💡 10. Sınıf Matematik: Üçgende Yükseklik Çözümlü Örnekler

Bu soruda verilen bilgilerle doğrudan yükseklik hesaplamak için yeterli veri bulunmamaktadır. Yüksekliği bulmak için üçgenin alanını hesaplayıp, taban uzunluğu ile ilişkilendirmemiz gerekir. Ancak, üçgenin türü (dik, geniş açılı, dar açılı) belirtilmediği için, sadece kenar uzunlukları ile yüksekliği kesin olarak bulamayız.
💡 Önemli Not: Bir üçgende yükseklik, bir köşeden karşısındaki kenara veya kenarın uzantısına indirilen dikmedir. Yüksekliğin uzunluğu, üçgenin kenar uzunluklarına ve açılarına bağlıdır.
Bu tür bir soruda, ek bilgi (örneğin, bir açının dik açı olduğu veya alanının verilmesi) olmadan kesin bir yükseklik değeri hesaplamak mümkün değildir.
👉 Daha fazla bilgi gereklidir: Yüksekliği hesaplayabilmek için üçgenin alanını bilmemiz veya bir açısının ölçüsünü bilmemiz gerekir.

Bu soruda dik üçgen bilgisi verilmiştir, bu da çözümü kolaylaştırır.
1. Üçgenin Alanı Hesaplanması: Dik üçgenlerde alan, dik kenarların çarpımının yarısıdır.
Alan = \( \frac{1}{2} \times AB \times AC \)
Alan = \( \frac{1}{2} \times 6 \text{ cm} \times 8 \text{ cm} \)
Alan = \( \frac{1}{2} \times 48 \text{ cm}^2 \)
Alan = \( 24 \text{ cm}^2 \)
2. BC Kenarının Uzunluğunun Hesaplanması (Pisagor Teoremi):
\( BC^2 = AB^2 + AC^2 \)
\( BC^2 = 6^2 + 8^2 \)
\( BC^2 = 36 + 64 \)
\( BC^2 = 100 \)
\( BC = \sqrt{100} \)
\( BC = 10 \text{ cm} \)
3. Yüksekliğin Hesaplanması: Üçgenin alanını, BC kenarını taban kabul ederek de hesaplayabiliriz. Bu durumda yükseklik \( h_a \) olacaktır.
Alan = \( \frac{1}{2} \times BC \times h_a \)
\( 24 \text{ cm}^2 = \frac{1}{2} \times 10 \text{ cm} \times h_a \)
\( 24 \text{ cm}^2 = 5 \text{ cm} \times h_a \)
\( h_a = \frac{24 \text{ cm}^2}{5 \text{ cm}} \)
\( h_a = 4.8 \text{ cm} \)
✅ Sonuç: A köşesinden BC kenarına indirilen yükseklik 4.8 cm'dir.

Bu problemde, üçgenin alanını hesaplayıp, ardından en uzun kenarı taban kabul ederek yüksekliği bulacağız.
1. Yarı Çevreyi (s) Hesaplama: Üçgenin kenar uzunlukları a = 5 m, b = 7 m, c = 10 m.
\( s = \frac{a+b+c}{2} \)
\( s = \frac{5+7+10}{2} \)
\( s = \frac{22}{2} \)
\( s = 11 \text{ m} \)
2. Üçgenin Alanını Hesaplama (Heron Formülü):
Alan = \( \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \)
Alan = \( \sqrt{11(11-5)(11-7)(11-10)} \)
Alan = \( \sqrt{11 \times 6 \times 4 \times 1} \)
Alan = \( \sqrt{264} \text{ m}^2 \)
3. En Uzun Kenara Ait Yüksekliği Hesaplama: En uzun kenar c = 10 m'dir. Bu kenara ait yükseklik \( h_c \) olsun.
Alan = \( \frac{1}{2} \times c \times h_c \)
\( \sqrt{264} = \frac{1}{2} \times 10 \times h_c \)
\( \sqrt{264} = 5 \times h_c \)
\( h_c = \frac{\sqrt{264}}{5} \)
\( h_c = \frac{\sqrt{4 \times 66}}{5} \)
\( h_c = \frac{2\sqrt{66}}{5} \text{ m} \)
✅ Sonuç: En uzun kenara ait yükseklik \( \frac{2\sqrt{66}}{5} \) metredir. Yaklaşık olarak \( \frac{2 \times 8.12}{5} \approx 3.25 \) metredir.

Bu problemde, kenar uzunlukları verilen bir üçgenin en kısa kenarına ait yüksekliği bulmamız isteniyor.
1. Kenar Uzunluklarını Analiz Etme: Kenar uzunlukları 9 m, 12 m ve 15 m'dir. Bu kenar uzunlukları arasındaki ilişkiye dikkat edelim:
\( 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 \)
\( 15^2 = 225 \)
Bu durum, \( 9^2 + 12^2 = 15^2 \) eşitliğinin sağlandığını gösterir. Bu, üçgenin bir dik üçgen olduğunu ve en uzun kenarın (15 m) hipotenüs olduğunu belirtir. Dik açı, 9 m ve 12 m kenarlarının birleştiği köşededir.
2. Dik Üçgenin Alanını Hesaplama: Dik üçgenin alanı, dik kenarlarının çarpımının yarısıdır.
Alan = \( \frac{1}{2} \times 9 \text{ m} \times 12 \text{ m} \)
Alan = \( \frac{1}{2} \times 108 \text{ m}^2 \)
Alan = \( 54 \text{ m}^2 \)
3. En Kısa Kenara Ait Yüksekliği Hesaplama: En kısa kenar 9 m'dir. Bu kenara ait yükseklik \( h_9 \) olsun. Alanı, en kısa kenarı taban kabul ederek de yazabiliriz.
Alan = \( \frac{1}{2} \times 9 \text{ m} \times h_9 \)
\( 54 \text{ m}^2 = \frac{1}{2} \times 9 \text{ m} \times h_9 \)
\( 54 \text{ m}^2 = 4.5 \text{ m} \times h_9 \)
\( h_9 = \frac{54 \text{ m}^2}{4.5 \text{ m}} \)
\( h_9 = 12 \text{ m} \)
✅ Sonuç: Havuzun en kısa kenarına (9 m) ait yükseklik 12 metredir. Bu durum, dik üçgenlerde dik kenarların birbirlerinin yükseklikleri olduğunu gösterir.

Bu soruda, üçgenin tüm kenar uzunlukları verilmiş ve bir kenara ait yükseklik istenmektedir. Heron formülünü kullanarak alanı hesaplayıp, ardından yüksekliği bulabiliriz.
1. Yarı Çevreyi (s) Hesaplama:
\( s = \frac{10+12+14}{2} \)
\( s = \frac{36}{2} \)
\( s = 18 \text{ cm} \)
2. Üçgenin Alanını Hesaplama (Heron Formülü):
Alan = \( \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \)
Burada a=14 cm (BC), b=12 cm (AC), c=10 cm (AB) kenarlarıdır.
Alan = \( \sqrt{18(18-14)(18-12)(18-10)} \)
Alan = \( \sqrt{18 \times 4 \times 6 \times 8} \)
Alan = \( \sqrt{3456} \text{ cm}^2 \)
Alan = \( \sqrt{576 \times 6} \)
Alan = \( 24\sqrt{6} \text{ cm}^2 \)
3. BC Kenarına Ait Yüksekliği Hesaplama: BC kenarı a = 14 cm'dir. Bu kenara ait yükseklik \( h_a \) olsun.
Alan = \( \frac{1}{2} \times a \times h_a \)
\( 24\sqrt{6} = \frac{1}{2} \times 14 \times h_a \)
\( 24\sqrt{6} = 7 \times h_a \)
\( h_a = \frac{24\sqrt{6}}{7} \text{ cm} \)
✅ Sonuç: BC kenarına ait yükseklik \( \frac{24\sqrt{6}}{7} \) cm'dir.

Bu soruda, iki kenar uzunluğu ve aralarındaki açı verilmiştir. Bu bilgileri kullanarak üçgenin alanını Cosinüs Teoremi'ne gerek kalmadan hesaplayabiliriz.
1. Üçgenin Alanını Hesaplama (Sinüs Alan Formülü):
Alan = \( \frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin(A) \)
Alan = \( \frac{1}{2} \times 8 \text{ cm} \times 10 \text{ cm} \times \sin(60^\circ) \)
\( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
Alan = \( \frac{1}{2} \times 80 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \)
Alan = \( 40 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \)
Alan = \( 20\sqrt{3} \text{ cm}^2 \)
2. BC Kenarının Uzunluğunu Hesaplama (Cosinüs Teoremi):
\( BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos(A) \)
\( BC^2 = 8^2 + 10^2 - 2 \times 8 \times 10 \times \cos(60^\circ) \)
\( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \)
\( BC^2 = 64 + 100 - 160 \times \frac{1}{2} \)
\( BC^2 = 164 - 80 \)
\( BC^2 = 84 \)
\( BC = \sqrt{84} = \sqrt{4 \times 21} = 2\sqrt{21} \text{ cm} \)
3. BC Kenarına Ait Yüksekliği Hesaplama: BC kenarı \( a = 2\sqrt{21} \) cm'dir. Bu kenara ait yükseklik \( h_a \) olsun.
Alan = \( \frac{1}{2} \times a \times h_a \)
\( 20\sqrt{3} = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{21} \times h_a \)
\( 20\sqrt{3} = \sqrt{21} \times h_a \)
\( h_a = \frac{20\sqrt{3}}{\sqrt{21}} \)
\( h_a = \frac{20\sqrt{3}}{\sqrt{3 \times 7}} \)
\( h_a = \frac{20\sqrt{3}}{\sqrt{3}\sqrt{7}} \)
\( h_a = \frac{20}{\sqrt{7}} \)
Paydayı rasyonel yapmak için \( \sqrt{7} \) ile çarparız:
\( h_a = \frac{20\sqrt{7}}{7} \text{ cm} \)
✅ Sonuç: BC kenarına ait yükseklik \( \frac{20\sqrt{7}}{7} \) cm'dir.

Eşkenar üçgenler özel üçgenlerdir ve yükseklik hesaplamaları için özel formülleri vardır.
1. Eşkenar Üçgenin Yüksekliği Formülü: Bir kenar uzunluğu 'a' olan eşkenar üçgenin yüksekliği \( h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \) formülü ile bulunur.
2. Yüksekliği Hesaplama: Kenar uzunluğu a = 10 metre verilmiştir.
\( h = \frac{10 \times \sqrt{3}}{2} \)
\( h = 5\sqrt{3} \text{ m} \)
3. Alternatif Yöntem (Pisagor ile): Eşkenar üçgenin bir yüksekliği, onu iki eş dik üçgene ayırır. Bu dik üçgenlerin hipotenüsü 'a' (10 m), bir dik kenarı 'a/2' (5 m) ve diğer dik kenarı yüksekliktir (h).
\( h^2 + (a/2)^2 = a^2 \)
\( h^2 + 5^2 = 10^2 \)
\( h^2 + 25 = 100 \)
\( h^2 = 100 - 25 \)
\( h^2 = 75 \)
\( h = \sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3} \text{ m} \)
✅ Sonuç: Eşkenar üçgenin herhangi bir kenarına ait yükseklik \( 5\sqrt{3} \) metredir.

Bu problemde, kenar uzunlukları verilen bir üçgenin en uzun kenarına ait yüksekliği bulmamız isteniyor.
1. Kenar Uzunluklarını Analiz Etme: Kenar uzunlukları 3 m, 4 m ve 5 m'dir. Bu kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi kontrol edelim:
\( 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \)
\( 5^2 = 25 \)
\( 3^2 + 4^2 = 5^2 \) eşitliği sağlandığı için bu bir dik üçgendir. En uzun kenar (5 m) hipotenüstür ve dik açı, 3 m ile 4 m kenarlarının birleştiği köşededir.
2. Dik Üçgenin Alanını Hesaplama: Dik üçgenin alanı, dik kenarlarının çarpımının yarısıdır.
Alan = \( \frac{1}{2} \times 3 \text{ m} \times 4 \text{ m} \)
Alan = \( \frac{1}{2} \times 12 \text{ m}^2 \)
Alan = \( 6 \text{ m}^2 \)
3. En Uzun Kenara Ait Yüksekliği Hesaplama: En uzun kenar 5 m'dir. Bu kenara ait yükseklik \( h_5 \) olsun. Alanı, en uzun kenarı taban kabul ederek de yazabiliriz.
Alan = \( \frac{1}{2} \times 5 \text{ m} \times h_5 \)
\( 6 \text{ m}^2 = \frac{1}{2} \times 5 \text{ m} \times h_5 \)
\( 6 \text{ m}^2 = 2.5 \text{ m} \times h_5 \)
\( h_5 = \frac{6 \text{ m}^2}{2.5 \text{ m}} \)
\( h_5 = 2.4 \text{ m} \)
✅ Sonuç: Çiçek tarhının en uzun kenarına (5 m) ait yükseklik 2.4 metredir.