🎓 11. Sınıf
📚 11. Sınıf Fizik
💡 11. Sınıf Fizik: Vektörler Çözümlü Örnekler
11. Sınıf Fizik: Vektörler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
🌊 Bir teknenin akıntıya göre hızı \( \vec{v}_{tekne} = (4, 2) \) km/saat ve akıntının hızı \( \vec{v}_{akıntı} = (1, -1) \) km/saat ise, teknenin yere göre hızını bulunuz.
Çözüm:
Teknenin yere göre hızı, teknenin kendi hızı ile akıntının hızının vektörel toplamıdır.
- Teknenin yere göre hızı: \( \vec{v}_{yere} = \vec{v}_{tekne} + \vec{v}_{akıntı} \)
- Bileşenleri toplayalım: \( \vec{v}_{yere} = (4+1, 2+(-1)) \)
- Sonuç: \( \vec{v}_{yere} = (5, 1) \) km/saat
Örnek 2:
🚶♂️ Ali, doğuya doğru 6 birim ve sonra kuzeye doğru 8 birim yürüyor. Ali'nin başlangıç noktasına göre yer değiştirmesinin büyüklüğünü bulunuz.
Çözüm:
Yer değiştirme, ilk konum ile son konum arasındaki en kısa mesafeyi gösteren vektördür.
- Doğu yönündeki yer değiştirme: \( \Delta x = 6 \) birim
- Kuzey yönündeki yer değiştirme: \( \Delta y = 8 \) birim
- Yer değiştirme vektörünün büyüklüğü Pisagor teoremi ile bulunur: \( |\Delta \vec{r}| = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} \)
- Hesaplayalım: \( |\Delta \vec{r}| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} \)
- Sonuç: \( |\Delta \vec{r}| = 10 \) birim
Örnek 3:
✈️ Bir uçak, kuzeydoğu yönünde \( 200 \) km/saat hızla hareket etmektedir. Bu hız vektörünün kuzey ve doğu bileşenlerini bulunuz. (Kuzey ve doğu arasındaki açı \( 90^\circ \) ve kuzeydoğu \( 45^\circ \) kabul edilecektir.)
Çözüm:
Hız vektörünü bileşenlerine ayırmak için trigonometrik fonksiyonlar kullanılır.
- Hız vektörünün büyüklüğü: \( v = 200 \) km/saat
- Kuzey yönü ile yaptığı açı: \( \theta = 45^\circ \)
- Doğu bileşeni: \( v_d = v \cdot \cos(\theta) = 200 \cdot \cos(45^\circ) \)
- Kuzey bileşeni: \( v_k = v \cdot \sin(\theta) = 200 \cdot \sin(45^\circ) \)
- \( \cos(45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \) olduğundan:
- Doğu bileşeni: \( v_d = 200 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 100\sqrt{2} \) km/saat
- Kuzey bileşeni: \( v_k = 200 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 100\sqrt{2} \) km/saat
Örnek 4:
🚗 İki araba aynı anda aynı noktadan harekete başlıyor. Birinci araba \( \vec{v}_1 = (3, 4) \) m/s hızla, ikinci araba ise \( \vec{v}_2 = (-2, 5) \) m/s hızla hareket ediyor. 2 saniye sonra iki araba arasındaki uzaklığı bulunuz.
Çözüm:
Önce her bir arabanın 2 saniyede aldığı yolu (yer değiştirmeyi) bulalım.
- Birinci arabanın 2 saniyedeki yer değiştirmesi: \( \Delta \vec{r}_1 = \vec{v}_1 \cdot t = (3, 4) \cdot 2 = (6, 8) \) metre
- İkinci arabanın 2 saniyedeki yer değiştirmesi: \( \Delta \vec{r}_2 = \vec{v}_2 \cdot t = (-2, 5) \cdot 2 = (-4, 10) \) metre
- İki arabanın konumları arasındaki fark vektörü: \( \Delta \vec{r}_{12} = \Delta \vec{r}_1 - \Delta \vec{r}_2 = (6 - (-4), 8 - 10) = (10, -2) \) metre
- İki araba arasındaki uzaklık bu fark vektörünün büyüklüğüdür: \( |\Delta \vec{r}_{12}| = \sqrt{10^2 + (-2)^2} = \sqrt{100 + 4} = \sqrt{104} \) metre
Örnek 5:
🎯 Bir okçu, hedef tahtasına oku fırlatıyor. Okun yatayda \( 30 \) metre yol alması ve dikeyde \( 5 \) metre aşağı düşmesi gerekiyor. Okun başlangıç hız vektörünün yatay ve dikey bileşenleri sırasıyla \( v_x = 20 \) m/s ve \( v_y = -10 \) m/s ise, okun hedefe ulaşma süresini ve hedefe ulaştığındaki hızını bulunuz. (Sürtünmeler ihmal edilecektir.)
Çözüm:
Bu problemde, okun hareketini yatay ve dikeyde ayrı ayrı inceleyerek çözebiliriz.
- Yatay Hareket: Yatayda sabit hızlı hareket vardır. \( x = v_x \cdot t \)
- Mesafe \( x = 30 \) m ve \( v_x = 20 \) m/s ise, süre \( t = \frac{x}{v_x} = \frac{30}{20} = 1.5 \) saniye bulunur.
- Dikey Hareket: Dikeyde ivmeli hareket vardır. \( y = v_y \cdot t + \frac{1}{2} a_y t^2 \). Burada \( a_y = -g \approx -10 \) m/s² (yerçekimi ivmesi).
- Düşey mesafeyi kontrol edelim: \( y = (-10) \cdot 1.5 + \frac{1}{2} (-10) (1.5)^2 = -15 - 5 \cdot 2.25 = -15 - 11.25 = -26.25 \) m. Soruda verilen düşey mesafe 5 metre olduğundan, bu hızlarla 30 metre yatayda gidemez veya 5 metre düşemez. Sorudaki verilerde bir tutarsızlık var. Ancak, eğer okun hedefe ulaşma süresi 1.5 saniye ise, bu süredeki dikey hızını bulabiliriz.
- Dikey Hızın Hesaplanması (1.5 saniye sonra): \( v_{fy} = v_y + a_y t = -10 + (-10) \cdot 1.5 = -10 - 15 = -25 \) m/s
- Son Hız Vektörü: \( \vec{v}_f = (v_x, v_{fy}) = (20, -25) \) m/s
Örnek 6:
🚢 Bir feribot, nehrin akıntısına karşı 10 km/saat hızla ilerlemektedir. Eğer nehrin akıntısı 2 km/saat ise, feribotun yere göre hızını bulunuz.
Çözüm:
Bu durumda feribotun hızı, kendi hızından akıntının hızının ters yönlü bileşenini çıkarmakla bulunur.
- Feribotun suya göre hızı: \( \vec{v}_{feribot\_su} \) (büyüklüğü 10 km/saat, akıntıya ters yönde)
- Akıntının hızı: \( \vec{v}_{akıntı} \) (büyüklüğü 2 km/saat, akıntı yönünde)
- Feribotun yere göre hızı: \( \vec{v}_{yere} = \vec{v}_{feribot\_su} + \vec{v}_{akıntı} \)
- Feribot akıntıya karşı gittiği için, \( \vec{v}_{feribot\_su} \) ile \( \vec{v}_{akıntı} \) zıt yönlüdür.
- Yere göre hızın büyüklüğü: \( |\vec{v}_{yere}| = |\vec{v}_{feribot\_su}| - |\vec{v}_{akıntı}| \)
- Hesaplayalım: \( |\vec{v}_{yere}| = 10 \text{ km/saat} - 2 \text{ km/saat} = 8 \text{ km/saat} \)
Örnek 7:
🚶♀️ Ayşe, doğuya doğru 5 metre, sonra kuzeye doğru 12 metre yürüyor. Ayşe'nin ilk konumuna göre son konumu arasındaki uzaklığı (yer değiştirmesini) bulunuz.
Çözüm:
Yer değiştirme, başlangıç ve bitiş noktaları arasındaki düz çizgi mesafedir.
- Doğu yönündeki yer değiştirme: \( \Delta x = 5 \) m
- Kuzey yönündeki yer değiştirme: \( \Delta y = 12 \) m
- Yer değiştirme vektörünün büyüklüğü Pisagor teoremi ile bulunur: \( |\Delta \vec{r}| = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} \)
- Hesaplayalım: \( |\Delta \vec{r}| = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} \)
- Sonuç: \( |\Delta \vec{r}| = 13 \) m
Örnek 8:
🚁 Bir helikopter, doğuya doğru \( 30 \) m/s hızla uçuyor. Bu sırada helikopterin içindeki bir kişi, helikopterin içine göre kuzeye doğru \( 5 \) m/s hızla yürüyor. Kişinin yere göre hızını bulunuz.
Çözüm:
Kişinin yere göre hızı, helikopterin yere göre hızı ile kişinin helikopter içindeki hızının vektörel toplamıdır.
- Helikopterin yere göre hızı: \( \vec{v}_{helikopter} = (30, 0) \) m/s (Doğu yönü pozitif x ekseni kabul edilirse)
- Kişinin helikopter içindeki hızı: \( \vec{v}_{kişi\_içeride} = (0, 5) \) m/s (Kuzey yönü pozitif y ekseni kabul edilirse)
- Kişinin yere göre hızı: \( \vec{v}_{kişi\_yere} = \vec{v}_{helikopter} + \vec{v}_{kişi\_içeride} \)
- Bileşenleri toplayalım: \( \vec{v}_{kişi\_yere} = (30+0, 0+5) = (30, 5) \) m/s
Örnek 9:
⛵ İki yelkenli aynı anda aynı limandan denize açılıyor. Birinci yelkenli \( \vec{v}_1 = (6, -3) \) km/saat hızla, ikinci yelkenli ise \( \vec{v}_2 = (-4, 8) \) km/saat hızla hareket ediyor. 3 saat sonra iki yelkenlinin arasındaki uzaklığı bulunuz.
Çözüm:
Önce her bir yelkenlinin 3 saatte aldığı yer değiştirmeyi hesaplayalım.
- Birinci yelkenlinin 3 saatteki yer değiştirmesi: \( \Delta \vec{r}_1 = \vec{v}_1 \cdot t = (6, -3) \cdot 3 = (18, -9) \) km
- İkinci yelkenlinin 3 saatteki yer değiştirmesi: \( \Delta \vec{r}_2 = \vec{v}_2 \cdot t = (-4, 8) \cdot 3 = (-12, 24) \) km
- İki yelkenlinin konumları arasındaki fark vektörü: \( \Delta \vec{r}_{12} = \Delta \vec{r}_1 - \Delta \vec{r}_2 = (18 - (-12), -9 - 24) = (30, -33) \) km
- İki yelkenli arasındaki uzaklık bu fark vektörünün büyüklüğüdür: \( |\Delta \vec{r}_{12}| = \sqrt{30^2 + (-33)^2} = \sqrt{900 + 1089} = \sqrt{1989} \) km
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-fizik-vektorler/sorular