \times (42 + 6) = 5! \times 48\) olur.
• İfadeyi düzenlersek: \(\frac{5! \times 48}{5!}\) elde edilir.
• \(5!\) değerleri sadeleştiğinde sonuç \(48\) olarak bulunur.

✅ Doğru Cevap: \(48\)

💡 Çözüm Adımları:

• Permütasyon formülü: \(P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}\) şeklindedir.
• Formülü uygulayarak açılım yaparsak: \(n \times (n-1) = 30\) denklemi elde edilir.
• Aralarındaki fark \(1\) olan ve çarpımları \(30\) olan iki ardışık doğal sayı aranır.
• Bu sayılar \(6\) ve \(5\) tir. Yani \(n = 6\) ve \(n-1 = 5\) olur.
• Sonuç olarak \(n = 6\) bulunur.

✅ Doğru Cevap: \(6\)

💡 Çözüm Adımları:

• Kombinasyon formülü: \(C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}\) şeklindedir.
• Öncelikle 2 elemanlı alt küme sayısı hesaplanır: \(\binom{5}{2} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10\).
• Ardından 3 elemanlı alt küme sayısı hesaplanır: \(\binom{5}{3} = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10\).
• Not: Kombinasyon kuralı gereği \(\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}\) olduğu için \(\binom{5}{2} = \binom{5}{3}\) olduğu baştan da görülebilirdi.
• Değerler toplanır: \(10 + 10 = 20\).

✅ Doğru Cevap: \(20\)

💡 Çözüm Adımları:

• Bu soru temel toplama ve çarpma kurallarından biri olan Çarpma Yoluyla Sayma prensibiyle çözülür.
• Renk seçimi için alternatif sayısı = \(4\)
• Depolama kapasitesi seçimi için alternatif sayısı = \(3\)
• Ekran koruyucu seçimi için alternatif sayısı = \(2\)
• Seçeneklerin tümü bağımsız ve ardışık olarak seçileceği için değerler birbiriyle çarpılır.
• Toplam farklı özelleştirme alternatifi = \(4 \times 3 \times 2 = 24\) olarak bulunur.

✅ Doğru Cevap: \(24\)

💡 Çözüm Adımları:

• Takım oluşturma sıralama gözetmediği için Kombinasyon yöntemi kullanılır.
• 6 kız öğrenci arasından 2 kız öğrenci seçimi: \(\binom{6}{2} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15\) farklı şekilde yapılır.
• 4 erkek öğrenci arasından 2 erkek öğrenci seçimi: \(\binom{4}{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6\) farklı şekilde yapılır.
• Oluşturulan gruplar bağımsız gerçekleştiği için kombinasyon sonuçları çarpılır.
• Toplam takım sayısı = \(15 \times 6 = 90\) olarak hesaplanır.

✅ Doğru Cevap: \(90\)

💡 Çözüm Adımları:

• Günlük hayattaki karar verme süreçleri sayma kuralları ile birebir modellenir.
• Kahve çekirdeği seçimi için \(3\) farklı seçenek mevcuttur.
• Süt türü seçimi için \(2\) farklı seçenek mevcuttur.
• Tatlandırıcı şurup seçimi için \(4\) farklı seçenek mevcuttur.
• Her kategori kendi içinde bağımsız olduğundan, toplam kahve kombinasyonu bu sayıların çarpımı ile bulunur.
• Toplam kombinasyon = \(3 \times 2 \times 4 = 24\) farklı kahve tarifi.

✅ Doğru Cevap: \(24\)

💡 Çözüm Adımları:

• Şifre oluşturma işleminde basamaklar ve rakamlar dikkate alınır. Kullanılabilecek küme elemanları: \(\{0, 1, 2, 3, 4\}\) olup toplamda \(5\) elemanlıdır.
• Şifre \(3\) hanelidir (Yüzler, Onlar, Birler basamağı).
• Soruda rakamların tekrar kullanılabileceği belirtilmiştir.
• Birinci basamak için \(5\) farklı rakam seçilebilir.
• İkinci basamak için tekrar \(5\) farklı rakam seçilebilir.
• Üçüncü basamak için yine \(5\) farklı rakam seçilebilir.
• Toplam şifre sayısı = \(5 \times 5 \times 5 = 125\) olarak hesaplanır.

✅ Doğru Cevap: \(125\)