💡 10. Sınıf Matematik: Trigonometriye giriş Çözümlü Örnekler

Çözüm Adımları:

• İlk olarak, dik üçgenin hipotenüs uzunluğunu bulmak için Pisagor Teoremi'ni uygulayalım:
  \[ |AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 \] \[ |AC|^2 = 6^2 + 8^2 \] \[ |AC|^2 = 36 + 64 = 100 \] \[ |AC| = 10 \text{ birim} \] (Bu üçgen, ünlü \(6-8-10\) özel dik üçgenidir.) 💡
• Şimdi, \(A\) açısının trigonometrik oranlarını yazalım:
  👉 Sinüs (\(\sin\)): Karşı dik kenar bölü hipotenüs \[ \sin(A) = \frac{|BC|}{|AC|} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} \] 👉 Kosinüs (\(\cos\)): Komşu dik kenar bölü hipotenüs \[ \cos(A) = \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \]
• Bizden bu iki değerin toplamı istenmektedir:
  \[ \sin(A) + \cos(A) = \frac{4}{5} + \frac{3}{5} = \frac{7}{5} \]

Sonuç: Cevap \(\frac{7}{5}\) olarak bulunur. ✅

Çözüm Adımları:

• Verilen \(\sin(x)\) değerine uygun bir dik üçgen çizdiğimizi hayal edelim.
  Bu üçgende \(x\) açısının karşısındaki kenar \(5\) birim, hipotenüs ise \(13\) birim olsun.
• Komşu dik kenar uzunluğunu (\(y\)) bulmak için Pisagor bağıntısını kullanalım:
  \[ y^2 + 5^2 = 13^2 \] \[ y^2 + 25 = 169 \] \[ y^2 = 144 \implies y = 12 \text{ birim} \] (Bu üçgen, \(5-12-13\) özel dik üçgenidir.) ⭐
• Bulduğumuz kenar uzunluklarına göre diğer trigonometrik oranları hesaplayalım:
  👉 \(\tan(x) = \frac{\text{Karşı dik kenar}}{\text{Komşu dik kenar}} = \frac{5}{12}\)
  👉 \(\cot(x) = \frac{\text{Komşu dik kenar}}{\text{Karşı dik kenar}} = \frac{12}{5}\)
• İstenen toplamı bulalım:
  \[ \tan(x) + \cot(x) = \frac{5}{12} + \frac{12}{5} \] Paydaları \(60\) sayısında eşitlemek için ilk kesri \(5\) ile, ikinci kesri \(12\) ile genişletelim: \[ \frac{25}{60} + \frac{144}{60} = \frac{169}{60} \]

Sonuç: Cevap \(\frac{169}{60}\) olarak elde edilir. ✅

Çözüm Adımları:

• Özel açıların trigonometrik değerlerini hatırlayalım:
  👉 \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\)
  👉 \(\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\)
  👉 \(\tan(45^\circ) = 1\)
• Bu değerleri verilen işlemde yerlerine yazalım:
  \[ \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}{1} \]
• Pay kısmındaki toplama işlemini yapalım:
  \[ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \]
• Son adımı tamamlayalım:
  \[ \frac{1}{1} = 1 \]

Sonuç: İşlemin sonucu \(1\) olarak bulunur. ✅

Çözüm Adımları:

• İkizkenar üçgen sorularında genellikle tabana bir dikme indirmek en pratik yoldur.
  \(A\) köşesinden \(BC\) tabanına bir \([AD]\) dikmesi (yükseklik) indirelim.
• İkizkenar üçgende tabana indirilen yükseklik, tabanı iki eş parçaya böler (kenarortaydır):
  \[ |BD| = |DC| = \frac{12}{2} = 6 \text{ birim} \]
• Oluşan \(ABD\) dik üçgeninde \(D\) açısı \(90^\circ\) dir.
  Bu dik üçgende hipotenüs \(|AB| = 10\) birim ve komşu dik kenar \(|BD| = 6\) birimdir.
• \(B\) açısının kosinüs değerini bulmak için komşu dik kenarı hipotenüse oranlayalım:
  \[ \cos(B) = \frac{|BD|}{|AB|} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \]

Sonuç: \(\cos(B)\) değeri \(\frac{3}{5}\) olarak bulunur. ✅

Çözüm Adımları:

• Öncelikle dikten dik inildiği için Öklid Teoremi'ni uygulayarak \(|AD|\) yüksekliğini bulalım:
  \[ |AD|^2 = |BD| \cdot |DC| \] \[ |AD|^2 = 4 \cdot 9 = 36 \implies |AD| = 6 \text{ birim} \]
• Şimdi oluşan iki küçük dik üçgende istenen trigonometrik oranları bulalım:
  👉 \(ABD\) dik üçgeninde \(\tan(B)\):
  \(B\) açısının karşı dik kenarı \(|AD|\), komşu dik kenarı \(|BD|\) dir. \[ \tan(B) = \frac{|AD|}{|BD|} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \]
  👉 \(ADC\) dik üçgeninde \(\cot(C)\):
  \(C\) açısının komşu dik kenarı \(|DC|\), karşı dik kenarı \(|AD|\) dir. \[ \cot(C) = \frac{|DC|}{|AD|} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} \]
• Bizden istenen çarpım işlemini gerçekleştirelim:
  \[ \tan(B) \cdot \cot(C) = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{4} \]

Sonuç: Çarpımın değeri \(\frac{9}{4}\) olarak hesaplanır. ✅

Çözüm Adımları:

• Bu problemi modellemek için bir dik üçgen oluşturalım:
  • Hipotenüs: Merdivenin boyu = \(12\) metre
  • Yer ile yapılan açı: \(60^\circ\)
  • Karşı dik kenar: Merdivenin ulaştığı yükseklik = \(h\) metre
• Açının karşı kenarı ile hipotenüs arasındaki ilişkiyi kurmak için sinüs fonksiyonunu kullanalım:
  \[ \sin(60^\circ) = \frac{\text{Karşı Kenar}}{\text{Hipotenüs}} \] \[ \sin(60^\circ) = \frac{h}{12} \]
• \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) olduğunu biliyoruz. Bu değeri denklemde yerine yazalım:
  \[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{12} \]
• İçler dışlar çarpımı yaparak \(h\) değerini yalnız bırakalım:
  \[ 2h = 12\sqrt{3} \] \[ h = 6\sqrt{3} \text{ metre} \]

Sonuç: Merdivenin binaya temas ettiği noktanın yerden yüksekliği \(6\sqrt{3}\) metredir. ✅

Çözüm Adımları:

• Rampayı bir dik üçgen olarak modelleyelim:
  • Dikey yükseklik (karşı dik kenar): \(50\) cm
  • Yatay uzunluk (komşu dik kenar): \(x\) cm
  • Eğim açısı: \(a\)
• Eğim, rampa açısının tanjantına eşittir:
  \[ \tan(a) = \frac{\text{Dikey Yükseklik}}{\text{Yatay Uzunluk}} = \frac{50}{x} \]
• Yönetmeliğe göre eğim en fazla \(\frac{1}{12}\) olmalıdır. Yatay uzunluğun en az olmasını istediğimiz için sınırı tam \(\frac{1}{12}\) olarak alabiliriz:
  \[ \frac{50}{x} = \frac{1}{12} \]
• İçler dışlar çarpımı yaparak \(x\) değerini bulalım:
  \[ x = 50 \cdot 12 = 600 \text{ cm} \]
• Bizden cevap metre cinsinden istendiği için santimetreyi metreye çevirelim:
  \[ 600 \text{ cm} = 6 \text{ metre} \]

Sonuç: Yapılması gereken yatay uzunluk en az \(6\) metre olmalıdır. ✅

Çözüm Adımları:

• Durumu görselleştirmek için bir dik üçgen modeli kuralım:
  • Ağacın kendisi dik kenardır (yükseklik = \(h\)).
  • Ağacın gölgesi yerdeki diğer dik kenardır (gölge boyu = \(15\) metre).
  • Güneş ışınlarının yerle yaptığı açı \(45^\circ\) dir.
• Açının karşı dik kenarı (ağacın boyu) ile komşu dik kenarı (gölge boyu) arasındaki ilişkiyi kurmak için tanjant fonksiyonunu kullanalım:
  \[ \tan(45^\circ) = \frac{\text{Karşı Kenar}}{\text{Komşu Kenar}} \] \[ \tan(45^\circ) = \frac{h}{15} \]
• \(\tan(45^\circ) = 1\) olduğunu biliyoruz. Bu değeri denklemde yerine yazalım:
  \[ 1 = \frac{h}{15} \] \[ h = 15 \text{ metre} \]
• Alternatif Yol: \(45^\circ - 45^\circ - 90^\circ\) ikizkenar dik üçgeni kurallarından, dik kenarların birbirine eşit olması gerektiği doğrudan görülebilir.

Sonuç: Çam ağacının boyu \(15\) metredir. ✅