11. Sınıf Küre silindir koni Çözümlü Sorular ve Örnekler

Çözümlü Örnek

Kolay Seviye

📌 Soru:
Taban yarıçapı \( r = 3 \) cm ve yüksekliği \( h = 8 \) cm olan bir dik dairesel silindirin hacmini ve toplam yüzey alanını \( \pi \) cinsinden bulunuz.

Çözümlü Örnek

Orta Seviye

📌 Soru:
Taban yarıçapı \( r = 5 \) cm ve ana doğrusunun uzunluğu \( a = 13 \) cm olan bir dik dairesel koninin hacmini \( \pi \) cinsinden bulunuz.

Çözümlü Örnek

Orta Seviye

📌 Soru:
Yarıçapı \( r = 6 \) cm olan bir kürenin yüzey alanının, hacmine oranını bulunuz.

Çözümlü Örnek

Zor Seviye

📌 Soru:
Yüksekliği \( h = 12 \) cm olan dik dairesel silindir biçimindeki boş bir bardağın içine, bardağın tabanına ve yan yüzeylerine teğet olacak şekilde yarıçapı \( r = 4 \) cm olan küre biçiminde demir bir bilye atılıyor. Bardağın tamamen dolması için bilyenin yanına kaç \(\text{cm}^3\) su eklenmelidir? (\( \pi \) değerini aynen bırakınız.)

Çözümlü Örnek

Günlük Hayattan Örnek

📌 Soru:
Bir belediye, parktaki yeşil alanları sulamak için silindir şeklinde bir su tankeri yaptıracaktır. Tankerin taban çapı \( 2 \) metre ve uzunluğu (yüksekliği) \( 6 \) metredir. Bu su tankeri tam dolu olduğunda kaç litre su alır? (\( \pi = 3 \) alınız, \( 1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ litre} \))

Çözümlü Örnek

Yeni Nesil Soru

📌 Soru:
Bir dondurma dükkanı, çocuklara özel dik dairesel koni biçiminde külahlar tasarlamıştır. Bu külahın derinliği (yüksekliği) \( 12 \) cm ve ağız çapı \( 10 \) cm'dir. Külahın içine tamamen erimiş dondurma doldurulduğunda, dondurmanın taşmaması için üst yüzeyde \( 3 \) cm boşluk bırakılıyor. Buna göre külahın içindeki dondurmanın hacmi kaç \(\text{cm}^3\) olur? (\( \pi = 3 \) alınız.)

Çözümlü Örnek

Zor Seviye

📌 Soru:
Yarıçapı \( R = 5 \) cm olan bir kürenin merkezinden \( 3 \) cm uzaklıkta bir düzlemle kesilmesiyle elde edilen kesit dairesinin alanını bulunuz.

Çözümlü Örnek

Günlük Hayattan Örnek

📌 Soru:
Küre şeklinde homojen bir portakalın yarıçapı \( 4 \) cm'dir. Bu portakal tam ortasından iki eş yarım küreye bölünüyor. Bölünme sonucunda ortaya çıkan toplam yüzey alanı, başlangıçtaki portakalın yüzey alanından kaç \(\text{cm}^2\) fazladır? (\( \pi = 3 \) alınız.)

11. Sınıf Matematik: Küre silindir koni Çözümlü Örnekler

Örnek 1:

📌 Soru:
Taban yarıçapı \( r = 3 \) cm ve yüksekliği \( h = 8 \) cm olan bir dik dairesel silindirin hacmini ve toplam yüzey alanını \( \pi \) cinsinden bulunuz.

Çözüm:

💡 Çözüm:
Dik dairesel silindirin hacim ve alan formüllerini uygulayalım:

Hacim Formülü: Hacim \( = \pi \times r^2 \times h \)
Yüzey Alanı Formülü: Toplam Alan \( = 2 \times \pi \times r^2 + 2 \times \pi \times r \times h \)

Adım adım hesaplayalım:

Hacim Hesabı:
Hacim \( = \pi \times 3^2 \times 8 \)
Hacim \( = \pi \times 9 \times 8 = 72\pi \) \(\text{cm}^3\) bulunur.
Yüzey Alanı Hesabı:
Taban Alanları Toplamı \( = 2 \times \pi \times 3^2 = 18\pi \) \(\text{cm}^2\)
Yanal Alan \( = 2 \times \pi \times 3 \times 8 = 48\pi \) \(\text{cm}^2\)
Toplam Alan \( = 18\pi + 48\pi = 66\pi \) \(\text{cm}^2\) bulunur.

✅ Cevap: Hacim \( = 72\pi \) \(\text{cm}^3\) ve Toplam Alan \( = 66\pi \) \(\text{cm}^2\) dir.

Örnek 2:

📌 Soru:
Taban yarıçapı \( r = 5 \) cm ve ana doğrusunun uzunluğu \( a = 13 \) cm olan bir dik dairesel koninin hacmini \( \pi \) cinsinden bulunuz.

Çözüm:

💡 Çözüm:
Koninin hacmini bulabilmek için öncelikle yüksekliğini (\( h \)) hesaplamamız gerekir.

Konide taban yarıçapı (\( r \)), yükseklik (\( h \)) ve ana doğru (\( a \)) arasında bir dik üçgen oluşur.
Pisagor bağıntısına göre: \( r^2 + h^2 = a^2 \) bağıntısı vardır.

Adım adım işlemlerimizi yapalım:

Yüksekliğin Bulunması:
\( 5^2 + h^2 = 13^2 \)
\( 25 + h^2 = 169 \)
\( h^2 = 144 \) ise \( h = 12 \) cm olarak bulunur (5-12-13 özel dik üçgeni).
Hacim Hesabı:
Koninin Hacim Formülü: Hacim \( = \frac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h \)
Hacim \( = \frac{1}{3} \times \pi \times 5^2 \times 12 \)
Hacim \( = \frac{1}{3} \times \pi \times 25 \times 12 \)
Hacim \( = \pi \times 25 \times 4 = 100\pi \) \(\text{cm}^3\) bulunur.

✅ Cevap: Koninin hacmi \( 100\pi \) \(\text{cm}^3\) tür.

Örnek 3:

📌 Soru:
Yarıçapı \( r = 6 \) cm olan bir kürenin yüzey alanının, hacmine oranını bulunuz.

Çözüm:

💡 Çözüm:
Kürenin alan ve hacim formüllerini yazarak oranlayalım:

Kürenin Alanı: Alan \( = 4 \times \pi \times r^2 \)
Kürenin Hacmi: Hacim \( = \frac{4}{3} \times \pi \times r^3 \)

Oranlama işlemini gerçekleştirelim:

Oran Formülü:
\( \frac{\text{Alan}}{\text{Hacim}} = \frac{4 \times \pi \times r^2}{\frac{4}{3} \times \pi \times r^3} \)
Sadeleştirme:
Pay ve paydadaki \( 4 \times \pi \) ifadeleri sadeleşir:
\( \frac{\text{Alan}}{\text{Hacim}} = \frac{r^2}{\frac{1}{3} \times r^3} = \frac{3}{r} \) kalır.
Değeri Yerine Yazma:
Yarıçap \( r = 6 \) cm olduğuna göre:
Oran \( = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \) olarak bulunur.

✅ Cevap: Kürenin yüzey alanının hacmine oranı \( \frac{1}{2} \) dir.

Örnek 4:

Çözüm:

💡 Çözüm:
Eklenmesi gereken su miktarı, silindirin bilyenin yüksekliğine kadar olan kısmının hacminden, kürenin hacminin çıkarılmasıyla bulunur. Ancak bilye atıldığında bardağın tamamının dolması istendiği için tüm silindirin hacminden kürenin hacmini çıkarmalıyız.

Kürenin yarıçapı \( r = 4 \) cm'dir.
Silindirin taban yarıçapı, küre yan yüzeylere teğet olduğu için kürenin yarıçapına eşittir. Yani silindirin yarıçapı da \( R = 4 \) cm olur.
Silindirin yüksekliği \( h = 12 \) cm'dir.

Hesaplamaları yapalım:

Silindirin Toplam Hacmi:
\( V_{\text{silindir}} = \pi \times R^2 \times h \)
\( V_{\text{silindir}} = \pi \times 4^2 \times 12 = \pi \times 16 \times 12 = 192\pi \) \(\text{cm}^3\)
Kürenin Hacmi:
\( V_{\text{küre}} = \frac{4}{3} \times \pi \times r^3 \)
\( V_{\text{küre}} = \frac{4}{3} \times \pi \times 4^3 = \frac{4}{3} \times \pi \times 64 = \frac{256\pi}{3} \) \(\text{cm}^3\)
Eklenecek Su Miktarı:
\( V_{\text{su}} = V_{\text{silindir}} - V_{\text{küre}} \)
\( V_{\text{su}} = 192\pi - \frac{256\pi}{3} \)
\( V_{\text{su}} = \frac{576\pi - 256\pi}{3} = \frac{320\pi}{3} \) \(\text{cm}^3\) bulunur.

✅ Cevap: Bardağın dolması için \( \frac{320\pi}{3} \) \(\text{cm}^3\) su eklenmelidir.

Örnek 5:

Çözüm:

💡 Çözüm:
Günlük hayatta karşılaştığımız bu problemi çözmek için silindirin hacmini metreküp cinsinden bulup litreye çevirmeliyiz.

Tankerin taban çapı \( 2 \) metre ise yarıçapı \( r = \frac{2}{2} = 1 \) metredir.
Tankerin yüksekliği \( h = 6 \) metredir.
\( \pi = 3 \) olarak alınacaktır.

Adım adım hesaplayalım:

Hacim Hesabı (\(\text{m}^3\) cinsinden):
Hacim \( = \pi \times r^2 \times h \)
Hacim \( = 3 \times 1^2 \times 6 \)
Hacim \( = 3 \times 1 \times 6 = 18 \text{ m}^3 \)
Litreye Çevirme:
\( 1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ litre} \) olduğuna göre:
Toplam Su Miktarı \( = 18 \times 1000 = 18000 \text{ litre} \) bulunur.

✅ Cevap: Su tankeri tam dolu olduğunda \( 18000 \) litre su alır.

Örnek 6:

Çözüm:

💡 Çözüm:
Bu yeni nesil soruda, koni benzerliği veya doğrudan üstten eksilen yüksekliğe göre yeni koninin hacmini hesaplamamız gerekir.

Külahın orijinal yüksekliği \( H = 12 \) cm ve ağız yarıçapı \( R = \frac{10}{2} = 5 \) cm'dir.
Üstten \( 3 \) cm boşluk bırakıldığında, dondurmanın doldurulduğu kısmın yüksekliği \( h = 12 - 3 = 9 \) cm olur.
Koni kesitindeki benzerlikten yararlanarak dondurma seviyesindeki yarıçapı (\( r \)) bulalım:
\( \frac{r}{R} = \frac{h}{H} \implies \frac{r}{5} = \frac{9}{12} \)
\( \frac{r}{5} = \frac{3}{4} \implies r = \frac{15}{4} = 3.75 \) cm.

Dondurma dolu kısmın hacmini hesaplayalım:

Hacim Formülü:
\( V = \frac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h \)
Değerleri Yerine Yazma:
\( V = \frac{1}{3} \times 3 \times (\frac{15}{4})^2 \times 9 \)
\( V = 1 \times \frac{225}{16} \times 9 \)
\( V = \frac{2025}{16} = 126.5625 \) \(\text{cm}^3\) bulunur.

✅ Cevap: Külahın içindeki dondurmanın hacmi \( 126.5625 \) \(\text{cm}^3\) olur.

Örnek 7:

📌 Soru:
Yarıçapı \( R = 5 \) cm olan bir kürenin merkezinden \( 3 \) cm uzaklıkta bir düzlemle kesilmesiyle elde edilen kesit dairesinin alanını bulunuz.

Çözüm:

💡 Çözüm:
Bir küre düzlemle kesildiğinde kesit her zaman bir dairedir.

Kürenin merkezi \( O \), kesit dairesinin merkezi \( M \) olsun.
Merkezler arasındaki uzaklık \( |OM| = 3 \) cm'dir.
Kürenin üzerindeki bir noktanın merkeze uzaklığı yarıçaptır, yani \( R = 5 \) cm'dir.
Kesit dairesinin yarıçapına \( r \) dersek, \( O \), \( M \) ve kesit dairesinin üzerindeki bir nokta bir dik üçgen oluşturur.

Adım adım hesaplayalım:

Pisagor Bağıntısı:
\( r^2 + |OM|^2 = R^2 \)
\( r^2 + 3^2 = 5^2 \)
\( r^2 + 9 = 25 \)
\( r^2 = 16 \implies r = 4 \) cm (3-4-5 özel üçgeni).
Kesit Dairesinin Alanı:
Alan \( = \pi \times r^2 \)
Alan \( = \pi \times 4^2 = 16\pi \) \(\text{cm}^2\) bulunur.

✅ Cevap: Kesit dairesinin alanı \( 16\pi \) \(\text{cm}^2\) dir.

Örnek 8:

Çözüm:

💡 Çözüm:
Portakal ikiye bölündüğünde, dış kabuk alanı değişmezken kesit yüzeyinde iki adet yeni dairesel alan oluşur.

Kürenin yarıçapı \( r = 4 \) cm.
Küre ikiye bölündüğünde ortaya çıkan yeni yüzeyler, yarıçapı \( r = 4 \) cm olan iki adet dairedir.
Dolayısıyla yüzey alanındaki artış, bu iki dairenin alanları toplamı kadardır.

Hesaplamaları yapalım:

Tek Bir Kesit Dairesinin Alanı:
Alan \( = \pi \times r^2 \)
Alan \( = 3 \times 4^2 = 3 \times 16 = 48 \) \(\text{cm}^2\)
Toplam Artış Miktarı (İki Daire):
Artış \( = 2 \times 48 = 96 \) \(\text{cm}^2\) bulunur.

✅ Cevap: Toplam yüzey alanı başlangıçtakine göre \( 96 \) \(\text{cm}^2\) fazladır.

Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun

https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-kure-silindir-koni/sorular

💡 11. Sınıf Matematik: Küre silindir koni Çözümlü Örnekler

11. Sınıf Matematik: Küre silindir koni Çözümlü Örnekler

İçerik Hazırlanıyor

İşlem Başarısız Oldu

Başarıyla Tamamlandı!