💡 11. Sınıf Fizik: Tork, Denge, Kütle Ve Ağırlık Merkezi, Kaldıraç, Makara, Eğik Düzlem, Çıkrık, Çark, Kasnaklar Çözümlü Örnekler

✅ Bu problemi çözmek için torkun temel tanımını kullanacağız.
Bir kuvvetin bir noktaya göre torku, kuvvetin büyüklüğü ile kuvvetin dönme noktasından dik uzaklığının çarpımına eşittir: \( \tau = F \cdot d \).

• 💡 Dönme Noktası: Çubuğun duvara menteşelenmiş ucu dönme noktasıdır.
• 📏 Kuvvetin Dik Uzaklığı (d): Çubuğun uzunluğu olan \( L = 4 \) m, kuvvetin dönme noktasına olan dik uzaklığıdır çünkü kuvvet çubuğa dik uygulanmaktadır.
• 💪 Uygulanan Kuvvet (F): \( F = 20 \) N.

Şimdi torku hesaplayalım:
\[ \tau = F \cdot d \] \[ \tau = 20 \text{ N} \cdot 4 \text{ m} \] \[ \tau = 80 \text{ N m} \] 📌 Dolayısıyla, duvardaki menteşe noktasında oluşan torkun büyüklüğü \( 80 \) N m'dir.

✅ Çubuğun yatay dengede olması için hem net kuvvetin sıfır hem de net torkun sıfır olması gerekir.
Türdeş çubuğun ağırlık merkezi, çubuğun tam ortasındadır. Çubuğun boyu \( 5d \) olduğuna göre, ağırlık merkezi sol uçtan \( 2.5d \) uzaklıktadır. K noktası sol uçtan \( d \) uzaklıkta olduğu için, ipin gerilmesi (T) ve F kuvveti ile birlikte tork dengesini inceleyeceğiz.

• 📌 Ağırlık Merkezinin K noktasına Uzaklığı: \( 2.5d - d = 1.5d \). Ağırlık, K noktasına göre saat yönünde tork oluşturur.
• 📌 F Kuvvetinin K noktasına Uzaklığı: Çubuğun L ucu K noktasından \( 4d \) uzaklıktadır (\( 5d - d = 4d \)). F kuvveti, K noktasına göre saat yönünün tersine tork oluşturur.

K noktasına göre tork dengesini yazalım:
Saat yönündeki torklar = Saat yönünün tersi torklar \[ G \cdot (1.5d) = F \cdot (4d) \] \[ 60 \text{ N} \cdot (1.5d) = F \cdot (4d) \] \[ 90d = 4d \cdot F \] Her iki tarafı \( d \) ile sadeleştirelim: \[ 90 = 4F \] \[ F = \frac{90}{4} \] \[ F = 22.5 \text{ N} \] 💡 Dolayısıyla, çubuğu dengede tutan \( F \) kuvvetinin büyüklüğü \( 22.5 \) N'dir.

✅ Bir sistemin kütle merkezinin koordinatları, her bir kütlenin kendi koordinatlarıyla çarpımlarının toplamının, toplam kütleye bölünmesiyle bulunur.
Kütle merkezi için \( x \) ve \( y \) koordinatlarını ayrı ayrı hesaplayacağız.

• 🔢 Toplam Kütle (\( M_{toplam} \)):
\[ M_{toplam} = m_1 + m_2 + m_3 \] \[ M_{toplam} = 2 \text{ kg} + 3 \text{ kg} + 1 \text{ kg} \] \[ M_{toplam} = 6 \text{ kg} \]

• 📍 Kütle Merkezinin x-koordinatı (\( x_{km} \)):
\[ x_{km} = \frac{(m_1 x_1) + (m_2 x_2) + (m_3 x_3)}{M_{toplam}} \] \[ x_{km} = \frac{(2 \cdot 1) + (3 \cdot 4) + (1 \cdot 2)}{6} \] \[ x_{km} = \frac{2 + 12 + 2}{6} \] \[ x_{km} = \frac{16}{6} \] \[ x_{km} = \frac{8}{3} \text{ m} \]

• 📍 Kütle Merkezinin y-koordinatı (\( y_{km} \)):
\[ y_{km} = \frac{(m_1 y_1) + (m_2 y_2) + (m_3 y_3)}{M_{toplam}} \] \[ y_{km} = \frac{(2 \cdot 2) + (3 \cdot 1) + (1 \cdot 5)}{6} \] \[ y_{km} = \frac{4 + 3 + 5}{6} \] \[ y_{km} = \frac{12}{6} \] \[ y_{km} = 2 \text{ m} \]

💡 Bu sistemin kütle merkezi koordinatları \( \left(\frac{8}{3}, 2\right) \) m'dir.

✅ Bu bir kaldıraç problemidir ve denge prensibine göre torkların eşitliğiyle çözülür.
Kaldıraçta kuvvet kolu ile kuvvetin çarpımı, yük kolu ile yükün çarpımına eşittir.

• 🪨 Yük (Kaya Ağırlığı): \( P = 1200 \) N
• 📏 Yük Kolu: Destek noktasının kayaya olan uzaklığı \( d_P = 0.5 \) m
• 💪 İşçinin Uyguladığı Kuvvet: \( F \)
• 📏 Kuvvet Kolu: Çubuğun toplam uzunluğu \( 3 \) m. Destek noktası kayadan \( 0.5 \) m uzaklıkta olduğuna göre, işçinin kuvvet uyguladığı diğer uca olan uzaklık \( d_F = 3 \text{ m} - 0.5 \text{ m} = 2.5 \) m'dir.

Denge denklemini yazalım: \[ F \cdot d_F = P \cdot d_P \] \[ F \cdot (2.5 \text{ m}) = 1200 \text{ N} \cdot (0.5 \text{ m}) \] \[ 2.5F = 600 \] \[ F = \frac{600}{2.5} \] \[ F = 240 \text{ N} \] 💡 İşçinin kayayı kaldırmak için uygulaması gereken en az kuvvet \( 240 \) N'dir. Bu, kaldıracın mekanik avantajını göstermektedir.

✅ Bu problemde hem sabit hem de hareketli makara içeren bir sistemin denge koşulunu kullanacağız.

• 📌 Sabit Makara: Kuvvetin yönünü değiştirir ancak kuvvetin büyüklüğünde bir kazanç sağlamaz.
• 📌 Hareketli Makara: Kuvvetten kazanç sağlar (yükün yarısı kadar kuvvet uygulanır), ancak yol uzar.

Şekildeki sistemde, hareketli makarayı taşıyan iki ip bulunmaktadır. Bu iplerdeki gerilme kuvvetleri eşit ve \( T \) olsun.
Yükün ağırlığı \( P = 200 \) N'dir. Yük, hareketli makaranın altına asıldığı için, hareketli makarayı taşıyan iki ipin toplam gerilmesi yükün ağırlığına eşit olmalıdır (dengede olduğu için). \[ 2T = P \] \[ 2T = 200 \text{ N} \] \[ T = 100 \text{ N} \] Sabit makaradan geçen ipteki gerilme kuvveti \( F \) ise, bu ipin diğer ucu hareketli makarayı taşıyan iplerden birine bağlıdır. Dolayısıyla, \( F \) kuvveti, hareketli makarayı taşıyan ipteki gerilme kuvveti \( T \) ile aynı büyüklüktedir. \[ F = T \] \[ F = 100 \text{ N} \] 💡 Yükü dengelemek için uygulanması gereken \( F \) kuvvetinin büyüklüğü \( 100 \) N'dir.

✅ Cisim sabit hızla hareket ettiğine göre, üzerine etki eden net kuvvet sıfırdır. Bu durumda, eğik düzlem boyunca yukarı yönlü kuvvetler, aşağı yönlü kuvvetlere eşit olmalıdır.
Cismin ağırlığı \( G = m \cdot g \) ile bulunur. Ağırlığın eğik düzlem bileşeni, cismi aşağı çekmeye çalışır.

• ⬇️ Cismin Ağırlığı: \( G = m \cdot g = 5 \text{ kg} \cdot 10 \text{ m/s}^2 = 50 \) N
• ↘️ Ağırlığın Eğik Düzlem Bileşeni: Bu bileşen, eğik düzlem boyunca aşağı yönde etki eder ve \( G \cdot \sin(\theta) \) formülüyle bulunur. Burada \( \theta = 30^\circ \).

Ağırlığın eğik düzlem bileşeni: \[ G_x = G \cdot \sin(30^\circ) \] \[ G_x = 50 \text{ N} \cdot \left(\frac{1}{2}\right) \] \[ G_x = 25 \text{ N} \] Cisim sabit hızla hareket ettiğinden, uygulanan \( F \) kuvveti, ağırlığın eğik düzlem bileşenine eşit olmalıdır: \[ F = G_x \] \[ F = 25 \text{ N} \] 💡 Dolayısıyla, \( F \) kuvvetinin büyüklüğü \( 25 \) N'dir.

✅ Çıkrık, bir tür kaldıraç prensibiyle çalışan basit bir makinedir. Uygulanan kuvvetin oluşturduğu tork, yükün oluşturduğu torka eşit olduğunda sistem dengede kalır.
Kuvvetten kazanç sağlanır, ancak kuvvetin uygulandığı yol uzar.

• 💦 Yük (Kova Ağırlığı): \( P = 150 \) N
• 📏 Yük Kolu (Silindir Yarıçapı): \( R_s = 10 \) cm \( = 0.1 \) m
• 💪 Uygulanan Kuvvet: \( F \)
• 📏 Kuvvet Kolu (Çıkrık Kolu Uzunluğu): \( R_k = 50 \) cm \( = 0.5 \) m

Tork dengesini yazalım: \[ F \cdot R_k = P \cdot R_s \] \[ F \cdot (0.5 \text{ m}) = 150 \text{ N} \cdot (0.1 \text{ m}) \] \[ 0.5F = 15 \] \[ F = \frac{15}{0.5} \] \[ F = 30 \text{ N} \] 💡 Kovayı yukarı çekmek için çıkrık koluna uygulanması gereken en küçük kuvvet \( 30 \) N'dir.

✅ Birbirine dıştan temas eden (veya kayışla bağlı) dişli veya kasnak sistemlerinde, temas noktalarındaki çizgisel hızlar birbirine eşittir.
Çizgisel hız \( v \), açısal hız \( \omega \) ve yarıçap \( R \) arasındaki ilişki \( v = \omega \cdot R \) şeklindedir.

• ⚙️ K Dişlisi için:
\[ R_K = 20 \text{ cm} = 0.2 \text{ m} \] \[ \omega_K = 10 \text{ rad/s} \] \[ v_K = \omega_K \cdot R_K = 10 \text{ rad/s} \cdot 0.2 \text{ m} = 2 \text{ m/s} \]

• ⚙️ L Dişlisi için:
\[ R_L = 5 \text{ cm} = 0.05 \text{ m} \] \[ \omega_L = ? \]

Dişliler birbirine temas ettiğinden, temas noktasındaki çizgisel hızlar eşittir: \[ v_K = v_L \] \[ \omega_K \cdot R_K = \omega_L \cdot R_L \] Değerleri yerine yazalım: \[ 10 \text{ rad/s} \cdot (0.2 \text{ m}) = \omega_L \cdot (0.05 \text{ m}) \] \[ 2 = 0.05 \cdot \omega_L \] \[ \omega_L = \frac{2}{0.05} \] \[ \omega_L = 40 \text{ rad/s} \] 💡 L dişlisinin açısal hızı \( 40 \) rad/s olur.