💡 11. Sınıf Matematik: Analitik geometri Çözümlü Örnekler

İki nokta arasındaki uzaklığı bulmak için şu adımları izleriz:

• İki nokta arasındaki uzaklık formülü: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]
• Verilen koordinatları yerleştirelim: \( x_1 = 2, y_1 = -1, x_2 = 5, y_2 = 3 \)
• Farkların karesini alalım: \( (5 - 2)^2 = 3^2 = 9 \) ve \( (3 - (-1))^2 = 4^2 = 16 \)
• Değerleri toplayalım: \( 9 + 16 = 25 \)
• Karekökünü alalım: \( \sqrt{25} = 5 \)

Orta nokta, uç noktaların koordinatlarının aritmetik ortalamasıdır:

• Orta nokta formülü: \[ C(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}) \]
• Apsisler toplamının yarısı: \( \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)
• Ordinatlar toplamının yarısı: \( \frac{6 + 10}{2} = \frac{16}{2} = 8 \)
• Bulunan değerleri koordinat sisteminde yazalım.

Doğru parçasını belirli bir oranda bölen noktanın koordinatlarını artış miktarlarına bakarak bulabiliriz:

• Toplam oran: \( 2 + 3 = 5 \) birimdir.
• Apsis için: \( 1 \)'den \( 11 \)'e artış \( 10 \) birimdir. 5 birimde 10 artmışsa, 1 birimde 2 artar. 2 birimlik \( AC \) yolu için \( 2 \times 2 = 4 \) artış olur. \( 1 + 4 = 5 \) (C noktasının apsisi).
• Ordinat için: \( 3 \)'ten \( 8 \)'e artış \( 5 \) birimdir. 5 birimde 5 artmışsa, 1 birimde 1 artar. 2 birimlik \( AC \) yolu için \( 2 \times 1 = 2 \) artış olur. \( 3 + 2 = 5 \) (C noktasının ordinatı).

İki noktası bilinen doğrunun denklemini bulmak için önce eğimi hesaplamalıyız:

• Eğim formülü: \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]
• Eğimi hesaplayalım: \( m = \frac{10 - 4}{4 - 2} = \frac{6}{2} = 3 \)
• Doğru denklemi formülü: \( y - y_1 = m(x - x_1) \)
• A(2, 4) noktasını kullanalım: \( y - 4 = 3(x - 2) \)
• Denklemi düzenleyelim: \( y - 4 = 3x - 6 \) buradan \( y = 3x - 2 \) elde edilir.

Doğrunun eksenleri kestiği noktaları bularak oluşan dik üçgenin alanını hesaplayalım:

• x eksenini kestiği nokta için \( y = 0 \) yazılır: \( 4x + 24 = 0 \Rightarrow 4x = -24 \Rightarrow x = -6 \). Nokta: \( (-6, 0) \).
• y eksenini kestiği nokta için \( x = 0 \) yazılır: \( -3y + 24 = 0 \Rightarrow 3y = 24 \Rightarrow y = 8 \). Nokta: \( (0, 8) \).
• Üçgenin dik kenar uzunlukları \( 6 \) birim ve \( 8 \) birimdir.
• Alan formülü: \[ Alan = \frac{Taban \times Yukseklik}{2} \]
• Hesaplama: \( \frac{6 \times 8}{2} = 24 \)

Bu soruyu çözmek için doğrunun eğimini ve üzerindeki tam sayı noktaları analiz etmeliyiz:

• Rotanın eğimi: \( m = \frac{10 - 2}{5 - 1} = \frac{8}{4} = 2 \)
• Doğru denklemi: \( y - 2 = 2(x - 1) \Rightarrow y = 2x \)
• Dronun rotası \( x \) değerlerinin \( 1 \) ile \( 5 \) arasında olduğu aralıktır.
• \( x = 2 \) için \( y = 2 \times 2 = 4 \) (Tam sayı: \( (2, 4) \))
• \( x = 3 \) için \( y = 2 \times 3 = 6 \) (Tam sayı: \( (3, 6) \))
• \( x = 4 \) için \( y = 2 \times 4 = 8 \) (Tam sayı: \( (4, 8) \))

Günlük hayatta eğim, dikey uzunluğun yatay uzunluğa oranıdır:

• Maksimum eğim: \( %10 = \frac{10}{100} = 0.1 \)
• Yatay uzunluk: \( 20 \) birim.
• Yükseklik \( h \) olsun. Eğim formülü: \[ m = \frac{h}{20} \]
• Eğim şartını yazalım: \( \frac{h}{20} \le 0.1 \)
• Buradan \( h \le 20 \times 0.1 \Rightarrow h \le 2 \) elde edilir.

Bir noktanın bir doğruya olan uzaklığını bulmak için genel uzaklık formülünü kullanırız:

• Uzaklık formülü: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \]
• Verilenler: \( a = 5, b = 12, c = -7, x_0 = 1, y_0 = -2 \)
• Pay kısmını hesaplayalım: \( |5(1) + 12(-2) - 7| = |5 - 24 - 7| = |-26| = 26 \)
• Payda kısmını hesaplayalım: \( \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \)
• Bölme işlemini yapalım: \( d = \frac{26}{13} = 2 \)