🎓 11. Sınıf
📚 11. Sınıf Fizik
💡 11. Sınıf Fizik: Denge Çözümlü Örnekler
11. Sınıf Fizik: Denge Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
💡 Bir noktada kesişen üç kuvvetin dengede olduğu bir sistemi inceleyelim.
Yatay sürtünmesiz bir zeminde duran bir cisme, aynı anda üç farklı kuvvet uygulanıyor. Bu kuvvetler:
F₁ = 10 N büyüklüğünde, +x yönünde.
F₂ = 10 N büyüklüğünde, +y yönünde.
F₃ = ? büyüklüğünde, üçüncü bölgede (yani -x ve -y yönleri arasında).
Cisim dengede kaldığına göre, F₃ kuvvetinin büyüklüğü ve yönü ne olmalıdır?
Yatay sürtünmesiz bir zeminde duran bir cisme, aynı anda üç farklı kuvvet uygulanıyor. Bu kuvvetler:
F₁ = 10 N büyüklüğünde, +x yönünde.
F₂ = 10 N büyüklüğünde, +y yönünde.
F₃ = ? büyüklüğünde, üçüncü bölgede (yani -x ve -y yönleri arasında).
Cisim dengede kaldığına göre, F₃ kuvvetinin büyüklüğü ve yönü ne olmalıdır?
Çözüm:
Denge şartlarından biri, cisme etki eden net kuvvetin sıfır olmasıdır (\( \Sigma \vec{F} = 0 \)).
Bu, hem x eksenindeki kuvvetlerin toplamının hem de y eksenindeki kuvvetlerin toplamının sıfır olması gerektiği anlamına gelir.
Bu, hem x eksenindeki kuvvetlerin toplamının hem de y eksenindeki kuvvetlerin toplamının sıfır olması gerektiği anlamına gelir.
- 👉 X eksenindeki denge:
- F₁ kuvveti +x yönünde 10 N'dur.
- F₃ kuvvetinin x bileşeni \( F_{3x} \) olmalıdır.
- \( F_1 + F_{3x} = 0 \)
\( 10 \, \text{N} + F_{3x} = 0 \)
\( F_{3x} = -10 \, \text{N} \) - Yani F₃ kuvvetinin x bileşeni -x yönünde 10 N olmalıdır.
- 👉 Y eksenindeki denge:
- F₂ kuvveti +y yönünde 10 N'dur.
- F₃ kuvvetinin y bileşeni \( F_{3y} \) olmalıdır.
- \( F_2 + F_{3y} = 0 \)
\( 10 \, \text{N} + F_{3y} = 0 \)
\( F_{3y} = -10 \, \text{N} \) - Yani F₃ kuvvetinin y bileşeni -y yönünde 10 N olmalıdır.
- 👉 F₃ kuvvetinin büyüklüğü ve yönü:
- F₃ kuvveti, x ve y bileşenleri -10 N olan bir vektördür.
- Büyüklüğü Pisagor teoremi ile bulunur: \( |F_3| = \sqrt{F_{3x}^2 + F_{3y}^2} \)
- \( |F_3| = \sqrt{(-10)^2 + (-10)^2} = \sqrt{100 + 100} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \, \text{N} \)
- Yönü ise, hem x hem de y bileşenleri negatif olduğu için üçüncü bölgededir (yani -x ve -y yönleri arasında) ve her iki bileşeni de eşit olduğundan -x ekseni ile \( 45^\circ \) açı yapar.
Örnek 2:
📌 Eşit bölmeli ve homojen bir çubuk, K noktasından bir iple tavana asıldığında dengede kalıyor. Çubuğun ağırlığı 20 N'dur. Çubuk üzerinde L noktasına 10 N ağırlığında bir yük asılıyor.
Çubuk 5 bölmelidir ve her bölme arası uzaklık d kadardır. K noktası çubuğun tam orta noktasıdır. L noktası ise K noktasının sağında, 1 bölme uzaklıktadır.
Buna göre, ipte oluşan gerilme kuvvetinin büyüklüğü kaç N'dur?
Çubuk 5 bölmelidir ve her bölme arası uzaklık d kadardır. K noktası çubuğun tam orta noktasıdır. L noktası ise K noktasının sağında, 1 bölme uzaklıktadır.
Buna göre, ipte oluşan gerilme kuvvetinin büyüklüğü kaç N'dur?
Çözüm:
Bu tür denge problemlerinde tork dengesi ve kuvvet dengesi şartlarını kullanırız.
- 👉 Verileri belirleyelim:
- Çubuğun ağırlığı (G_çubuk) = 20 N. Homojen olduğu için ağırlık merkezi tam ortasındadır (K noktası).
- Yükün ağırlığı (G_yük) = 10 N. L noktasından asılı.
- K noktası, çubuğun orta noktasıdır. L noktası K'nin 1 bölme sağındadır.
- İpin gerilme kuvveti (T) yukarı yönlüdür ve K noktasındadır.
- 👉 Denge şartlarını uygulayalım:
- 1. Tork Dengesi: Çubuk herhangi bir noktaya göre torku sıfır olmalıdır. En mantıklı nokta, ipin bağlı olduğu K noktasıdır. Çünkü K noktasına göre tork alırsak, ip gerilme kuvvetinin (T) torku sıfır olur ve denkleme girmez, bu da işimizi kolaylaştırır.
- K noktasına göre saat yönündeki torklar, saat yönünün tersindeki torklara eşit olmalıdır.
- Çubuğun ağırlığı (20 N), K noktasında etki ettiği için K noktasına göre torku sıfırdır.
- L noktasındaki 10 N'luk yük, K noktasına göre 1 bölme (d) uzaklıkta ve saat yönünde bir tork oluşturur.
- Bu durumda, sistemin dengede kalması için başka bir kuvvete ihtiyaç yoktur. Ancak soru ip gerilmesini soruyor, dolayısıyla kuvvet dengesini kullanmalıyız.
- 👉 Kuvvet Dengesi: Cisme etki eden net kuvvet sıfır olmalıdır (\( \Sigma \vec{F} = 0 \)).
- Yukarı yönlü kuvvetler, aşağı yönlü kuvvetlere eşit olmalıdır.
- Yukarı yönlü tek kuvvet ip gerilmesi (T)'dir.
- Aşağı yönlü kuvvetler ise çubuğun ağırlığı (G_çubuk) ve yükün ağırlığı (G_yük)'tür.
- \( T = G_{\text{çubuk}} + G_{\text{yük}} \)
- \( T = 20 \, \text{N} + 10 \, \text{N} \)
- \( T = 30 \, \text{N} \)
Örnek 3:
💡 Ağırlığı önemsiz bir çubuk, şekildeki gibi iki iple (T₁ ve T₂) tavana asılmıştır. Çubuğun tam orta noktasına 60 N ağırlığında bir cisim asıldığında çubuk yatay dengede kalmaktadır.
İplerin düşeyle yaptığı açılar sırasıyla \( \alpha = 30^\circ \) ve \( \beta = 60^\circ \) olduğuna göre, T₁ ve T₂ ip gerilmelerinin büyüklükleri kaç N'dur? (Sin \( 30^\circ = 0.5 \), Cos \( 30^\circ = 0.86 \), Sin \( 60^\circ = 0.86 \), Cos \( 60^\circ = 0.5 \))
İplerin düşeyle yaptığı açılar sırasıyla \( \alpha = 30^\circ \) ve \( \beta = 60^\circ \) olduğuna göre, T₁ ve T₂ ip gerilmelerinin büyüklükleri kaç N'dur? (Sin \( 30^\circ = 0.5 \), Cos \( 30^\circ = 0.86 \), Sin \( 60^\circ = 0.86 \), Cos \( 60^\circ = 0.5 \))
Çözüm:
Bu problemde, kuvvet dengesi şartını (net kuvvetin sıfır olması) kullanacağız. İplerin açılı olması nedeniyle kuvvetleri bileşenlerine ayırmamız gerekecek.
- 👉 Kuvvetleri bileşenlerine ayıralım:
- T₁ ip gerilmesi:
- Yatay bileşeni (x ekseninde): \( T_{1x} = T_1 \sin 30^\circ \) (sol yönde)
- Düşey bileşeni (y ekseninde): \( T_{1y} = T_1 \cos 30^\circ \) (yukarı yönde)
- T₂ ip gerilmesi:
- Yatay bileşeni (x ekseninde): \( T_{2x} = T_2 \sin 60^\circ \) (sağ yönde)
- Düşey bileşeni (y ekseninde): \( T_{2y} = T_2 \cos 60^\circ \) (yukarı yönde)
- Cismin ağırlığı (G) = 60 N (aşağı yönde).
- 👉 Denge şartlarını uygulayalım:
- 1. Yatay (x ekseni) denge: Sağa çeken kuvvetler sola çeken kuvvetlere eşit olmalıdır.
- \( T_{2x} = T_{1x} \)
- \( T_2 \sin 60^\circ = T_1 \sin 30^\circ \)
- \( T_2 \times 0.86 = T_1 \times 0.5 \)
- \( 0.86 T_2 = 0.5 T_1 \) (Denklem 1)
- 2. Düşey (y ekseni) denge: Yukarı çeken kuvvetler aşağı çeken kuvvetlere eşit olmalıdır.
- \( T_{1y} + T_{2y} = G \)
- \( T_1 \cos 30^\circ + T_2 \cos 60^\circ = 60 \)
- \( T_1 \times 0.86 + T_2 \times 0.5 = 60 \) (Denklem 2)
- 👉 Denklemleri çözerek T₁ ve T₂'yi bulalım:
- Denklem 1'den \( T_1 = \frac{0.86}{0.5} T_2 = 1.72 T_2 \) elde ederiz.
- Bu ifadeyi Denklem 2'ye yerine koyalım:
- \( (1.72 T_2) \times 0.86 + T_2 \times 0.5 = 60 \)
- \( 1.4792 T_2 + 0.5 T_2 = 60 \)
- \( 1.9792 T_2 = 60 \)
- \( T_2 \approx \frac{60}{1.9792} \approx 30.3 \, \text{N} \)
- Şimdi T₁'i bulalım: \( T_1 = 1.72 \times 30.3 \approx 52.1 \, \text{N} \)
- Not: Eğer \( \sqrt{3} \) değerini yaklaşık 1.73 alırsak, daha net sonuçlar elde edebiliriz:
- \( T_2 \frac{\sqrt{3}}{2} = T_1 \frac{1}{2} \Rightarrow T_2 \sqrt{3} = T_1 \)
- \( T_1 \frac{\sqrt{3}}{2} + T_2 \frac{1}{2} = 60 \Rightarrow T_1 \sqrt{3} + T_2 = 120 \)
- \( (T_2 \sqrt{3})\sqrt{3} + T_2 = 120 \Rightarrow 3T_2 + T_2 = 120 \Rightarrow 4T_2 = 120 \Rightarrow T_2 = 30 \, \text{N} \)
- \( T_1 = 30\sqrt{3} \approx 30 \times 1.732 \approx 51.96 \, \text{N} \)
Örnek 4:
🌟 Ağırlığı 40 N olan, eşit bölmeli homojen bir çubuk yatay konumda tutularak bir duvar ile bir ip yardımıyla dengede kalmaktadır. Çubuğun sol ucu duvara menteşelenmiş (sürtünmesiz dönebilir), sağ ucundan 20 N ağırlığında bir yük asılmıştır.
Çubuğun sağ ucuna bağlı ip, düşeyle \( 37^\circ \) açı yapacak şekilde yukarı doğru çekildiğine göre, ipteki gerilme kuvveti (T) kaç N'dur? (Sin \( 37^\circ = 0.6 \), Cos \( 37^\circ = 0.8 \)).
Çubuğun sağ ucuna bağlı ip, düşeyle \( 37^\circ \) açı yapacak şekilde yukarı doğru çekildiğine göre, ipteki gerilme kuvveti (T) kaç N'dur? (Sin \( 37^\circ = 0.6 \), Cos \( 37^\circ = 0.8 \)).
Çözüm:
Bu problemde hem kuvvet dengesi hem de tork dengesi şartlarını birlikte kullanacağız. Menteşe noktası, tork almak için ideal bir referans noktasıdır.
- 👉 Kuvvetleri ve etki noktalarını belirleyelim:
- Çubuğun ağırlığı (G_çubuk) = 40 N. Homojen olduğu için çubuğun tam orta noktasından (menteşeden 2 birim sağda) aşağı yönde etki eder.
- Yükün ağırlığı (G_yük) = 20 N. Çubuğun sağ ucundan (menteşeden 4 birim sağda) aşağı yönde etki eder.
- İp gerilmesi (T). Çubuğun sağ ucundan yukarı doğru ve düşeyle \( 37^\circ \) açı yapacak şekilde etki eder. Bu kuvvetin düşey bileşeni tork oluşturacaktır.
- Menteşe kuvvetleri (Fx ve Fy). Bu kuvvetler menteşenin çubuğa uyguladığı kuvvetlerdir ve yönleri bilinmediği için tork denklemine dahil edilmezlerse daha kolay çözülür.
- 👉 Menteşe noktasına göre tork dengesi alalım:
- Denge şartı: \( \Sigma \tau = 0 \). Saat yönündeki torklar, saat yönünün tersindeki torklara eşit olmalıdır.
- Çubuğun ağırlığının torku (saat yönünde): \( \tau_{\text{çubuk}} = G_{\text{çubuk}} \times \text{uzaklık} = 40 \, \text{N} \times 2d \)
- Yükün ağırlığının torku (saat yönünde): \( \tau_{\text{yük}} = G_{\text{yük}} \times \text{uzaklık} = 20 \, \text{N} \times 4d \)
- İp gerilmesinin düşey bileşeninin torku (saat yönünün tersine):
İp gerilmesinin düşey bileşeni \( T_y = T \cos 37^\circ \) dir. (Düşeyle açı yaptığı için düşey bileşen \( T \cos 37^\circ \) olur, yatayla açı yapsaydı \( T \sin \theta \) olurdu.)
\( \tau_{\text{ip}} = T_y \times \text{uzaklık} = (T \cos 37^\circ) \times 4d \) - Tork denklemi:
\( (40 \times 2d) + (20 \times 4d) = (T \cos 37^\circ) \times 4d \) - Her terimdeki 'd'leri sadeleştirelim:
\( 80 + 80 = T \times 0.8 \times 4 \) - \( 160 = 3.2 T \)
- \( T = \frac{160}{3.2} \)
- \( T = \frac{1600}{32} \)
- \( T = 50 \, \text{N} \)
Örnek 5:
🏗️ Bir inşaat firması, kütle merkezi hakkında bilgi sahibi olmayan bir işçiye, 2 metre uzunluğunda, homojen bir demir profilin tam ortasından bir iple kaldırılmasını söyler. İşçi, profilin tam ortasından ipi bağlar ve profili yerden kaldırır. Profil yatay dengede kalır.
Ancak, işçi daha sonra profilin sol ucuna 10 kg kütleli bir ağırlık bağlar. Profilin toplam kütlesi 40 kg'dır. İşçi, profili yine aynı ipi kullanarak kaldırırsa, profilin nasıl bir denge durumunda olacağını ve yatay dengede kalabilmesi için ipi nereden bağlaması gerektiğini açıklayınız.
Ancak, işçi daha sonra profilin sol ucuna 10 kg kütleli bir ağırlık bağlar. Profilin toplam kütlesi 40 kg'dır. İşçi, profili yine aynı ipi kullanarak kaldırırsa, profilin nasıl bir denge durumunda olacağını ve yatay dengede kalabilmesi için ipi nereden bağlaması gerektiğini açıklayınız.
Çözüm:
Bu senaryo, kütle merkezi ve tork dengesi kavramlarının günlük hayattaki pratik uygulamasını gösterir.
- 👉 İlk durum (yük bağlanmadan önce):
- Homojen demir profilin kütle merkezi, uzunluğunun tam ortasındadır (1 metrelik noktada).
- İşçi ipi tam ortadan bağladığında, ip gerilmesi profilin ağırlık merkezinden geçer. Bu durumda, ağırlık kuvvetinin menteşe noktasına göre torku sıfır olur.
- Profil yatay dengede kalır çünkü net tork sıfırdır.
- 👉 İkinci durum (yük bağlandıktan sonra):
- Profilin sol ucuna 10 kg kütleli bir ağırlık bağlandığında, sistemin kütle merkezi değişir.
- Artık sadece profilin kendi kütle merkezi değil, eklenen ağırlığın da etkisiyle sistemin yeni bir kütle merkezi oluşur. Bu yeni kütle merkezi, ağırlığın eklendiği tarafa (sol tarafa) kayar.
- İşçi ipi hala profilin eski orta noktasından (1 metrelik noktadan) kaldırırsa, ip gerilmesi artık sistemin yeni kütle merkezinden geçmez.
- Yeni kütle merkezi sol tarafta olduğu için, ipin bağlandığı noktaya göre sol tarafta daha büyük bir tork oluşur.
- Bu durumda profil sol tarafa doğru eğilir ve yatay dengede kalmaz.
- 👉 Yatay dengeyi sağlamak için:
- Profilin yatay dengede kalabilmesi için, ipin sistemin yeni kütle merkezinden bağlanması gerekir.
- Yeni kütle merkezini bulmak için tork denklemini kullanabiliriz. Profilin sol ucunu referans noktası (0 metrelik nokta) alalım:
- Profilin ağırlığı (40 kg), 1 metre noktasında etki eder.
- Eklenen ağırlık (10 kg), 0 metre noktasında etki eder.
- Sistemin toplam kütlesi = \( 40 + 10 = 50 \) kg.
- Yeni kütle merkezinin konumu (x_KM):
\( x_{KM} = \frac{(m_{\text{profil}} \times x_{\text{profil}}) + (m_{\text{yük}} \times x_{\text{yük}})}{m_{\text{profil}} + m_{\text{yük}}} \) - \( x_{KM} = \frac{(40 \, \text{kg} \times 1 \, \text{m}) + (10 \, \text{kg} \times 0 \, \text{m})}{40 \, \text{kg} + 10 \, \text{kg}} \)
- \( x_{KM} = \frac{40 + 0}{50} = \frac{40}{50} = 0.8 \, \text{m} \)
- Yani, profilin sol ucundan 0.8 metre uzaklıkta bir noktadan ip bağlanırsa, sistem yatay dengede kalır.
Örnek 6:
👨👩👧👦 Bir parkta çocuklar tahterevalli oynamaktadır. Tahterevallinin tam orta noktasından desteklenmiş, 4 metre uzunluğunda ve ağırlığı önemsiz bir tahta parçası bulunmaktadır.
Tahterevallinin bir ucuna 30 kg kütleli Ali oturuyor. Diğer ucuna ise 20 kg kütleli Zeynep oturuyor.
1. Bu durumda tahterevalli dengede kalır mı? Neden?
2. Eğer dengede kalmazsa, Zeynep'in tahterevalli üzerinde nereye oturması gerekir ki tahterevalli yatay dengede kalsın? (g = \( 10 \, \text{m/s}^2 \) alınız.)
Tahterevallinin bir ucuna 30 kg kütleli Ali oturuyor. Diğer ucuna ise 20 kg kütleli Zeynep oturuyor.
1. Bu durumda tahterevalli dengede kalır mı? Neden?
2. Eğer dengede kalmazsa, Zeynep'in tahterevalli üzerinde nereye oturması gerekir ki tahterevalli yatay dengede kalsın? (g = \( 10 \, \text{m/s}^2 \) alınız.)
Çözüm:
Tahterevalli, tork dengesi prensibinin en güzel günlük hayattaki örneklerinden biridir.
1. Tahterevalli dengede kalmaz. Ali'nin kütlesi daha fazla olduğu için Ali'nin tarafı aşağı iner.
2. Zeynep'in destek noktasından 3 metre uzağa oturması gerekir. Ancak tahterevalli bu kadar uzun olmadığı için bu mümkün değildir.
- 👉 Verileri belirleyelim:
- Tahterevalli uzunluğu = 4 m. Destek noktası tam ortada olduğu için her iki tarafta 2 m uzunluk vardır.
- Ali'nin kütlesi = 30 kg, ağırlığı \( G_{\text{Ali}} = 30 \times 10 = 300 \, \text{N} \). Tahterevallinin bir ucunda (destekten 2 m uzakta).
- Zeynep'in kütlesi = 20 kg, ağırlığı \( G_{\text{Zeynep}} = 20 \times 10 = 200 \, \text{N} \). Tahterevallinin diğer ucunda (ilk durumda destekten 2 m uzakta).
- 👉 1. Tahterevallinin dengede kalıp kalmadığı:
- Denge için destek noktasına göre net tork sıfır olmalıdır. Yani saat yönündeki torklar, saat yönünün tersindeki torklara eşit olmalıdır.
- Ali'nin destek noktasına göre torku (saat yönünde veya tersinde, yön önemli değil, büyüklükler karşılaştırılacak):
\( \tau_{\text{Ali}} = G_{\text{Ali}} \times \text{uzaklık} = 300 \, \text{N} \times 2 \, \text{m} = 600 \, \text{N \cdot m} \) - Zeynep'in destek noktasına göre torku:
\( \tau_{\text{Zeynep}} = G_{\text{Zeynep}} \times \text{uzaklık} = 200 \, \text{N} \times 2 \, \text{m} = 400 \, \text{N \cdot m} \) - Görüldüğü gibi, \( \tau_{\text{Ali}} (600 \, \text{N \cdot m}) \) > \( \tau_{\text{Zeynep}} (400 \, \text{N \cdot m}) \).
- Bu durumda tahterevalli dengede kalmaz. Ali'nin tarafındaki tork daha büyük olduğu için, Ali'nin oturduğu taraf aşağı doğru iner.
- 👉 2. Zeynep'in nereye oturması gerektiği:
- Tahterevallinin yatay dengede kalması için Ali'nin torku ile Zeynep'in torkunun eşit olması gerekir.
- Ali'nin torku sabit kalacak: \( \tau_{\text{Ali}} = 600 \, \text{N \cdot m} \).
- Zeynep'in torku da 600 \( \text{N \cdot m} \) olmalı. Zeynep'in ağırlığı 200 N. Uzaklığı x olsun.
\( \tau_{\text{Zeynep}} = G_{\text{Zeynep}} \times x \) - \( 600 \, \text{N \cdot m} = 200 \, \text{N} \times x \)
- \( x = \frac{600}{200} = 3 \, \text{m} \)
- Yani Zeynep'in, destek noktasından 3 metre uzaklığa oturması gerekir.
- Ancak tahterevallinin uzunluğu destek noktasından her iki tarafa 2 metredir. Dolayısıyla 3 metre uzaklığa oturması mümkün değildir.
- Bu durumda Zeynep, tahterevallinin kendi tarafındaki ucuna (2 metreye) otursa bile Ali'yi dengeleyemez. Dengeyi sağlamak için Ali'nin biraz ortaya kayması veya Zeynep'e ek bir ağırlık verilmesi gerekir.
- Soru Zeynep'in nereye oturması gerektiğini sorduğu için, matematiksel olarak 3 metre uzaklığa oturması gerektiğini bulduk. Ama bu fiziksel olarak mevcut tahterevallide mümkün değildir.
1. Tahterevalli dengede kalmaz. Ali'nin kütlesi daha fazla olduğu için Ali'nin tarafı aşağı iner.
2. Zeynep'in destek noktasından 3 metre uzağa oturması gerekir. Ancak tahterevalli bu kadar uzun olmadığı için bu mümkün değildir.
Örnek 7:
🤔 Bir marangoz, 3 metre uzunluğunda, ağırlığı önemsiz ve eşit bölmeli bir tahta parçasını kullanarak bir salıncak yapacaktır. Tahtanın ortasından bir iple asıldığında yatay dengede kalır.
Marangoz, tahtanın sol ucundan 1 metre uzağa 50 N ağırlığında bir çocuk oturağı, sağ ucundan 0.5 metre uzağa ise 30 N ağırlığında bir başka çocuk oturağı monte ediyor.
Salıncağın yatay dengede kalması için, marangozun ipi tahtanın sol ucundan kaç metre uzağa bağlaması gerekir?
Marangoz, tahtanın sol ucundan 1 metre uzağa 50 N ağırlığında bir çocuk oturağı, sağ ucundan 0.5 metre uzağa ise 30 N ağırlığında bir başka çocuk oturağı monte ediyor.
Salıncağın yatay dengede kalması için, marangozun ipi tahtanın sol ucundan kaç metre uzağa bağlaması gerekir?
Çözüm:
Bu problem, kütle merkezi veya tork dengesi kavramlarını kullanarak bir sistemin yeni denge noktasını bulma becerisini ölçer.
- 👉 Verileri belirleyelim ve referans noktası seçelim:
- Tahtanın uzunluğu = 3 m. Ağırlığı önemsiz.
- Sol ucu referans noktası (x=0) olarak alalım.
- 1. çocuk oturağı: Ağırlığı \( G_1 = 50 \, \text{N} \). Sol uçtan 1 metre uzakta (\( x_1 = 1 \, \text{m} \)).
- 2. çocuk oturağı: Ağırlığı \( G_2 = 30 \, \text{N} \). Sağ uçtan 0.5 metre uzakta.
Sağ uç \( x = 3 \, \text{m} \) noktasındadır. Sağ uçtan 0.5 metre uzakta olması, sol uçtan \( 3 - 0.5 = 2.5 \, \text{m} \) uzakta olduğu anlamına gelir (\( x_2 = 2.5 \, \text{m} \)). - İpin bağlanacağı nokta (destek noktası) x kadar uzaklıkta olsun. Bu noktaya göre net tork sıfır olmalıdır.
- 👉 Denge noktasını (x) bulalım:
- Denge noktasını bilmediğimiz için, en kolay yöntem herhangi bir noktaya göre tork almaktır. Sol ucu (x=0) referans noktası olarak alalım.
- Denge durumunda, bu referans noktasına göre saat yönündeki torkların toplamı, saat yönünün tersindeki torkların toplamına eşit olmalıdır.
- İpin gerilme kuvveti (T) yukarı yönlüdür ve tork oluşturur. Diğer ağırlıklar aşağı yönlü tork oluşturur.
- Bu durumda, destek noktasına göre tork alırsak, ip gerilmesi denkleme girmez, sadece ağırlıkların torkları dengelenir.
- Alternatif olarak, tüm kuvvetlerin referans noktasına göre torklarını alıp toplamını sıfıra eşitleyebiliriz:
- \( \Sigma \tau = 0 \)
- \( (G_1 \times x_1) + (G_2 \times x_2) = T \times x_{\text{denge}} \)
- Ancak, bu durumda T'yi de bulmamız gerekir ki bu da kuvvet dengesinden \( T = G_1 + G_2 \) ile bulunur.
- Daha basit bir yol: İpin bağlanacağı noktayı (x) denge noktası olarak kabul edip, bu noktaya göre tork alalım.
- Denge noktasının solundaki kuvvetlerin torku, sağındaki kuvvetlerin torkuna eşit olmalıdır.
- 1. çocuk oturağı (50 N), denge noktasının solunda \( (x - x_1) \) kadar uzaklıkta tork oluşturur.
- 2. çocuk oturağı (30 N), denge noktasının sağında \( (x_2 - x) \) kadar uzaklıkta tork oluşturur.
- \( G_1 \times (x - x_1) = G_2 \times (x_2 - x) \)
- \( 50 \times (x - 1) = 30 \times (2.5 - x) \)
- \( 50x - 50 = 75 - 30x \)
- \( 50x + 30x = 75 + 50 \)
- \( 80x = 125 \)
- \( x = \frac{125}{80} = \frac{25}{16} = 1.5625 \, \text{m} \)
Örnek 8:
📌 Ağırlığı 60 N olan homojen bir küre, düşey bir duvara sürtünmesiz bir şekilde dayanmıştır. Küre, düşeyle \( 30^\circ \) açı yapan bir iple dengede tutulmaktadır.
Buna göre, ipin gerilme kuvveti (T) ve duvarın küreye uyguladığı tepki kuvveti (N) kaç N'dur? (Sin \( 30^\circ = 0.5 \), Cos \( 30^\circ = 0.86 \)).
Buna göre, ipin gerilme kuvveti (T) ve duvarın küreye uyguladığı tepki kuvveti (N) kaç N'dur? (Sin \( 30^\circ = 0.5 \), Cos \( 30^\circ = 0.86 \)).
Çözüm:
Bu problem, bir cisme etki eden kuvvetlerin bileşenlere ayrılması ve denge şartlarının uygulanması ile çözülür.
- 👉 Küreye etki eden kuvvetleri belirleyelim:
- Kürenin ağırlığı (G) = 60 N. Aşağı yönde, kürenin merkezinden etki eder.
- İp gerilme kuvveti (T). Düşeyle \( 30^\circ \) açı yapacak şekilde yukarı ve sağa doğru etki eder.
- Duvarın tepki kuvveti (N). Duvar sürtünmesiz olduğu için, tepki kuvveti duvara diktir ve kürenin merkezinden sola doğru etki eder.
- 👉 Kuvvetleri x ve y bileşenlerine ayıralım:
- Ağırlık (G): Sadece y ekseninde (aşağı yönde) \( G_y = 60 \, \text{N} \). \( G_x = 0 \).
- Tepki kuvveti (N): Sadece x ekseninde (sola yönde) \( N_x = N \). \( N_y = 0 \).
- İp gerilme kuvveti (T):
- Düşey bileşeni (y ekseninde, yukarı yönde): \( T_y = T \cos 30^\circ \)
- Yatay bileşeni (x ekseninde, sağa yönde): \( T_x = T \sin 30^\circ \)
- 👉 Denge şartlarını uygulayalım (\( \Sigma F_x = 0 \) ve \( \Sigma F_y = 0 \)):
- 1. Yatay (x ekseni) denge: Sağa çeken kuvvetler sola çeken kuvvetlere eşit olmalıdır.
- \( T_x = N_x \)
- \( T \sin 30^\circ = N \)
- \( T \times 0.5 = N \) (Denklem 1)
- 2. Düşey (y ekseni) denge: Yukarı çeken kuvvetler aşağı çeken kuvvetlere eşit olmalıdır.
- \( T_y = G_y \)
- \( T \cos 30^\circ = 60 \)
- \( T \times 0.86 = 60 \)
- \( T = \frac{60}{0.86} \approx 69.76 \, \text{N} \)
- (Daha hassas hesap için \( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \) alalım: \( T \frac{\sqrt{3}}{2} = 60 \Rightarrow T = \frac{120}{\sqrt{3}} = \frac{120\sqrt{3}}{3} = 40\sqrt{3} \, \text{N} \))
- \( 40\sqrt{3} \approx 40 \times 1.732 = 69.28 \, \text{N} \)
- 👉 N'yi bulalım:
- T değerini Denklem 1'de yerine koyalım:
- \( N = T \times 0.5 \)
- \( N = 69.28 \times 0.5 = 34.64 \, \text{N} \)
- (Hassas hesapla: \( N = 40\sqrt{3} \times 0.5 = 20\sqrt{3} \, \text{N} \))
- \( 20\sqrt{3} \approx 20 \times 1.732 = 34.64 \, \text{N} \)
Örnek 9:
💡 Bir inşaat alanında, 800 N ağırlığındaki bir yük, bir makara sistemi kullanılarak dengede tutulmaktadır. Sistemde, ağırlığı önemsiz bir sabit makara ve ağırlığı önemsiz bir hareketli makara bulunmaktadır. Yük, hareketli makaranın altına asılmıştır. İp, sabit makaradan geçip hareketli makarayı da sararak tavana bağlanmıştır.
Sistem dengede olduğuna göre, ipi tutan kişinin uygulaması gereken kuvvet (F) kaç N'dur?
Sistem dengede olduğuna göre, ipi tutan kişinin uygulaması gereken kuvvet (F) kaç N'dur?
Çözüm:
Bu problem, makara sistemlerindeki kuvvet dengesi prensibini anlamayı gerektirir. Özellikle hareketli makaraların kuvvet kazancı sağladığını bilmeliyiz.
- 👉 Sistemi analiz edelim:
- Yükün ağırlığı (G) = 800 N.
- Sabit makara sadece kuvvetin yönünü değiştirir, büyüklüğünü değiştirmez.
- Hareketli makara ise kuvvet kazancı sağlar. Hareketli makarayı yukarı çeken ip sayısı, yükü taşıyan kuvveti belirler.
- 👉 Hareketli makara üzerindeki kuvvet dengesi:
- Hareketli makara ve ona bağlı yükü bir sistem olarak düşünelim.
- Bu sistemi yukarı doğru çeken iki adet ip gerilmesi vardır. Bu ipler aynı ipin devamı olduğu için gerilmeleri eşittir.
- Aşağı doğru ise yükün ağırlığı (800 N) etki etmektedir.
- Denge durumunda, yukarı çeken kuvvetler aşağı çeken kuvvetlere eşit olmalıdır.
- Yukarı çeken kuvvetler = \( T_1 + T_2 \). Burada \( T_1 = T_2 = F \) (çünkü aynı ipin devamıdır ve kişi F kuvvetiyle çekmektedir).
- Aşağı çeken kuvvet = G = 800 N.
- Yani, \( F + F = G \)
- \( 2F = 800 \, \text{N} \)
- \( F = \frac{800}{2} = 400 \, \text{N} \)
Örnek 10:
🏗️ Bir inşaat firması, dikdörtgenler prizması şeklindeki 1000 kg kütleli bir beton bloğu, yerden kaldırmak için bir vinç kullanmaktadır. Beton blok, vinç ipine iki noktadan bağlanmış, bu sayede blok yatay konumda dengede durabilmektedir.
Blok 4 metre uzunluğunda ve homojendir. Vinç ipi, bloğun sol ucundan 1 metre ve sağ ucundan 1 metre uzaklıktaki noktalara bağlanmıştır.
Firma, bloğun altından geçecek bir boru hattı döşemek için bloğu yatay konumda tutarken biraz sola doğru kaydırmak istiyor. Ancak vinç sadece yukarı-aşağı hareket edebilir, yatayda hareket edemez.
Bu durumda, bloğu yatay dengede tutarak sola doğru kaydırmak için, vinç ipinin bağlantı noktalarında nasıl bir değişiklik yapılması gerektiğini açıklayınız. (g = \( 10 \, \text{m/s}^2 \) alınız.)
Blok 4 metre uzunluğunda ve homojendir. Vinç ipi, bloğun sol ucundan 1 metre ve sağ ucundan 1 metre uzaklıktaki noktalara bağlanmıştır.
Firma, bloğun altından geçecek bir boru hattı döşemek için bloğu yatay konumda tutarken biraz sola doğru kaydırmak istiyor. Ancak vinç sadece yukarı-aşağı hareket edebilir, yatayda hareket edemez.
Bu durumda, bloğu yatay dengede tutarak sola doğru kaydırmak için, vinç ipinin bağlantı noktalarında nasıl bir değişiklik yapılması gerektiğini açıklayınız. (g = \( 10 \, \text{m/s}^2 \) alınız.)
Çözüm:
Bu senaryo, kütle merkezi ve tork dengesi prensiplerinin pratik bir uygulamasıdır. Vinç ipinin bağlantı noktalarını değiştirerek bloğun denge konumunu manipüle edebiliriz.
- 👉 İlk durum analizi:
- Blok 4 metre uzunluğunda ve homojen olduğu için kütle merkezi tam ortasındadır (sol uçtan 2 metrede).
- İpler, sol uçtan 1 metrede ve sağ uçtan 1 metrede (yani sol uçtan 3 metrede) bağlı.
- Vinç ipi, bu iki bağlantı noktasının tam ortasından, yani bloğun kütle merkezinden geçiyordur. (1m ile 3m'nin ortası 2m'dir.) Bu yüzden blok yatay dengededir.
- Bloğun ağırlığı \( G = 1000 \, \text{kg} \times 10 \, \text{m/s}^2 = 10000 \, \text{N} \).
- 👉 Bloğu sola kaydırma isteği:
- Bloğu yatay dengede tutarak sola kaydırmak demek, bloğun yeni denge noktasının sola kayması demektir.
- Vinç ipi, her zaman sistemin kütle merkezinden (veya denge noktasından) geçtiği takdirde yatay denge sağlanır.
- Blok homojen olduğu ve ek ağırlık eklenmediği için, bloğun kendi kütle merkezi değişmez (hala sol uçtan 2 metrede).
- Ancak, vinç ipinin bağlantı noktaları değiştirilerek, ipin uyguladığı bileşke kuvvetin etki noktası değiştirilebilir.
- 👉 Çözüm: İp bağlantı noktalarında değişiklik:
- Bloğu sola kaydırmak için, vinç ipinin bloğa uyguladığı bileşke kuvvetin etki noktasının (yani sistemin yeni denge noktasının) sola doğru kayması gerekir.
- Bu, iki bağlantı noktasının da sola doğru kaydırılmasıyla mümkündür.
- Örneğin, eğer blok 0.5 metre sola kaydırılmak isteniyorsa, vinç ipinin bileşke etki noktası da sol uçtan 2 metreden 1.5 metreye gelmelidir.
- Bunu sağlamak için, ipin sağdaki bağlantı noktasını sola doğru yaklaştırmak ve/veya ipin soldaki bağlantı noktasını da sola doğru kaydırmak gerekir.
- Daha somut bir örnek: Eğer ipin iki bağlantı noktası arasındaki mesafe aynı kalacaksa (örneğin hala 2 metre), bu durumda hem sol bağlantı noktası hem de sağ bağlantı noktası eşit miktarda sola kaydırılmalıdır.
- Örneğin, bloğu 0.5 metre sola kaydırmak için, sol bağlantı noktasını sol uçtan 0.5 metreye, sağ bağlantı noktasını ise sol uçtan 2.5 metreye (eski konum 3m idi) getirmek gerekir. Bu durumda yeni denge noktası (0.5m + 2.5m)/2 = 1.5m olur, yani blok 0.5m sola kaymış olur.
- Özetle, vinç ipinin her iki ucunun da aynı miktarda sola kaydırılmasıyla blok yatay dengesini koruyarak sola doğru kaydırılabilir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-fizik-denge/sorular