💡 11. Sınıf Fizik: Esnek çarpışmalar Çözümlü Örnekler

• Cevap: Esnek çarpışma.
• Kinetik enerji, çarpışma öncesi ve sonrası toplam kinetik enerji olarak korunur.
• Aynı zamanda, momentumun korunumu yasası da esnek çarpışmalar için geçerlidir.

• Bu çarpışma türü esnek çarpışma olarak adlandırılır.
• Esnek çarpışmalarda, dış bir kuvvet etkilemediği sürece hem toplam momentum hem de toplam kinetik enerji korunur.

Bu tür esnek çarpışmalar için özel formüllerimiz mevcuttur:

Başlangıç momentumu: \( p_{ilk} = m_1 v_1 + m_2 v_2 \)

\( p_{ilk} = (2 \, \text{kg})(5 \, \text{m/s}) + (3 \, \text{kg})(-2 \, \text{m/s}) = 10 \, \text{kg m/s} - 6 \, \text{kg m/s} = 4 \, \text{kg m/s} \)

Başlangıç kinetik enerjisi: \( E_{ilk} = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 \)

\( E_{ilk} = \frac{1}{2} (2 \, \text{kg})(5 \, \text{m/s})^2 + \frac{1}{2} (3 \, \text{kg})(-2 \, \text{m/s})^2 \)

\( E_{ilk} = (1 \, \text{kg})(25 \, \text{m}^2/\text{s}^2) + \frac{3}{2} (4 \, \text{m}^2/\text{s}^2) = 25 \, \text{J} + 6 \, \text{J} = 31 \, \text{J} \)

Çarpışma sonrası hızlar \( v_1' \) ve \( v_2' \) için momentum ve enerji korunumu denklemleri:

• Momentum Korunumu: \( m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2' \)
• Kinetik Enerji Korunumu: \( \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 = \frac{1}{2} m_1 (v_1')^2 + \frac{1}{2} m_2 (v_2')^2 \)

Bu denklemleri çözmek yerine, aynı kütleli cisimler için hızların değiş tokuş edildiği özel durumu da hatırlayabiliriz. Ancak burada kütleler farklı. Bu tür durumlarda aşağıdaki hız formülleri daha pratiktir:

\( v_1' = \frac{(m_1 - m_2) v_1 + 2 m_2 v_2}{m_1 + m_2} \)

\( v_1' = \frac{(2 - 3)(5) + 2(3)(-2)}{2 + 3} = \frac{(-1)(5) + (-12)}{5} = \frac{-5 - 12}{5} = \frac{-17}{5} = -3.4 \, \text{m/s} \)

\( v_2' = \frac{(m_2 - m_1) v_2 + 2 m_1 v_1}{m_1 + m_2} \)

\( v_2' = \frac{(3 - 2)(-2) + 2(2)(5)}{2 + 3} = \frac{(1)(-2) + 20}{5} = \frac{-2 + 20}{5} = \frac{18}{5} = 3.6 \, \text{m/s} \)

Sonuç: Çarpışma sonrası cisimlerin hızları \( v_1' = -3.4 \, \text{m/s} \) ve \( v_2' = 3.6 \, \text{m/s} \) olur.

Bu özel durumda, çarpışan cisimlerin kütleleri eşit (\( m_1 = m_2 \)).

• Momentum Korunumu: \( m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2' \)
• Başlangıçta \( v_2 = 0 \) olduğu için: \( m_1 v_1 = m_1 v_1' + m_2 v_2' \)
• Kütleler eşit olduğundan \( m_1 = m_2 = m \): \( m v_1 = m v_1' + m v_2' \). Her tarafı \( m \) ile sadeleştirirsek: \( v_1 = v_1' + v_2' \)
• Kinetik Enerji Korunumu: \( \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 = \frac{1}{2} m_1 (v_1')^2 + \frac{1}{2} m_2 (v_2')^2 \)
• Başlangıçta \( v_2 = 0 \) olduğu için: \( \frac{1}{2} m_1 v_1^2 = \frac{1}{2} m_1 (v_1')^2 + \frac{1}{2} m_2 (v_2')^2 \)
• Kütleler eşit olduğundan \( m_1 = m_2 = m \): \( \frac{1}{2} m v_1^2 = \frac{1}{2} m (v_1')^2 + \frac{1}{2} m (v_2')^2 \). Her tarafı \( \frac{1}{2} m \) ile sadeleştirirsek: \( v_1^2 = (v_1')^2 + (v_2')^2 \)

Eşit kütleli cisimlerin esnek çarpışmalarında önemli bir sonuç vardır: Çarpışan cisimlerin hızları birbirleri ile yer değiştirir.

Bu durumda:

• İlk cisim \( v_1 = 6 \, \text{m/s} \) ile hareket ediyordu ve duran ikinci cisme çarptı.
• Çarpışma sonrası, ilk cisim durur (\( v_1' = 0 \)) ve ikinci cisim ilk cismin ilk hızını alır (\( v_2' = v_1 \)).

Sonuç: Çarpışma sonrası ilk cismin hızı \( v_1' = 0 \, \text{m/s} \) (durur) ve ikinci cismin hızı \( v_2' = 6 \, \text{m/s} \) olur. ✅

Bu durum, eşit kütleli cisimlerin merkezi esnek çarpışması örneğidir.

Şöyle açıklayabiliriz:

• Başlangıç Durumu: Beyaz top \( v \) hızıyla hareket ederken, diğer top durmaktadır (\( 0 \) hızı).
• Çarpışma Prensibi: Kütleler eşit (\( m \)) ve çarpışma esnek olduğundan, çarpışma sonrası hızlar değiş tokuş edilir.
• Sonuç:
• Beyaz top (vuruş topu) çarpışma sonrası durur (\( v' = 0 \)).
• Çarptığı diğer top ise beyaz topun ilk hızını alır (\( v' = v \)).

Bu nedenle, bilardo oyununda vuruş topuyla bir topa vurduğunuzda, eğer merkezi ve esnek bir çarpışma gerçekleşirse, vuruş topu durur ve çarptığı top aynı hızla hareket eder. Bu, bilardo oyununun temel mekaniklerinden biridir. 🎱

Gaz moleküllerinin ve atomların birbirleriyle olan çarpışmaları, özellikle yeterince düşük basınç ve yüksek sıcaklık koşullarında, genellikle esnek çarpışmalar olarak kabul edilir. ⚛️

Bunun nedenleri şunlardır:

• Yüksek Kinetik Enerji: Moleküllerin sahip olduğu yüksek kinetik enerji, çarpışma sırasında dönme veya titreşim gibi iç enerjilere önemli ölçüde aktarılmasını engeller.
• Kısa Etkileşim Süresi: Çarpışmalar çok kısa sürer ve bu süre zarfında enerjinin büyük bir kısmı korunur.
• Kinetik Enerji ve Momentum Korunumu: Bu çarpışmalarda hem toplam momentum hem de toplam kinetik enerji korunur.

Bu kabul, gazların termodinamik davranışlarını ve kinetik teorisini anlamak için temel bir varsayımdır. 💡

Bu problemi çözmek için momentum ve kinetik enerji korunumu denklemlerini kullanacağız. Kütleler farklı ve hareket yönleri zıt.

Verilenler:

• \( m_1 = 1 \, \text{kg} \)
• \( v_1 = 4 \, \text{m/s} \)
• \( m_2 = 2 \, \text{kg} \)
• \( v_2 = -3 \, \text{m/s} \)

1. Momentum Korunumu:

\( m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2' \)

\( (1)(4) + (2)(-3) = (1) v_1' + (2) v_2' \)

\( 4 - 6 = v_1' + 2 v_2' \)

\( -2 = v_1' + 2 v_2' \) (Denklem 1)

2. Kinetik Enerji Korunumu:

\( \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 = \frac{1}{2} m_1 (v_1')^2 + \frac{1}{2} m_2 (v_2')^2 \)

Her iki tarafı 2 ile çarparsak ve \( m_1, m_2 \) değerlerini yerine koyarsak:

\( (1)(4)^2 + (2)(-3)^2 = (1)(v_1')^2 + (2)(v_2')^2 \)

\( 16 + 2(9) = (v_1')^2 + 2(v_2')^2 \)

\( 16 + 18 = (v_1')^2 + 2(v_2')^2 \)

\( 34 = (v_1')^2 + 2(v_2')^2 \) (Denklem 2)

Denklem 1'den \( v_1' \) çekelim: \( v_1' = -2 - 2 v_2' \)

Bu ifadeyi Denklem 2'de yerine koyalım:

\( 34 = (-2 - 2 v_2')^2 + 2(v_2')^2 \)

\( 34 = (4 + 8 v_2' + 4(v_2')^2) + 2(v_2')^2 \)

\( 34 = 4 + 8 v_2' + 4(v_2')^2 + 2(v_2')^2 \)

\( 34 = 4 + 8 v_2' + 6(v_2')^2 \)

Denklemi düzenleyelim:

\( 6(v_2')^2 + 8 v_2' - 30 = 0 \)

Her tarafı 2'ye bölelim:

\( 3(v_2')^2 + 4 v_2' - 15 = 0 \)

Bu ikinci derece denklemi çözmek için diskriminant yöntemini kullanabiliriz veya çarpanlara ayırma deneyebiliriz. Çarpanlara ayırmayı deneyelim: \( (3v_2' - 5)(v_2' + 3) = 0 \)

Bu bize iki olası değer verir: \( v_2' = \frac{5}{3} \, \text{m/s} \) veya \( v_2' = -3 \, \text{m/s} \).

Eğer \( v_2' = -3 \, \text{m/s} \) olsaydı, bu ikinci cismin hızının değişmediği anlamına gelirdi ki bu çarpışma için mantıklı değildir (eğer ilk cisim de değişmezse, çarpışma olmazdı). Dolayısıyla, doğru çözüm:

\( v_2' = \frac{5}{3} \, \text{m/s} \)

Şimdi \( v_1' \) değerini bulalım (Denklem 1'i kullanarak):

\( v_1' = -2 - 2 v_2' = -2 - 2 (\frac{5}{3}) = -2 - \frac{10}{3} = -\frac{6}{3} - \frac{10}{3} = -\frac{16}{3} \, \text{m/s} \)

Sonuç: Çarpışma sonrası ilk cismin hızı \( v_1' = -\frac{16}{3} \, \text{m/s} \) ve ikinci cismin hızı \( v_2' = \frac{5}{3} \, \text{m/s} \) olur. 👉

Bu problem, kütleleri farklı iki cismin merkezi esnek çarpışmasıdır. Durumu analiz etmek için momentum ve enerji korunumu prensiplerini kullanacağız.

Verilenler:

• \( m_1 = 2 \, \text{kg} \)
• \( v_1 = 10 \, \text{m/s} \)
• \( m_2 = 1 \, \text{kg} \)
• \( v_2 = 0 \) (İkinci cisim duruyor)

1. Momentum Korunumu:

\( m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2' \)

\( (2)(10) + (1)(0) = (2) v_1' + (1) v_2' \)

\( 20 = 2 v_1' + v_2' \) (Denklem 1)

2. Kinetik Enerji Korunumu:

\( \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 = \frac{1}{2} m_1 (v_1')^2 + \frac{1}{2} m_2 (v_2')^2 \)

Her iki tarafı 2 ile çarparsak:

\( m_1 v_1^2 + m_2 v_2^2 = m_1 (v_1')^2 + m_2 (v_2')^2 \)

\( (2)(10)^2 + (1)(0)^2 = (2)(v_1')^2 + (1)(v_2')^2 \)

\( 2(100) + 0 = 2(v_1')^2 + (v_2')^2 \)

\( 200 = 2(v_1')^2 + (v_2')^2 \) (Denklem 2)

Denklem 1'den \( v_2' \) çekelim: \( v_2' = 20 - 2 v_1' \)

Bu ifadeyi Denklem 2'de yerine koyalım:

\( 200 = 2(v_1')^2 + (20 - 2 v_1')^2 \)

\( 200 = 2(v_1')^2 + (400 - 80 v_1' + 4(v_1')^2) \)

\( 200 = 2(v_1')^2 + 400 - 80 v_1' + 4(v_1')^2 \)

\( 200 = 6(v_1')^2 - 80 v_1' + 400 \)

Denklemi düzenleyelim:

\( 6(v_1')^2 - 80 v_1' + 200 = 0 \)

Her tarafı 2'ye bölelim:

\( 3(v_1')^2 - 40 v_1' + 100 = 0 \)

Bu ikinci derece denklemi çözmek için çarpanlara ayırma veya diskriminant kullanabiliriz. Çarpanlara ayıralım: \( (3v_1' - 10)(v_1' - 10) = 0 \)

Bu bize iki olası değer verir: \( v_1' = \frac{10}{3} \, \text{m/s} \) veya \( v_1' = 10 \, \text{m/s} \).

Eğer \( v_1' = 10 \, \text{m/s} \) olsaydı, bu ilk cismin hızının değişmediği anlamına gelirdi ki bu da çarpışma olmaması demektir. Bu yüzden doğru çözüm:

\( v_1' = \frac{10}{3} \, \text{m/s} \)

Şimdi \( v_2' \) değerini bulalım (Denklem 1'i kullanarak):

\( v_2' = 20 - 2 v_1' = 20 - 2 (\frac{10}{3}) = 20 - \frac{20}{3} = \frac{60}{3} - \frac{20}{3} = \frac{40}{3} \, \text{m/s} \)

Sonuç: Çarpışma sonrası ilk cismin hızı \( v_1' = \frac{10}{3} \, \text{m/s} \) ve ikinci cismin hızı \( v_2' = \frac{40}{3} \, \text{m/s} \) olur. ✅

Evet, tekerlekli sandalyelerin çarpışması, ideal koşullar altında esnek çarpışma prensiplerine yakın olabilir.

Açıklaması şöyledir:

• Kinetik Enerji ve Momentum: Tekerlekli sandalyelerin kütleleri ve hızları dikkate alındığında, çarpışma sırasında hem momentumun hem de kinetik enerjinin korunumu yasaları geçerli olmaya çalışır.
• Sürtünme ve Hava Direnci: Gerçek dünyada sürtünme (tekerlekler ve zemin arasındaki) ve hava direnci gibi kayıplar olsa da, bu kayıplar çarpışmanın kendisi sırasında çok küçükse, çarpışma neredeyse esnek kabul edilebilir.
• Cisimlerin Yapısı: Tekerlekli sandalyelerin (ve kullanıcıların) esnek yapıları, çarpışma enerjisinin büyük bir kısmının deformasyona veya kalıcı şekil değişikliğine uğramak yerine hareket enerjisine dönüşmesine yardımcı olur.

Dolayısıyla, bu tür bir çarpışma, esnek çarpışma modellerini anlamak için iyi bir günlük hayat örneği olabilir. ♿

Bu problemi çözmek için kütleleri farklı olan ve ikincisi duran cisimler için esnek çarpışma formüllerini kullanacağız.

Verilenler:

• \( v_2 = 0 \)
• \( m_2 = 3 m_1 \)

1. Momentum Korunumu:

\( m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2' \)

\( m_1 v_1 + (3 m_1)(0) = m_1 v_1' + (3 m_1) v_2' \)

\( m_1 v_1 = m_1 v_1' + 3 m_1 v_2' \)

Her iki tarafı \( m_1 \) ile sadeleştirirsek:

\( v_1 = v_1' + 3 v_2' \) (Denklem 1)

2. Kinetik Enerji Korunumu:

\( \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 = \frac{1}{2} m_1 (v_1')^2 + \frac{1}{2} m_2 (v_2')^2 \)

Her iki tarafı 2 ile çarparsak ve \( v_2 = 0 \) ile \( m_2 = 3 m_1 \) yerine koyarsak:

\( m_1 v_1^2 + (3 m_1)(0)^2 = m_1 (v_1')^2 + (3 m_1) (v_2')^2 \)

\( m_1 v_1^2 = m_1 (v_1')^2 + 3 m_1 (v_2')^2 \)

Her iki tarafı \( m_1 \) ile sadeleştirirsek:

\( v_1^2 = (v_1')^2 + 3 (v_2')^2 \) (Denklem 2)

Denklem 1'den \( v_1' \) çekelim: \( v_1' = v_1 - 3 v_2' \)

Bu ifadeyi Denklem 2'de yerine koyalım:

\( v_1^2 = (v_1 - 3 v_2')^2 + 3 (v_2')^2 \)

\( v_1^2 = (v_1^2 - 6 v_1 v_2' + 9 (v_2')^2) + 3 (v_2')^2 \)

\( v_1^2 = v_1^2 - 6 v_1 v_2' + 9 (v_2')^2 + 3 (v_2')^2 \)

\( v_1^2 = v_1^2 - 6 v_1 v_2' + 12 (v_2')^2 \)

Her iki taraftaki \( v_1^2 \) terimleri birbirini götürür:

\( 0 = -6 v_1 v_2' + 12 (v_2')^2 \)

Bu ifadeyi \( v_2' \) için çözelim. \( v_2' \) ortak parantezine alırsak:

\( v_2' (-6 v_1 + 12 v_2') = 0 \)

Bu bize iki olası çözüm verir:

1. \( v_2' = 0 \) (Bu, çarpışma olmaması durumudur, yani ikinci cisim hala duruyor demektir.)
2. \( -6 v_1 + 12 v_2' = 0 \implies 12 v_2' = 6 v_1 \implies v_2' = \frac{6 v_1}{12} = \frac{v_1}{2} \)

Bu nedenle, doğru hız değişimi için \( v_2' = \frac{v_1}{2} \).

Şimdi \( v_1' \) değerini bulalım (Denklem 1'i kullanarak):

\( v_1' = v_1 - 3 v_2' = v_1 - 3 (\frac{v_1}{2}) = v_1 - \frac{3 v_1}{2} = \frac{2 v_1 - 3 v_1}{2} = -\frac{v_1}{2} \)

Sonuç: Çarpışma sonrası ilk cismin hızı \( v_1' = -\frac{v_1}{2} \) ve ikinci cismin hızı \( v_2' = \frac{v_1}{2} \) olur. 💡