Üçgende trigonometrik bağıntılar Ders Notu

Üçgende trigonometrik bağıntılar, dar veya geniş açılı fark etmeksizin tüm üçgenlerde kenar uzunlukları ile açılar arasındaki ilişkileri hesaplamamızı sağlayan temel geometri ve matematik araçlarıdır. 10. sınıf müfredatında yer alan bu bağıntılar; Kosinüs Teoremi, Sinüs Teoremi ve Sinüslü Alan Formülü olmak üzere üç ana başlıkta incelenir.

📐 Kosinüs Teoremi

Bir üçgende iki kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasındaki açı bilindiğinde, üçüncü kenarın uzunluğunu bulmak için Kosinüs Teoremi kullanılır. Aynı şekilde, üç kenar uzunluğu bilinen bir üçgenin tüm iç açılarının kosinüs değerleri hesaplanabilir.

Bir ABC üçgeninde kenar uzunlukları \( a \), \( b \), \( c \) ve bu kenarları gören iç açılar sırasıyla \( A \), \( B \), \( C \) olsun. Kosinüs Teoremi bağıntıları şu şekildedir:

\[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(A) \] \[ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos(B) \] \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) \]

💡 Önemli İpucu: Eğer aradaki açı \( 90^\circ \) olursa, \( \cos(90^\circ) = 0 \) olacağından teorem doğrudan bildiğimiz Pisagor Teoremi'ne (\( a^2 = b^2 + c^2 \)) dönüşür.

📝 Çözümlü Örnek 1

Bir ABC üçgeninde \( b = 5 \) birim, \( c = 8 \) birim ve bu iki kenar arasındaki açı \( m(A) = 60^\circ \) olarak verilmiştir. Buna göre \( a \) kenarının uzunluğu kaç birimdir?

Çözüm:

A açısına göre Kosinüs Teoremi uygulanır:

\[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(A) \]

Bilinen değerler yerine yazılır (\( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \)):

\[ a^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ) \] \[ a^2 = 25 + 64 - 80 \cdot \frac{1}{2} \] \[ a^2 = 89 - 40 \] \[ a^2 = 49 \] \[ a = 7 \text{ birim} \]

can 📏 Sinüs Teoremi

Bir üçgenin kenar uzunlukları, bu kenarların karşısındaki açıların sinüs değerleriyle doğru orantılıdır. Bu orantı sabiti, üçgenin çevrel çemberinin yarıçapının (\( R \)) iki katına (yani çapına) eşittir.

Bir ABC üçgeni için Sinüs Teoremi bağıntısı aşağıdaki gibidir:

\[ \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)} = 2R \]

📝 Çözümlü Örnek 2

Bir ABC üçgeninde \( m(A) = 30^\circ \), \( m(B) = 45^\circ \) ve \( a = 6 \) cm olduğuna göre, \( b \) kenarının uzunluğu kaç cm'dir?

Çözüm:

Sinüs Teoremi orantısı kurulur:

\[ \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} \]

Bilinen değerler ve trigonometrik oranlar (\( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \), \( \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)) yerleştirilir:

\[ \frac{6}{\sin(30^\circ)} = \frac{b}{\sin(45^\circ)} \] \[ \frac{6}{\frac{1}{2}} = \frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \] \[ 12 = \frac{2b}{\sqrt{2}} \] \[ b = 6\sqrt{2} \text{ cm} \]

🔺 Sinüslü Alan Formülü

Bir üçgenin alanını hesaplamak için taban ve yüksekliği her zaman bilmemiz gerekmez. İki kenar uzunluğu ve bu iki kenar arasındaki açının sinüs değeri bilindiğinde üçgenin alanı kolayca hesaplanabilir.

Bir ABC üçgeninin alanı aşağıdaki formüllerle bulunur:

\[ \text{Alan}(ABC) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C) \] \[ \text{Alan}(ABC) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot c \cdot \sin(B) \] \[ \text{Alan}(ABC) = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin(A) \]

Açı (\( x \))	\( \sin(x) \)	\( \cos(x) \)
\( 30^\circ \)	\( \frac{1}{2} \)	\( \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( 45^\circ \)	\( \frac{\sqrt{2}}{2} \)	\( \frac{\sqrt{2}}{2} \)
\( 60^\circ \)	\( \frac{\sqrt{3}}{2} \)	\( \frac{1}{2} \)

📝 Çözümlü Örnek 3

Bir ABC üçgeninde \( a = 10 \) cm, \( b = 12 \) cm ve bu iki kenar arasındaki açı \( m(C) = 150^\circ \) olduğuna göre, üçgenin alanı kaç \( \text{cm}^2 \)'dir?

Çözüm:

Birbirini \( 180^\circ \)'ye tamamlayan açıların sinüs değerleri eşittir. Dolayısıyla \( \sin(150^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \) olur.

Sinüslü alan formülünü uygulayalım:

\[ \text{Alan}(ABC) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C) \] \[ \text{Alan}(ABC) = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 \cdot \sin(150^\circ) \] \[ \text{Alan}(ABC) = 60 \cdot \frac{1}{2} = 30 \text{ cm}^2 \]