🎓 11. Sınıf
📚 11. Sınıf Matematik
💡 11. Sınıf Matematik: Permütasyon Çözümlü Örnekler
11. Sınıf Matematik: Permütasyon Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
💡 Temel Permütasyon Kavramı:
Bir okulun 11. sınıfında okuyan \( 5 \) öğrenci, yan yana duran \( 3 \) sandalyeye kaç farklı şekilde oturabilir?
Bir okulun 11. sınıfında okuyan \( 5 \) öğrenci, yan yana duran \( 3 \) sandalyeye kaç farklı şekilde oturabilir?
Çözüm:
Bu soru, \( 5 \) elemanlı bir kümenin \( 3 \) elemanlı permütasyonlarının sayısını bulmamızı gerektirir.
Çözüm Adımları:
Çözüm Adımları:
- Permütasyon formülü: \( P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!} \) şeklindedir.
- Burada \( n = 5 \) ve \( r = 3 \) olarak verilmiştir.
- Formülü uygulayalım:
\[ P(5, 3) = \frac{5!}{(5-3)!} \] - İşlemi sadeleştirelim:
\[ P(5, 3) = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} \] - Buradan sonuç:
\[ P(5, 3) = 5 \times 4 \times 3 = 60 \] olarak bulunur.
Örnek 2:
📌 Koşullu Permütasyon:
Aralarında Elif ve Kerem'in de bulunduğu \( 6 \) kişilik bir arkadaş grubu yan yana fotoğraf çektirecektir. Elif ve Kerem'in her zaman yan yana olması koşuluyla bu grup kaç farklı şekilde sıralanabilir?
Aralarında Elif ve Kerem'in de bulunduğu \( 6 \) kişilik bir arkadaş grubu yan yana fotoğraf çektirecektir. Elif ve Kerem'in her zaman yan yana olması koşuluyla bu grup kaç farklı şekilde sıralanabilir?
Çözüm:
Elif ve Kerem'in yan yana olması istendiği için onları tek bir kişi gibi düşüneceğiz.
Çözüm Adımları:
Çözüm Adımları:
- Elif ve Kerem'i bir paket yapalım: \( (EK) \)
- Geriye kalan \( 4 \) kişi ile birlikte toplam eleman sayısı:
\( 1 \) (paket) \( + 4 = 5 \) kişi olur. - Bu \( 5 \) kişi kendi arasında \( 5! \) kadar farklı şekilde sıralanır:
\[ 5! = 120 \] - Ayrıca Elif ve Kerem kendi aralarında yer değiştirebilir. Bu yer değiştirme sayısı:
\[ 2! = 2 \] - Çarpma yoluyla sayma kuralına göre toplam sıralama sayısı:
\[ 120 \times 2 = 240 \]
Örnek 3:
👉 Tekrarlı Permütasyon:
"KELEBEK" kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek anlamlı ya da anlamsız 7 harfli kaç farklı kelime yazılabilir?
"KELEBEK" kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek anlamlı ya da anlamsız 7 harfli kaç farklı kelime yazılabilir?
Çözüm:
"KELEBEK" kelimesindeki bazı harfler tekrar ettiği için tekrarlı permütasyon formülünü kullanmalıyız.
Çözüm Adımları:
Çözüm Adımları:
- Kelimedeki toplam harf sayısı: \( n = 7 \)
- Tekrar eden harfleri belirleyelim:
- "K" harfi \( 2 \) kez tekrar ediyor.
- "E" harfi \( 3 \) kez tekrar ediyor.
- "L" harfi \( 1 \) kez tekrar ediyor.
- "B" harfi \( 1 \) kez tekrar ediyor.
- Tekrarlı permütasyon formülünü uygulayalım:
\[ \frac{7!}{2! \times 3! \times 1! \times 1!} \] - Hesaplamayı yapalım:
\[ \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3!}{2 \times 1 \times 3!} \] - Pay ve paydadaki \( 3! \) ifadelerini sadeleştirelim:
\[ \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4}{2} = 7 \times 6 \times 5 \times 2 = 420 \]
Örnek 4:
📱 Akıllı Telefon Şifresi:
Bir kullanıcı, akıllı telefonuna \( 4 \) haneli bir pin kodu belirleyecektir. Kullanıcı, şifresinde kullanacağı rakamların birbirinden farklı olmasını ve şifrenin tek sayı olmasını istemektedir.
Buna göre, bu kullanıcı kaç farklı pin kodu oluşturabilir?
Bir kullanıcı, akıllı telefonuna \( 4 \) haneli bir pin kodu belirleyecektir. Kullanıcı, şifresinde kullanacağı rakamların birbirinden farklı olmasını ve şifrenin tek sayı olmasını istemektedir.
Buna göre, bu kullanıcı kaç farklı pin kodu oluşturabilir?
Çözüm:
Pin kodları \( 4 \) haneli olup, rakamlar kümesi \( \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \) elemanlarından seçilecektir. Toplam \( 10 \) adet rakam vardır.
Çözüm Adımları:
Çözüm Adımları:
- Şifrenin tek sayı olması için son basamağa (birler basamağına) tek rakamlar gelmelidir. Bu rakamlar: \( \{1, 3, 5, 7, 9\} \) olup \( 5 \) seçeneğimiz vardır.
- Rakamları farklı dendiği için son basamağa yerleştirdiğimiz bir rakamı diğer basamaklarda kullanamayız.
- Pin kodunun ilk hanesine (binler basamağına) \( 0 \) dâhil tüm kalan rakamlar gelebilir (Pin kodları \( 0 \) ile başlayabilir).
- Kalan basamaklar için seçenek sayılarını belirleyelim:
- Son basamak (Birler): \( 5 \) seçenek
- İlk basamak (Binler): \( 9 \) seçenek (kalan 9 rakamdan biri)
- İkinci basamak (Yüzler): \( 8 \) seçenek (kalan 8 rakamdan biri)
- Üçüncü basamak (Onlar): \( 7 \) seçenek (kalan 7 rakamdan biri)
- Çarpma kuralına göre toplam şifre sayısı:
\[ 9 \times 8 \times 7 \times 5 \] - Çarpma işlemini yapalım:
\[ 9 \times 8 \times 7 \times 5 = 2520 \]
Örnek 5:
🔥 Sıralama ve Koşul:
\( A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \) kümesinin elemanları kullanılarak yazılabilen, rakamları farklı 6 basamaklı doğal sayıların kaç tanesinde çift rakamlar küçükten büyüğe doğru sıralanmıştır?
\( A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \) kümesinin elemanları kullanılarak yazılabilen, rakamları farklı 6 basamaklı doğal sayıların kaç tanesinde çift rakamlar küçükten büyüğe doğru sıralanmıştır?
Çözüm:
Kümedeki çift rakamlar \( \{2, 4, 6\} \) şeklindedir. Bu üç rakamın kendi aralarındaki sırası önceden belirlenmiştir (yani mutlaka \( 2-4-6 \) sırasında olmalıdırlar).
Çözüm Adımları:
Çözüm Adımları:
- 6 basamaklı bir sayıda tüm rakamların (rakamları farklı) toplam sıralanma sayısı:
\[ 6! = 720 \] - Bu \( 720 \) farklı sıralamanın her birinde, \( \{2, 4, 6\} \) rakamları kendi aralarında \( 3! = 6 \) farklı şekilde sıralanabilir.
- Bu \( 6 \) farklı sıralama durumundan sadece 1 tanesi bizim istediğimiz "küçükten büyüğe" (\( 2, 4, 6 \)) sırasına uygundur.
- Dolayısıyla, tüm durumların tam olarak \( \frac{1}{6} \)'sında çift sayılar küçükten büyüğe sıralanmıştır.
- İstenen durum sayısı:
\[ \frac{6!}{3!} = \frac{720}{6} = 120 \]
Örnek 6:
🚗 Otopark Düzeni:
Bir alışveriş merkezinin otoparkında yan yana boş olan \( 5 \) park yerine \( 3 \) farklı araba park edilecektir. Arabaların arasında en az birer boşluk kalması şartıyla bu arabalar otoparka kaç farklı şekilde park edebilir?
Bir alışveriş merkezinin otoparkında yan yana boş olan \( 5 \) park yerine \( 3 \) farklı araba park edilecektir. Arabaların arasında en az birer boşluk kalması şartıyla bu arabalar otoparka kaç farklı şekilde park edebilir?
Çözüm:
Arabaları \( A_1 \), \( A_2 \), \( A_3 \) olarak adlandıralım. Arabaların arasında en az birer boş park yeri kalmalıdır.
Çözüm Adımları:
Çözüm Adımları:
- Toplam \( 5 \) park yerimiz var. Arabaların arasında en az bir boşluk kalabilmesi için arabaların park edebileceği yerlerin konumlarını belirleyelim.
- Park yerlerini \( 1, 2, 3, 4, 5 \) olarak numaralandırırsak, aralarında boşluk kalacak şekilde seçilebilecek tek bir konum kombinasyonu vardır:
1. yer, 3. yer ve 5. yer. - Eğer başka bir yer seçilirse (örneğin 1, 2, 4) iki araba yan yana gelmiş olur ki bu kurala aykırıdır.
- Bu durumda arabaların park edeceği yerler kesin olarak belirlenmiştir: \( \{1, 3, 5\} \) numaralı yerler.
- \( 3 \) farklı araba, belirlenen bu \( 3 \) yere kendi aralarında yer değiştirerek park edebilir.
- Sıralama sayısı:
\[ 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \]
Örnek 7:
📌 Sıfır İçeren Rakamlarla Sayı Yazma:
\( B = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\} \) kümesinin elemanları kullanılarak rakamları farklı, 4 basamaklı kaç farklı çift sayı yazılabilir?
\( B = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\} \) kümesinin elemanları kullanılarak rakamları farklı, 4 basamaklı kaç farklı çift sayı yazılabilir?
Çözüm:
Sıfır rakamı hem sayının çift olmasını etkiler (birler basamağında) hem de binler basamağına gelemeyeceği için özel olarak incelenmelidir. Bu yüzden soruyu iki durumda çözeceğiz.
Çözüm Adımları:
Çözüm Adımları:
- Durum 1: Birler basamağının 0 olması
- Birler basamağı için \( 1 \) seçenek vardır (\( 0 \)).
- Binler basamağı için kalan \( 5 \) rakamdan biri seçilebilir.
- Yüzler basamağı için kalan \( 4 \) rakamdan biri seçilebilir.
- Onlar basamağı için kalan \( 3 \) rakamdan biri seçilebilir.
- Bu durumdaki sayı adedi:
\[ 5 \times 4 \times 3 \times 1 = 60 \]
- Durum 2: Birler basamağının 2 veya 4 olması
- Birler basamağı için \( 2 \) seçenek vardır (\( 2, 4 \)).
- Binler basamağına \( 0 \) gelemeyeceği ve birler basamağına bir rakam yazdığımız için kalan \( 4 \) rakamdan biri seçilebilir.
- Yüzler basamağı için artık \( 0 \) dâhil kalan \( 4 \) rakamdan biri seçilebilir.
- Onlar basamağı için kalan \( 3 \) rakamdan biri seçilebilir.
- Bu durumdaki sayı adedi:
\[ 4 \times 4 \times 3 \times 2 = 96 \]
- Toplam çift sayı adedi bu iki durumun toplamıdır:
\[ 60 + 96 = 156 \]
Örnek 8:
📚 Kütüphane Raf Düzeni:
Bir öğrenci, çalışma masasındaki rafa \( 3 \) farklı Matematik, \( 2 \) farklı Fizik ve \( 2 \) farklı Kimya kitabını dizecektir.
Aynı branştan olan kitapların yan yana gelmesi koşuluyla bu kitaplar rafa kaç farklı şekilde dizilebilir?
Bir öğrenci, çalışma masasındaki rafa \( 3 \) farklı Matematik, \( 2 \) farklı Fizik ve \( 2 \) farklı Kimya kitabını dizecektir.
Aynı branştan olan kitapların yan yana gelmesi koşuluyla bu kitaplar rafa kaç farklı şekilde dizilebilir?
Çözüm:
Aynı branşın kitaplarının bir arada bulunması istendiği için her branşın kitaplarını kendi içinde tek bir grup olarak kabul edeceğiz.
Çözüm Adımları:
Çözüm Adımları:
- Matematik kitapları grubu: \( M \) (1 grup)
- Fizik kitapları grubu: \( F \) (1 grup)
- Kimya kitapları grubu: \( K \) (1 grup)
- Bu \( 3 \) grup kendi arasında rafa \( 3! \) farklı şekilde sıralanır:
\[ 3! = 6 \] - Şimdi her grubun kendi içindeki kitapların yer değişimlerini hesaplayalım:
- Matematik kitapları kendi arasında: \( 3! = 6 \) farklı şekilde,
- Fizik kitapları kendi arasında: \( 2! = 2 \) farklı şekilde,
- Kimya kitapları kendi arasında: \( 2! = 2 \) farklı şekilde sıralanır.
- Çarpma kuralına göre tüm bu durumların çarpımı bize toplam dizilim sayısını verir:
\[ 3! \times (3! \times 2! \times 2!) \] - Hesaplamayı yapalım:
\[ 6 \times (6 \times 2 \times 2) = 6 \times 24 = 144 \]
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-permutasyon/sorular