💡 11. Sınıf Matematik: Sayı Çözümlü Örnekler

Bir sayının rasyonel sayı olabilmesi için iki tam sayının oranı şeklinde ifade edilebilmesi gerekir. Yani \( \frac{a}{b} \) formatında yazılabilmelidir, burada \( a \) ve \( b \) tam sayılar ve \( b \neq 0 \) olmalıdır.

• \( \frac{3}{4} \): İki tam sayının oranıdır, rasyoneldir.
• \( -2 \): \( \frac{-2}{1} \) şeklinde yazılabilir, rasyoneldir.
• \( 0.5 \): \( \frac{5}{10} \) veya \( \frac{1}{2} \) şeklinde yazılabilir, rasyoneldir.
• \( \sqrt{2} \): Karekök dışına tam sayı olarak çıkamayan bir sayıdır ve iki tam sayının oranı şeklinde yazılamaz. Bu nedenle irrasyonel bir sayıdır.
• \( \frac{1}{3} \): İki tam sayının oranıdır, rasyoneldir.

Sonuç: \( \sqrt{2} \) bir rasyonel sayı değildir. 👉 Cevap: D

Verilen işlemi adım adım çözelim:

• Adım 1: Pay kısmındaki \( x^2 - y^2 \) ifadesini açalım. Bu, iki kare farkı özdeşliğidir: \( x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) \).
• Adım 2: İfadeyi yeniden yazalım: \( \frac{(x-y)(x+y)}{x+y} \).
• Adım 3: Pay ve paydadaki \( (x+y) \) terimlerini sadeleştirelim (eğer \( x+y \neq 0 \) ise). Bu durumda \( x+y = 3 + (-2) = 1 \neq 0 \) olduğu için sadeleştirme yapabiliriz.
• Adım 4: Sadeleşmiş ifade \( x-y \) olur.
• Adım 5: Verilen \( x \) ve \( y \) değerlerini yerine koyalım: \( 3 - (-2) = 3 + 2 = 5 \).

✅ Sonuç: İşlemin sonucu 5'tir.

Bu problemi bir bütün üzerinden düşünerek çözebiliriz:

• Adım 1: Tarlanın tamamını 1 birim (veya %100) olarak kabul edelim.
• Adım 2: Buğday ekilen alan tarlanın çeyreği, yani \( \frac{1}{4} \) 'üdür.
• Adım 3: Kalan alan \( 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \) 'tür.
• Adım 4: Mısır ekilen alan, kalan alanın yarısıdır: \( \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{8} \).
• Adım 5: Toplam ekilen alan: Buğday + Mısır = \( \frac{1}{4} + \frac{3}{8} \). Ortak paydayı 8 yaparsak: \( \frac{2}{8} + \frac{3}{8} = \frac{5}{8} \).
• Adım 6: Çiftçinin boş bıraktığı alan, tarlanın tamamından ekilen alanı çıkararak bulunur: \( 1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8} \).

💡 Buğday ekilen alan \( \frac{2}{8} \), mısır ekilen alan \( \frac{3}{8} \), boş kalan alan ise \( \frac{3}{8} \) 'dir. Toplamları \( \frac{2+3+3}{8} = \frac{8}{8} = 1 \) olur.

👉 Çiftçinin boş bıraktığı alan, tarlanın tamamının \( \frac{3}{8} \)'idir.

İndirim miktarını ve son fiyatı hesaplayalım:

• Adım 1: İndirim miktarını hesaplayalım. İndirim oranı %20, yani \( \frac{20}{100} \).
• Adım 2: İndirim tutarı = Başlangıç Fiyatı \( \times \) İndirim Oranı
• Adım 3: İndirim tutarı = \( 150 \text{ TL} \times \frac{20}{100} = 150 \times \frac{1}{5} = 30 \text{ TL} \).
• Adım 4: İndirimli fiyat = Başlangıç Fiyatı - İndirim Tutarı
• Adım 5: İndirimli fiyat = \( 150 \text{ TL} - 30 \text{ TL} = 120 \text{ TL} \).

✅ Alternatif olarak, ürünün %80'ini ödeyeceğimiz için: \( 150 \text{ TL} \times \frac{80}{100} = 150 \times \frac{4}{5} = 120 \text{ TL} \).

👉 Ürünün indirimli fiyatı 120 TL'dir.

Üslü sayı denklemlerini çözerken tabanları eşitlemeye çalışırız:

• Adım 1: Denklem \( 3^{x+1} = 27 \) olarak verilmiş.
• Adım 2: 27 sayısını 3'ün kuvveti şeklinde yazalım. \( 27 = 3 \times 3 \times 3 = 3^3 \).
• Adım 3: Denklemi yeniden yazalım: \( 3^{x+1} = 3^3 \).
• Adım 4: Tabanlar eşit olduğunda, üsler de eşit olmalıdır. Bu nedenle: \( x+1 = 3 \).
• Adım 5: \( x \) değerini bulmak için denklemi çözelim: \( x = 3 - 1 \).
• Adım 6: \( x = 2 \).

💡 Kontrol edelim: \( 3^{2+1} = 3^3 = 27 \). Denklem sağlanıyor.

👉 Denklemi sağlayan \( x \) değeri 2'dir.

Kök içindeki sayıları sadeleştirerek işlemi yapalım:

• Adım 1: \( \sqrt{50} \) sayısını sadeleştirelim. \( 50 = 25 \times 2 \), bu nedenle \( \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \).
• Adım 2: \( \sqrt{18} \) sayısını sadeleştirelim. \( 18 = 9 \times 2 \), bu nedenle \( \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{9} \times \sqrt{2} = 3\sqrt{2} \).
• Adım 3: \( \sqrt{8} \) sayısını sadeleştirelim. \( 8 = 4 \times 2 \), bu nedenle \( \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = \sqrt{4} \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \).
• Adım 4: Sadeleşmiş ifadeleri ana işlemde yerine koyalım: \( 5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} \).
• Adım 5: Kökleri aynı olan terimleri toplayıp çıkaralım: \( (5+3-2)\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \).

✅ Sonuç: İşlemin sonucu \( 6\sqrt{2} \)'dir.

Dizinin terimlerini adım adım hesaplayalım:

• Adım 1: Dizinin birinci terimi \( a_1 = 5 \) olarak verilmiş.
• Adım 2: İkinci terimi hesaplayalım. Kural: \( a_n = 2 \times a_{n-1} + 3 \).
• Adım 3: \( a_2 = 2 \times a_1 + 3 = 2 \times 5 + 3 = 10 + 3 = 13 \).
• Adım 4: Üçüncü terimi hesaplayalım. \( a_3 = 2 \times a_2 + 3 = 2 \times 13 + 3 = 26 + 3 = 29 \).
• Adım 5: Dördüncü terimi hesaplayalım. \( a_4 = 2 \times a_3 + 3 = 2 \times 29 + 3 = 58 + 3 = 61 \).

💡 Dizinin ilk dört terimi: 5, 13, 29, 61.

👉 Dizinin 4. terimi 61'dir.

Oran ve orantı prensiplerini kullanarak problemi çözelim:

• Adım 1: Kız öğrenci sayısını \( 3k \) ve erkek öğrenci sayısını \( 2k \) olarak ifade edelim. Buradaki \( k \) bir orantı sabitidir.
• Adım 2: Sınıftaki toplam öğrenci sayısı, kız ve erkek öğrenci sayılarının toplamıdır: \( 3k + 2k \).
• Adım 3: Toplam öğrenci sayısının 25 olduğu verilmiş: \( 3k + 2k = 25 \).
• Adım 4: Denklemi çözelim: \( 5k = 25 \).
• Adım 5: Orantı sabitini bulalım: \( k = \frac{25}{5} = 5 \).
• Adım 6: Erkek öğrenci sayısını bulmak için \( k \) değerini erkek öğrenci oranıyla çarpalım: Erkek öğrenci sayısı = \( 2k = 2 \times 5 = 10 \).

💡 Kız öğrenci sayısı = \( 3k = 3 \times 5 = 15 \). Toplam öğrenci = \( 15 + 10 = 25 \). Kontrol edildi.

👉 Sınıftaki erkek öğrenci sayısı 10'dur.