🎓 11. Sınıf
📚 11. Sınıf Matematik
💡 11. Sınıf Matematik: Nicelikler ve değişimler Çözümlü Örnekler
11. Sınıf Matematik: Nicelikler ve değişimler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
\( f(x) = 4x - 7 \) fonksiyonunun \( [2, 6] \) aralığındaki ortalama değişim hızını hesaplayınız. 💡
Çözüm:
Bir fonksiyonun \( [a, b] \) aralığındaki ortalama değişim hızı formülü:
\[ \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \]
Bu formülü sorumuza uygulayalım:
- İlk olarak \( f(6) \) değerini bulalım: \( f(6) = 4 \times 6 - 7 = 24 - 7 = 17 \)
- Sonra \( f(2) \) değerini bulalım: \( f(2) = 4 \times 2 - 7 = 8 - 7 = 1 \)
- Değerleri formülde yerine koyalım:
Örnek 2:
\( f(x) = x^2 + 3x - 2 \) fonksiyonunun \( [1, 3] \) aralığındaki ortalama değişim hızı kaçtır? 📈
Çözüm:
Ortalama değişim hızı için fonksiyonun uç noktalardaki değerlerini hesaplamalıyız:
- \( x = 3 \) için: \( f(3) = 3^2 + 3 \times 3 - 2 = 9 + 9 - 2 = 16 \)
- \( x = 1 \) için: \( f(1) = 1^2 + 3 \times 1 - 2 = 1 + 3 - 2 = 2 \)
- Değişim hızı formülünü uygulayalım:
Örnek 3:
Bir bitkinin boyu \( t \) (hafta) cinsinden zamanı göstermek üzere \( h(t) = 2t^2 + 5 \) (cm) fonksiyonu ile modellenmiştir. Bu bitkinin 2. hafta ile 4. hafta arasındaki ortalama uzama hızı kaç cm/hafta olur? 🌱
Çözüm:
Bu problemde niceliklerin değişimi, bitkinin boyundaki değişimin zamandaki değişime oranıdır:
- 4. haftadaki boy: \( h(4) = 2 \times 4^2 + 5 = 2 \times 16 + 5 = 37 \) cm
- 2. haftadaki boy: \( h(2) = 2 \times 2^2 + 5 = 2 \times 4 + 5 = 13 \) cm
- Ortalama değişim hızı:
Örnek 4:
\( f(x) = -x^2 + 8x + 10 \) fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralığı bulunuz. 🔍
Çözüm:
İkinci dereceden bir fonksiyonun (parabolün) artan veya azalan olduğu aralıklar tepe noktasına göre belirlenir:
- Fonksiyonun katsayıları: \( a = -1 \), \( b = 8 \), \( c = 10 \)
- Tepe noktasının apsisi \( r = \frac{-b}{2a} \):
- Kollar aşağı doğru olduğu için (\( a < 0 \)), fonksiyon \( -\infty \) noktasından tepe noktasına kadar artan, tepe noktasından \( \infty \) noktasına kadar azalandır.
Örnek 5:
Bir aracın \( t \) saniye cinsinden aldığı yol \( s(t) = t^2 + 10t \) (metre) olarak verilmiştir. Aracın 3. saniye ile 5. saniye arasındaki ortalama hızı kaç m/sn'dir? 🏎️
Çözüm:
Fizikte ortalama hız, konumdaki değişimin zamandaki değişime oranıdır. Bu da matematiksel olarak ortalama değişim hızına karşılık gelir:
- 5. saniyedeki konum: \( s(5) = 5^2 + 10 \times 5 = 25 + 50 = 75 \) metre
- 3. saniyedeki konum: \( s(3) = 3^2 + 10 \times 3 = 9 + 30 = 39 \) metre
- Ortalama hız:
Örnek 6:
\( f(x) = x^2 + ax + 5 \) fonksiyonunun \( [1, 4] \) aralığındaki ortalama değişim hızı \( 7 \) olduğuna göre, a sayısının değeri kaçtır? 🧐
Çözüm:
Ortalama değişim hızı formülünü \( a \) değişkenine bağlı olarak kuralım:
- \( f(4) = 4^2 + 4a + 5 = 16 + 4a + 5 = 21 + 4a \)
- \( f(1) = 1^2 + a + 5 = 6 + a \)
- Formülü yazalım:
Örnek 7:
Bir şirketin günlük kârı \( x \) satılan ürün adedi olmak üzere \( P(x) = -x^2 + 40x - 300 \) (TL) fonksiyonu ile hesaplanmaktadır. Bu şirketin maksimum kâr elde etmesi için günde kaç ürün satması gerekir? 💰
Çözüm:
Maksimum kârı bulmak için parabolün tepe noktasını (\( r \)) hesaplamalıyız:
- Fonksiyonun katsayıları: \( a = -1 \), \( b = 40 \)
- Tepe noktası apsis formülü: \( r = \frac{-b}{2a} \)
- Burada \( r = 20 \), maksimum kârın elde edildiği ürün adedidir.
Örnek 8:
Bir su deposundaki suyun yüksekliği \( h(t) = \sqrt{t} + 2 \) (metre) fonksiyonu ile verilmiştir. Depodaki suyun yüksekliğinin 4. saat ile 9. saat arasındaki ortalama değişim hızı nedir? 💧
Çözüm:
Zaman içindeki yükseklik değişimini hesaplayalım:
- 9. saatteki yükseklik: \( h(9) = \sqrt{9} + 2 = 3 + 2 = 5 \) metre
- 4. saatteki yükseklik: \( h(4) = \sqrt{4} + 2 = 2 + 2 = 4 \) metre
- Ortalama değişim hızı formülü:
- Ondalık gösterim olarak: \( 0.2 \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-nicelikler-ve-degisimler/sorular