💡 11. Sınıf Fizik: Momentum Ve Çarpışma Çözümlü Örnekler

👉 Momentum, cismin kütlesi ile hızının çarpımı olarak tanımlanan vektörel bir büyüklüktür. Formülü \( p = m \cdot v \) şeklindedir.

• Verilenler:
• Kütle (\( m \)) \( = 2 \text{ kg} \)
• Hız (\( v \)) \( = 10 \text{ m/s} \)
• Momentum formülünü uygulayalım:
\[ p = m \cdot v \] \[ p = 2 \text{ kg} \cdot 10 \text{ m/s} \] \[ p = 20 \text{ kg} \cdot \text{m/s} \]

✅ Cismin momentumu \( 20 \text{ kg} \cdot \text{m/s} \) dir.

💡 İtme (\( I \)), bir cisme etki eden kuvvet ile kuvvetin etki süresinin çarpımıdır. Aynı zamanda cismin momentumundaki değişime (\( \Delta p \)) eşittir. Yani \( I = F \cdot \Delta t = \Delta p \).

• Verilenler:
• Kütle (\( m \)) \( = 4 \text{ kg} \)
• Kuvvet (\( F \)) \( = 10 \text{ N} \)
• Zaman değişimi (\( \Delta t \)) \( = 3 \text{ s} \)
• İlk hız (\( v_0 \)) \( = 0 \text{ m/s} \) (Çünkü cisim durmaktadır.)
• Önce itmeyi hesaplayalım:
\[ I = F \cdot \Delta t \] \[ I = 10 \text{ N} \cdot 3 \text{ s} \] \[ I = 30 \text{ N} \cdot \text{s} \]
• Momentum değişimi itmeye eşittir: \( \Delta p = I \).
• Momentum değişimi aynı zamanda \( m \cdot (v_s - v_0) \) şeklindedir:
\[ \Delta p = m \cdot (v_s - v_0) \] \[ 30 \text{ N} \cdot \text{s} = 4 \text{ kg} \cdot (v_s - 0 \text{ m/s}) \] \[ 30 = 4 \cdot v_s \] \[ v_s = \frac{30}{4} \] \[ v_s = 7.5 \text{ m/s} \]

✅ Cismin son hızı \( 7.5 \text{ m/s} \) olur.

📌 Esnek olmayan çarpışmalarda (cisimlerin kenetlenip birlikte hareket ettiği durumlarda) toplam momentum korunur. Ancak kinetik enerji korunmaz, çünkü bir kısmı ısıya veya ses enerjisine dönüşür.

İlk durumdaki toplam momentum, son durumdaki toplam momentuma eşit olmalıdır: \( p_{\text{ilk}} = p_{\text{son}} \).

• Verilenler:
• Birinci arabanın kütlesi (\( m_1 \)) \( = 2 \text{ kg} \)
• Birinci arabanın ilk hızı (\( v_{1,\text{ilk}} \)) \( = 8 \text{ m/s} \)
• İkinci arabanın kütlesi (\( m_2 \)) \( = 6 \text{ kg} \)
• İkinci arabanın ilk hızı (\( v_{2,\text{ilk}} \)) \( = 0 \text{ m/s} \) (Durmakta olduğu için)
• Son hızları (ortak hız) (\( v_{\text{son}} \)) \( = ? \)
• İlk momentumu hesaplayalım:
\[ p_{\text{ilk}} = m_1 \cdot v_{1,\text{ilk}} + m_2 \cdot v_{2,\text{ilk}} \] \[ p_{\text{ilk}} = (2 \text{ kg} \cdot 8 \text{ m/s}) + (6 \text{ kg} \cdot 0 \text{ m/s}) \] \[ p_{\text{ilk}} = 16 \text{ kg} \cdot \text{m/s} \]
• Son momentumu hesaplayalım (cisimler kenetlendiği için toplam kütle tek bir hızla hareket eder):
\[ p_{\text{son}} = (m_1 + m_2) \cdot v_{\text{son}} \] \[ p_{\text{son}} = (2 \text{ kg} + 6 \text{ kg}) \cdot v_{\text{son}} \] \[ p_{\text{son}} = 8 \text{ kg} \cdot v_{\text{son}} \]
• Momentumun korunumu ilkesini uygulayalım:
\[ p_{\text{ilk}} = p_{\text{son}} \] \[ 16 \text{ kg} \cdot \text{m/s} = 8 \text{ kg} \cdot v_{\text{son}} \] \[ v_{\text{son}} = \frac{16}{8} \] \[ v_{\text{son}} = 2 \text{ m/s} \]

✅ Çarpışma sonrası iki arabanın ortak hızı \( 2 \text{ m/s} \) olur.

💡 Patlamalar, dışarıdan bir kuvvet etki etmediği (veya ihmal edildiği) için momentumun korunduğu olaylardır. Patlama öncesi toplam momentum, patlama sonrası toplam momentuma eşittir.

İlk durumdaki toplam momentum, son durumdaki toplam momentuma eşit olmalıdır: \( p_{\text{ilk}} = p_{\text{son}} \).

• Verilenler:
• Toplam ilk kütle (\( M \)) \( = 10 \text{ kg} \)
• İlk hız (\( V_{\text{ilk}} \)) \( = 0 \text{ m/s} \) (Durmakta olduğu için)
• Birinci parçanın kütlesi (\( m_1 \)) \( = 4 \text{ kg} \)
• Birinci parçanın hızı (\( v_1 \)) \( = 15 \text{ m/s} \) (Doğu yönünde, pozitif kabul edelim)
• İkinci parçanın kütlesi (\( m_2 \)) \( = M - m_1 = 10 \text{ kg} - 4 \text{ kg} = 6 \text{ kg} \)
• İkinci parçanın hızı (\( v_2 \)) \( = ? \)
• İlk momentumu hesaplayalım:
\[ p_{\text{ilk}} = M \cdot V_{\text{ilk}} \] \[ p_{\text{ilk}} = 10 \text{ kg} \cdot 0 \text{ m/s} \] \[ p_{\text{ilk}} = 0 \text{ kg} \cdot \text{m/s} \]
• Son momentumu hesaplayalım:
\[ p_{\text{son}} = m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 \] \[ p_{\text{son}} = (4 \text{ kg} \cdot 15 \text{ m/s}) + (6 \text{ kg} \cdot v_2) \] \[ p_{\text{son}} = 60 \text{ kg} \cdot \text{m/s} + 6 \text{ kg} \cdot v_2 \]
• Momentumun korunumu ilkesini uygulayalım:
\[ p_{\text{ilk}} = p_{\text{son}} \] \[ 0 = 60 + 6 \cdot v_2 \] \[ 6 \cdot v_2 = -60 \] \[ v_2 = -\frac{60}{6} \] \[ v_2 = -10 \text{ m/s} \]

Negatif işaret, ikinci parçanın birinci parçanın hareket yönünün tersine, yani batı yönünde hareket ettiğini gösterir.

✅ Diğer parçanın hızı \( 10 \text{ m/s} \) ve yönü batıdır.

📌 Esnek çarpışmalarda hem momentum hem de kinetik enerji korunur. Bu durumda iki bilinmeyen (iki topun son hızları) olduğu için iki denkleme ihtiyacımız var.

• Denklem 1 (Momentumun Korunumu):
\[ m_1 v_{1,\text{ilk}} + m_2 v_{2,\text{ilk}} = m_1 v_{1,\text{son}} + m_2 v_{2,\text{son}} \]
• Denklem 2 (Bağıl Hızların Korunumu - Kinetik Enerji Korunumundan Türetilir):
\[ v_{1,\text{ilk}} - v_{2,\text{ilk}} = v_{2,\text{son}} - v_{1,\text{son}} \]
• Verilenler:
• \( m_1 = 2 \text{ kg} \), \( v_{1,\text{ilk}} = 6 \text{ m/s} \)
• \( m_2 = 3 \text{ kg} \), \( v_{2,\text{ilk}} = 4 \text{ m/s} \)
• \( v_{1,\text{son}} = ? \), \( v_{2,\text{son}} = ? \)
• 1. Momentum Korunumu Denkleminden:
\[ (2 \cdot 6) + (3 \cdot 4) = (2 \cdot v_{1,\text{son}}) + (3 \cdot v_{2,\text{son}}) \] \[ 12 + 12 = 2 v_{1,\text{son}} + 3 v_{2,\text{son}} \] \[ 24 = 2 v_{1,\text{son}} + 3 v_{2,\text{son}} \quad (\text{Denklem A}) \]
• 2. Bağıl Hızların Korunumu Denkleminden:
\[ v_{1,\text{ilk}} - v_{2,\text{ilk}} = v_{2,\text{son}} - v_{1,\text{son}} \] \[ 6 - 4 = v_{2,\text{son}} - v_{1,\text{son}} \] \[ 2 = v_{2,\text{son}} - v_{1,\text{son}} \] \[ v_{2,\text{son}} = v_{1,\text{son}} + 2 \quad (\text{Denklem B}) \]
• 3. Denklemleri Çözelim:
• Denklem B'yi Denklem A'da yerine koyalım:
\[ 24 = 2 v_{1,\text{son}} + 3 (v_{1,\text{son}} + 2) \] \[ 24 = 2 v_{1,\text{son}} + 3 v_{1,\text{son}} + 6 \] \[ 24 = 5 v_{1,\text{son}} + 6 \] \[ 18 = 5 v_{1,\text{son}} \] \[ v_{1,\text{son}} = \frac{18}{5} \] \[ v_{1,\text{son}} = 3.6 \text{ m/s} \]
• Şimdi \( v_{1,\text{son}} \) değerini Denklem B'de yerine koyarak \( v_{2,\text{son}} \) değerini bulalım:
\[ v_{2,\text{son}} = v_{1,\text{son}} + 2 \] \[ v_{2,\text{son}} = 3.6 \text{ m/s} + 2 \text{ m/s} \] \[ v_{2,\text{son}} = 5.6 \text{ m/s} \]

✅ Çarpışma sonrası \( 2 \text{ kg} \) kütleli topun hızı \( 3.6 \text{ m/s} \), \( 3 \text{ kg} \) kütleli topun hızı ise \( 5.6 \text{ m/s} \) olur. Her ikisi de başlangıçtaki yönde hareket etmeye devam eder.

💡 Kuvvet-zaman (F-t) grafiğinin altında kalan alan, cisme etki eden itmeyi verir. İtme ise cismin momentumundaki değişime (\( \Delta p \)) eşittir.

• Verilenler:
• Kütle (\( m \)) \( = 5 \text{ kg} \)
• İlk hız (\( v_0 \)) \( = 0 \text{ m/s} \) (Durmakta olduğu için)
• 1. Toplam itmeyi hesaplayalım:
• Grafiğin ilk bölümü (0-2 s arası): Dikdörtgenin alanı.
\[ I_1 = F_1 \cdot \Delta t_1 = 10 \text{ N} \cdot 2 \text{ s} = 20 \text{ N} \cdot \text{s} \]
• Grafiğin ikinci bölümü (2-4 s arası): Kuvvet 0 olduğu için itme yok.
\[ I_2 = F_2 \cdot \Delta t_2 = 0 \text{ N} \cdot 2 \text{ s} = 0 \text{ N} \cdot \text{s} \]
• Toplam itme:
\[ I_{\text{toplam}} = I_1 + I_2 = 20 \text{ N} \cdot \text{s} + 0 \text{ N} \cdot \text{s} = 20 \text{ N} \cdot \text{s} \]
• 2. Momentum değişimini bulalım:

Toplam itme, momentum değişimine eşittir: \( I_{\text{toplam}} = \Delta p \).

\[ \Delta p = 20 \text{ kg} \cdot \text{m/s} \]
• 3. Son hızı hesaplayalım:

Momentum değişimi \( \Delta p = m \cdot (v_s - v_0) \) formülüyle bulunur.

\[ 20 \text{ kg} \cdot \text{m/s} = 5 \text{ kg} \cdot (v_s - 0 \text{ m/s}) \] \[ 20 = 5 \cdot v_s \] \[ v_s = \frac{20}{5} \] \[ v_s = 4 \text{ m/s} \]

✅ Cismin \( 4 \text{ s} \) sonundaki hızı \( 4 \text{ m/s} \) olur.