🎓 11. Sınıf
📚 11. Sınıf Matematik
💡 11. Sınıf Matematik: İkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler Çözümlü Örnekler
11. Sınıf Matematik: İkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıdaki ikinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz:
\[ x + y = 5 \] \[ xy = 6 \]
\[ x + y = 5 \] \[ xy = 6 \]
Çözüm:
Bu denklem sistemini çözmek için yerine koyma metodunu kullanalım. 💡
- İlk denklemden \( y \)'yi çekelim: \( y = 5 - x \)
- Bulduğumuz \( y \) değerini ikinci denklemde yerine yazalım: \( x(5 - x) = 6 \)
- Denklemi düzenleyelim ve ikinci dereceden bir denklem elde edelim: \( 5x - x^2 = 6 \)
- Tüm terimleri bir tarafa toplayalım: \( x^2 - 5x + 6 = 0 \)
- Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayıralım: \( (x - 2)(x - 3) = 0 \)
- Buradan \( x \) değerlerini bulalım: \( x_1 = 2 \) veya \( x_2 = 3 \)
- Bulduğumuz \( x \) değerlerini ilk denklemde yerine koyarak \( y \) değerlerini bulalım:
- Eğer \( x = 2 \) ise, \( 2 + y = 5 \implies y = 3 \)
- Eğer \( x = 3 \) ise, \( 3 + y = 5 \implies y = 2 \)
Örnek 2:
Bir dikdörtgenin çevresi 20 cm ve alanı 24 cm²'dir. Bu dikdörtgenin kenar uzunluklarını bulunuz. 📏
Çözüm:
Dikdörtgenin kenar uzunlukları \( a \) ve \( b \) olsun.
- Çevre formülü: \( 2(a + b) = 20 \)
- Alan formülü: \( ab = 24 \)
- İlk denklemden \( a + b = 10 \) elde ederiz.
- Bu denklem sistemini çözersek:
- \( a + b = 10 \)
- \( ab = 24 \)
- İlk denklemden \( b = 10 - a \) yazıp ikinci denklemde yerine koyalım: \( a(10 - a) = 24 \)
- Denklemi düzenleyelim: \( 10a - a^2 = 24 \implies a^2 - 10a + 24 = 0 \)
- Çarpanlarına ayıralım: \( (a - 4)(a - 6) = 0 \)
- Kenar uzunlukları \( a = 4 \) veya \( a = 6 \) olur.
- Eğer \( a = 4 \) ise, \( b = 10 - 4 = 6 \) olur.
- Eğer \( a = 6 \) ise, \( b = 10 - 6 = 4 \) olur.
Örnek 3:
Bir fabrikada üretilen A ve B ürünlerinin adetleri arasındaki ilişkiyi gösteren denklem sistemi verilmiştir:
\[ x - y = 3 \] \[ x^2 - y^2 = 21 \]
Bu denklem sistemine göre, fabrikada üretilen A ürününün adedi \( x \) ve B ürününün adedi \( y \) kaçtır? 🏭
\[ x - y = 3 \] \[ x^2 - y^2 = 21 \]
Bu denklem sistemine göre, fabrikada üretilen A ürününün adedi \( x \) ve B ürününün adedi \( y \) kaçtır? 🏭
Çözüm:
Bu denklem sistemini çözmek için iki kare farkı özdeşliğini kullanabiliriz. ✨
- İkinci denklem \( x^2 - y^2 = 21 \) ifadesini \( (x - y)(x + y) = 21 \) şeklinde yazabiliriz.
- İlk denklemden \( x - y = 3 \) olduğunu biliyoruz.
- Bu bilgiyi yukarıdaki özdeşlikte yerine koyalım: \( 3(x + y) = 21 \)
- Buradan \( x + y = \frac{21}{3} \implies x + y = 7 \) elde ederiz.
- Şimdi elimizde iki bilinmeyenli iki basit denklem var:
- \( x - y = 3 \)
- \( x + y = 7 \)
- Bu iki denklemi taraf tarafa toplayarak \( y \) değişkenini yok edelim: \( (x - y) + (x + y) = 3 + 7 \implies 2x = 10 \)
- Buradan \( x = 5 \) bulunur.
- Bulduğumuz \( x \) değerini \( x + y = 7 \) denkleminde yerine koyalım: \( 5 + y = 7 \implies y = 2 \)
Örnek 4:
Aşağıdaki denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz:
\[ x^2 + y^2 = 25 \] \[ x - y = 1 \]
\[ x^2 + y^2 = 25 \] \[ x - y = 1 \]
Çözüm:
Bu denklem sistemini çözmek için yerine koyma metodunu kullanalım. 💡
- İlk denklemden \( x \)'i çekelim: \( x = y + 1 \)
- Bulduğumuz \( x \) değerini ikinci denklemde yerine yazalım: \( (y + 1)^2 + y^2 = 25 \)
- Parantezi açalım ve denklemi düzenleyelim: \( (y^2 + 2y + 1) + y^2 = 25 \)
- Benzer terimleri birleştirelim: \( 2y^2 + 2y + 1 = 25 \)
- Tüm terimleri bir tarafa toplayalım: \( 2y^2 + 2y - 24 = 0 \)
- Denklemi sadeleştirelim (her terimi 2'ye bölelim): \( y^2 + y - 12 = 0 \)
- Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayıralım: \( (y + 4)(y - 3) = 0 \)
- Buradan \( y \) değerlerini bulalım: \( y_1 = -4 \) veya \( y_2 = 3 \)
- Bulduğumuz \( y \) değerlerini \( x = y + 1 \) denkleminde yerine koyarak \( x \) değerlerini bulalım:
- Eğer \( y = -4 \) ise, \( x = -4 + 1 = -3 \)
- Eğer \( y = 3 \) ise, \( x = 3 + 1 = 4 \)
Örnek 5:
İki sayının toplamı 15 ve bu sayıların karelerinin farkı 45'tir. Bu iki sayıyı bulunuz. ➕➖
Çözüm:
Sayılarımız \( a \) ve \( b \) olsun.
- Soruda verilen bilgilere göre iki denklem kurabiliriz:
- Toplamları: \( a + b = 15 \)
- Karelerinin farkı: \( a^2 - b^2 = 45 \)
- İkinci denklemde iki kare farkı özdeşliğini kullanalım: \( (a - b)(a + b) = 45 \)
- İlk denklemden \( a + b = 15 \) olduğunu biliyoruz.
- Bu bilgiyi özdeşlikte yerine koyalım: \( (a - b) \times 15 = 45 \)
- Buradan \( a - b = \frac{45}{15} \implies a - b = 3 \) elde ederiz.
- Şimdi elimizde iki basit denklem var:
- \( a + b = 15 \)
- \( a - b = 3 \)
- Bu iki denklemi taraf tarafa toplayarak \( b \) değişkenini yok edelim: \( (a + b) + (a - b) = 15 + 3 \implies 2a = 18 \)
- Buradan \( a = 9 \) bulunur.
- Bulduğumuz \( a \) değerini \( a + b = 15 \) denkleminde yerine koyalım: \( 9 + b = 15 \implies b = 6 \)
Örnek 6:
Aşağıdaki denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz:
\[ x^2 - 4xy + 4y^2 = 9 \] \[ x + 2y = 5 \]
\[ x^2 - 4xy + 4y^2 = 9 \] \[ x + 2y = 5 \]
Çözüm:
İlk denklemde tam kare ifade olduğunu fark edelim. 🤩
- Birinci denklem \( x^2 - 4xy + 4y^2 = 9 \) ifadesi \( (x - 2y)^2 = 9 \) şeklinde yazılabilir.
- Buradan \( x - 2y \) değeri ya 3 ya da -3 olabilir:
- Durum 1: \( x - 2y = 3 \)
- Durum 2: \( x - 2y = -3 \)
- Şimdi elimizde ikinci denklem \( x + 2y = 5 \) ile birlikte iki farklı denklem sistemi var.
- Sistem 1:
- \( x - 2y = 3 \)
- \( x + 2y = 5 \)
\( x = 4 \) değerini \( x + 2y = 5 \) denkleminde yerine koyalım: \( 4 + 2y = 5 \implies 2y = 1 \implies y = \frac{1}{2} \).
Bu sistemin çözümü \( (4, \frac{1}{2}) \)'dir.
- Sistem 1:
- Sistem 2:
- \( x - 2y = -3 \)
- \( x + 2y = 5 \)
\( x = 1 \) değerini \( x + 2y = 5 \) denkleminde yerine koyalım: \( 1 + 2y = 5 \implies 2y = 4 \implies y = 2 \).
Bu sistemin çözümü \( (1, 2) \)'dir.
Örnek 7:
Bir bahçenin uzun kenarı, kısa kenarının 2 katından 3 metre fazladır. Bahçenin alanı 54 m² olduğuna göre, kısa kenarının uzunluğunu bulunuz. 🌳
Çözüm:
Bahçenin kısa kenarı \( x \) metre olsun.
- Uzun kenarı, kısa kenarının 2 katından 3 metre fazla olduğu için uzun kenar \( 2x + 3 \) metre olur.
- Bahçenin alanı \( \text{uzun kenar} \times \text{kısa kenar} \) formülüyle bulunur.
- Alan 54 m² olduğuna göre, denklemi şu şekilde kurabiliriz: \( x(2x + 3) = 54 \)
- Denklemi düzenleyelim: \( 2x^2 + 3x = 54 \)
- Tüm terimleri bir tarafa toplayalım: \( 2x^2 + 3x - 54 = 0 \)
- Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak veya diskriminant formülünü kullanarak çözebiliriz. Çarpanlarına ayıralım:
- \( (2x + 9)(x - 6) = 0 \)
- Buradan \( x \) değerlerini bulalım: \( 2x + 9 = 0 \implies x = -\frac{9}{2} \) veya \( x - 6 = 0 \implies x = 6 \)
- Kenar uzunluğu negatif olamayacağı için \( x = -\frac{9}{2} \) çözümünü eleriz.
Örnek 8:
Bir spor mağazasında satılan tişört ve şortların adet fiyatları toplamı 100 TL'dir. Bir tişörtün fiyatı \( x \) TL ve bir şortun fiyatı \( y \) TL olsun. Eğer tişörtlerden 5 adet ve şortlardan 2 adet satılırsa toplam gelir 350 TL oluyor. Buna göre bir tişört ve bir şortun fiyatını bulunuz. 🛍️
Çözüm:
Soruda verilen bilgilere göre iki denklem sistemi kurabiliriz.
- Tişört ve şort fiyatları toplamı: \( x + y = 100 \)
- 5 tişört ve 2 şort satıldığında elde edilen gelir: \( 5x + 2y = 350 \)
- Bu denklem sistemini çözmek için yerine koyma veya yok etme metodunu kullanabiliriz. Yok etme metodunu kullanalım. 🎯
- İlk denklemi 2 ile çarpalım ki \( y \) terimlerinin katsayıları eşit olabilsin: \( 2(x + y) = 2 \times 100 \implies 2x + 2y = 200 \)
- Şimdi elimizde şu denklemler var:
- \( 5x + 2y = 350 \)
- \( 2x + 2y = 200 \)
- İkinci denklemi ilk denklemden çıkaralım (veya ilk denklemden ikinci denklemi çıkaralım): \( (5x + 2y) - (2x + 2y) = 350 - 200 \)
- Bu işlem sonucunda \( 3x = 150 \) elde ederiz.
- Buradan \( x = \frac{150}{3} \implies x = 50 \) bulunur.
- Bulduğumuz \( x \) değerini \( x + y = 100 \) denkleminde yerine koyalım: \( 50 + y = 100 \implies y = 50 \)
Örnek 9:
Aşağıdaki denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz:
\[ y = x^2 - 1 \] \[ y = x + 1 \]
\[ y = x^2 - 1 \] \[ y = x + 1 \]
Çözüm:
Bu denklem sisteminde iki denklem de \( y \)'ye eşit olduğu için eşitleme metodunu kullanabiliriz. 🤝
- İki \( y \) değerini birbirine eşitleyelim: \( x^2 - 1 = x + 1 \)
- Tüm terimleri bir tarafa toplayarak ikinci dereceden bir denklem elde edelim: \( x^2 - x - 2 = 0 \)
- Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayıralım: \( (x - 2)(x + 1) = 0 \)
- Buradan \( x \) değerlerini bulalım: \( x_1 = 2 \) veya \( x_2 = -1 \)
- Bulduğumuz \( x \) değerlerini \( y = x + 1 \) denkleminde yerine koyarak \( y \) değerlerini bulalım:
- Eğer \( x = 2 \) ise, \( y = 2 + 1 = 3 \)
- Eğer \( x = -1 \) ise, \( y = -1 + 1 = 0 \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-ikinci-dereceden-iki-bilinmeyenli-denklemler/sorular