💡 11. Sınıf Fizik: Kütle merkezi ve ağırlık merkezi Çözümlü Örnekler

Bu soruyu çözmek için her bir küçük karenin kütle merkezini bulup, ardından bileşke kütle merkezini hesaplayacağız.

• Her bir özdeş karenin kütlesi m olsun.
• Büyük kareyi bir koordinat sistemi üzerine yerleştirelim. Orijin (0,0) sol alt köşe olsun.
• Her bir küçük karenin kenar uzunluğu a olsun.
• Sol alt köşedeki karenin kütle merkezi (a/2, a/2)'dedir.
• Sol üst köşedeki karenin kütle merkezi (a/2, 3a/2)'dedir.
• Sağ alt köşedeki karenin kütle merkezi (3a/2, a/2)'dedir.
• Sağ üst köşedeki karenin kütle merkezi (3a/2, 3a/2)'dedir.
• Toplam kütle 4m olur.
• Kütle merkezinin x koordinatı:
  \( x_{km} = \frac{m(a/2) + m(a/2) + m(3a/2) + m(3a/2)}{4m} = \frac{m(a + 3a)}{4m} = \frac{4ma}{4m} = a \)
• Kütle merkezinin y koordinatı:
  \( y_{km} = \frac{m(a/2) + m(3a/2) + m(a/2) + m(3a/2)}{4m} = \frac{m(a/2 + 3a/2 + a/2 + 3a/2)}{4m} = \frac{m(2a + 2a)}{4m} = \frac{4ma}{4m} = a \)

Dolayısıyla, büyük karenin kütle merkezinin koordinatları (a, a)'dır. Bu nokta, büyük karenin tam ortasıdır. 👉 Bu sonuç, simetrik cisimlerin kütle merkezlerinin geometrik merkezlerinde olduğunu gösterir.

Bu durum, kütle merkezinin cisimlerin dengesi için ne kadar önemli olduğunu gösteren güzel bir örnektir.

• Boş Çay Bardağı: Boş bir çay bardağının kütle merkezi, genellikle bardağın kendi geometrik merkezine yakındır. Bu durumda bardak nispeten daha dengesiz olabilir.
• Çay Dolu Çay Bardağı: Bardak çay ile doldurulduğunda, bardağın toplam kütlesi artar ve bu ek kütle çayın yoğunluğuna ve seviyesine bağlı olarak bardağın alt kısmına doğru yığılır.
• Kütle Merkezinin Kayması: Bu nedenle, çay dolu bir bardağın kütle merkezi, boş bardağa göre daha aşağıya ve genellikle bardağın dibine doğru kayar.
• Denge Durumu: Kütle merkezinin daha aşağıda olması, bardağın devrilme olasılığını azaltır ve daha dengeli olmasını sağlar. Eğer bardak çok dolu olursa ve çay taşarsa, kütle merkezinin konumu değişebilir ve denge bozulabilir.

📌 Unutmayın, bir cismin dengede kalabilmesi için destek yüzeyi içinde bir ağırlık merkezine sahip olması gerekir. Ağırlık merkezi ne kadar alçakta ve destek yüzeyi ne kadar genişse, cisim o kadar dengelidir.

Noktasal parçacıklardan oluşan bir sistemin kütle merkezini bulmak için kütlelerin ve konumlarının vektörel toplamını kullanırız.

• Sistemin toplam kütlesi M = m1 + m2 + m3'tür.
• Kütle merkezinin x koordinatı ( \( x_{km} \) ) şu şekilde bulunur:
  \( x_{km} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + m_3 x_3}{m_1 + m_2 + m_3} \)
• Kütle merkezinin y koordinatı ( \( y_{km} \) ) ise şu şekilde bulunur:
  \( y_{km} = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2 + m_3 y_3}{m_1 + m_2 + m_3} \)

👉 Bu formüller, farklı kütlelere sahip cisimlerin oluşturduğu sistemlerde kütle merkezinin nerede olacağını belirlemek için kullanılır. Kütlesi büyük olan cisim, kütle merkezini kendi tarafına daha çok çeker.

Bu tür sorularda genellikle "bütün" cisimden "çıkarılan" cismi ters çevirip toplama yöntemi kullanılır.

• Başlangıç Durumu: Kenar uzunluğu 2L olan türdeş bir karenin kütle merkezi, geometrik merkezindedir. Orijini (0,0) kabul edersek, bu karenin kütle merkezi (L, L)'dedir. Bu karenin kütlesine 4m diyelim (her L x L'lik karenin kütlesi m olsun).
• Çıkarılan Kare: Bir kenarı büyük karenin kenarlarından birine bitişik olan ve kenar uzunluğu L olan bir kare kesilip çıkarılıyor. Örneğin, sol üst köşeden çıkarıldığını varsayalım. Bu çıkarılan karenin kütle merkezi (L/2, 3L/2)'dedir ve kütlesi m'dir.
• Ters Çevirme Yöntemi: Kalan levhanın kütle merkezini bulmak için, çıkarılan kareyi sanki yerine geri ekliyormuş gibi düşünebiliriz. Ancak burada dikkat etmemiz gereken, çıkarılan karenin kütlesinin tersine etki edeceğidir.
• Yeni Durum: Kalan levhanın kütle merkezini bulmak için, başlangıçtaki büyük karenin kütle merkezini (4m kütleli, (L,L) konumunda) ve çıkarılan karenin kütle merkezini (m kütleli, (L/2, 3L/2) konumunda) kullanarak bir denge noktası bulmalıyız. Ancak, çıkarılan kütlenin etkisini de hesaba katmalıyız.
• Daha Basit Yaklaşım: Kalınlığı sabit ve türdeş levhalarda, kütle merkezi alan merkezine denk gelir.
• Büyük karenin alanı \( (2L)^2 = 4L^2 \) ve kütle merkezi (L, L).
• Çıkarılan karenin alanı \( L^2 \) ve kütle merkezi (eğer sol üstten çıkarıldıysa) (L/2, 3L/2).
• Kalan levhanın alanı \( 4L^2 - L^2 = 3L^2 \).
• Kalan levhanın kütle merkezi \( (x_{km}, y_{km}) \) olsun.
• Toplam alanın kütle merkezi ile çıkarılan alanın kütle merkezini kullanarak kalan alanın kütle merkezini bulabiliriz:
  \( (4L^2) \cdot (L, L) = (L^2) \cdot (L/2, 3L/2) + (3L^2) \cdot (x_{km}, y_{km}) \)
• x koordinatı için:
  \( 4L^3 = L^2 \cdot \frac{L}{2} + 3L^2 \cdot x_{km} \)
  \( 4L^3 = \frac{L^3}{2} + 3L^2 \cdot x_{km} \)
  \( 4L - \frac{L}{2} = 3 x_{km} \)
  \( \frac{7L}{2} = 3 x_{km} \)
  \( x_{km} = \frac{7L}{6} \)
• y koordinatı için:
  \( 4L^3 = L^2 \cdot \frac{3L}{2} + 3L^2 \cdot y_{km} \)
  \( 4L^3 = \frac{3L^3}{2} + 3L^2 \cdot y_{km} \)
  \( 4L - \frac{3L}{2} = 3 y_{km} \)
  \( \frac{5L}{2} = 3 y_{km} \)
  \( y_{km} = \frac{5L}{6} \)

Eğer çıkarılan kare büyük karenin sol üst köşesinden kesildiyse, kalan levhanın kütle merkezi \( (\frac{7L}{6}, \frac{5L}{6}) \) noktası civarında olur. 👉 Bu tür problemler, cisimden parça çıkarıldığında kütle merkezinin nasıl etkilendiğini anlamak için önemlidir.

İki özdeş cisimden oluşan bir sistemin kütle merkezi, bu iki cismin tam ortasında yer alır.

• Cisimlerin kütleleri eşit olduğu için ( \( m_1 = m_2 = m \) ), kütle merkezinin konumu, cisimlerin konumlarının aritmetik ortalamasıdır.
• Kütle merkezinin x koordinatı:
  \( x_{km} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2} = \frac{m(0) + m(0)}{m + m} = \frac{0}{2m} = 0 \)
• Kütle merkezinin y koordinatı:
  \( y_{km} = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2}{m_1 + m_2} = \frac{m(2) + m(-2)}{m + m} = \frac{2m - 2m}{2m} = \frac{0}{2m} = 0 \)

Bu nedenle, sistemin kütle merkezi (0, 0) noktasında, yani orijindedir. 👉 Eşit kütleli cisimlerde kütle merkezi, cisimleri birleştiren doğru parçasının orta noktasıdır.

Teraziler, ağırlık merkezinin prensibinden faydalanarak kütle ölçümü yapar.

• Denge Prensibi: Bir terazi, genellikle bir destek noktası etrafında dönen bir kola sahiptir. Kolun iki tarafına konulan cisimlerin torkları dengeye geldiğinde, kütleler eşit kabul edilir.
• Ağırlık Merkezinin Konumu: Bir cismin ağırlığı, o cismin kütle merkezine etki eden yerçekimi kuvvetidir. Terazi, cismin ağırlık merkezinin konumu ile ölçeklendirilmiş bir kuvveti karşılaştırır.
• Kollu Terazi: Kollu terazilerde, eşit kollara yerleştirilen cisimlerin ağırlık merkezleri, kol üzerindeki mesafelerle çarpılarak torklar elde edilir. Torklar eşit olduğunda denge sağlanır.
• Yaylı Terazi: Yaylı terazilerde ise, cismin ağırlığı yayı gerer ve yayın uzama miktarı, ağırlıkla orantılıdır. Bu uzama, ağırlık merkezine etki eden kuvvetin bir sonucudur.

📌 Bir cismin ağırlık merkezinin konumu, terazinin doğru ölçüm yapabilmesi için önemlidir. Eğer ağırlık merkezi dengesiz bir şekilde yerleşmişse, ölçüm hatalı olabilir.

Yarım daire levhanın kütle merkezini bulmak için integral alma yöntemi veya bilinen formül kullanılabilir. Bu seviyede bilinen formülü kullanmak daha pratiktir.

• Türdeş bir yarım daire levhanın kütle merkezi, simetri ekseni üzerinde, düz kenardan \( \frac{4R}{3\pi} \) kadar uzaktadır.
• Yarım dairenin düz kenarı x-ekseni üzerinde ise ve merkezi orijinde ise, kütle merkezinin koordinatları şu şekildedir:
• Kütle merkezinin x koordinatı: \( x_{km} = 0 \) (Simetri ekseni y-ekseni olduğundan, kütle merkezi y-ekseni üzerindedir.)
• Kütle merkezinin y koordinatı: \( y_{km} = \frac{4R}{3\pi} \)

Dolayısıyla, yarım daire levhanın kütle merkezi, düz kenara dik olan simetri ekseni üzerinde, düz kenardan \( \frac{4R}{3\pi} \) uzaklıkta bulunur. 👉 Bu formül, yarıçapı R olan yarım daire levhalar için genel bir kuraldır.

Bu soruyu çözmek için, kütlelerin ve konumların vektörel toplamını kullanarak kütle merkezinin koordinatlarını hesaplayacağız.

• Birinci cisim: \( m_1 = 2 \) kg, \( (x_1, y_1) = (1, 3) \)
• İkinci cisim: \( m_2 = 4 \) kg, \( (x_2, y_2) = (4, 0) \)
• Sistemin toplam kütlesi: \( M = m_1 + m_2 = 2 + 4 = 6 \) kg
• Kütle merkezinin x koordinatı:
  \( x_{km} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{M} = \frac{(2 \text{ kg})(1) + (4 \text{ kg})(4)}{6 \text{ kg}} = \frac{2 + 16}{6} = \frac{18}{6} = 3 \)
• Kütle merkezinin y koordinatı:
  \( y_{km} = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2}{M} = \frac{(2 \text{ kg})(3) + (4 \text{ kg})(0)}{6 \text{ kg}} = \frac{6 + 0}{6} = \frac{6}{6} = 1 \)

Bu nedenle, sistemin kütle merkezinin koordinatları (3, 1)'dir. 👉 Kütle merkezi, daha ağır olan cismin konumuna daha yakındır.