🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Trigonometri üçgen Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Trigonometri üçgen Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
📌 Bir ABC üçgeni veriliyor. Bu üçgenin iç açılarının ölçüleri sırasıyla a, b ve c'dir. Eğer \( a = 50^\circ \) ve \( b = 60^\circ \) olduğuna göre, c açısının ölçüsünü derece cinsinden bulunuz.
Çözüm:
👉 Sorunun çözüm adımları şu şekildedir:
- Bir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı her zaman \( 180^\circ \) olmalıdır.
- Buna göre denklem şu şekilde kurulur: a + b + c = \( 180^\circ \)
- Verilen değerler yerine yazılır: \( 50^\circ \) + \( 60^\circ \) + c = \( 180^\circ \)
- Toplama işlemi yapılır: \( 110^\circ \) + c = \( 180^\circ \)
- c açısı yalnız bırakılır: c = \( 180^\circ \) - \( 110^\circ \) = \( 70^\circ \)
Örnek 2:
📌 Bir dik üçgende dik kenarların uzunlukları 6 cm ve 8 cm olarak veriliyor. Bu dik üçgenin hipotenüs uzunluğunu hesaplayınız.
Çözüm:
👉 Pisagor bağıntısı yardımıyla çözüm adımları:
- Dik üçgende hipotenüs uzunluğuna x diyelim.
- Pisagor bağıntısı formülü şu şekildedir: Dik kenarların karelerinin toplamı hipotenüsün karesine eşittir.
- Formülü matematiksel olarak yazarsak: \( 6^2 \) + \( 8^2 \) = \( x^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: 36 + 64 = \( x^2 \)
- Toplama işlemini yapalım: 100 = \( x^2 \)
- Her iki tarafın karekökü alınır: x = 10
Örnek 3:
📌 Bir dik üçgende dar açılardan biri a açısıdır. Bu açının karşı dik kenarının uzunluğu 5 cm, komşu dik kenarının uzunluğu 12 cm olduğuna göre, tanjant a değerini hesaplayınız.
Çözüm:
👉 Çözüm adımları:
- Dik üçgende tanjant fonksiyonu, karşı dik kenar uzunluğunun komşu dik kenar uzunluğuna oranı olarak tanımlanır.
- Formül: tan(a) = Karşı Dik Kenar / Komşu Dik Kenar
- Verilen değerler yerine yazılır: tan(a) = 5 / 12
Örnek 4:
📌 Bir dik üçgende sinüs değeri verilen bir a açısı için sin(a) = 3 / 5 olduğuna göre, aynı açının kosinüs değerini (cos(a)) hesaplayınız.
Çözüm:
👉 Trigonometrik özdeşlikler ile çözüm adımları:
- Bir a açısı için temel trigonometrik özdeşlik şu şekildedir: \( sin^2(a) \) + \( cos^2(a) \) = 1
- Verilen sinüs değeri yerine yazılır: \( (3 / 5)^2 \) + \( cos^2(a) \) = 1
- Kare alınır: 9 / 25 + \( cos^2(a) \) = 1
- Kesirli ifade karşı tarafa atılır: \( cos^2(a) \) = 1 - 9 / 25
- Çıkarma işlemi yapılır: \( cos^2(a) \) = 16 / 25
- Karekök alınarak pozitif değer bulunur: cos(a) = 4 / 5
Örnek 5:
💡 Yeni Nesil Soru: Yere dik konumda bulunan bir aydınlatma direğinin boyu 12 metredir. Güneş ışınları yere \( 30^\circ \) lik açı ile vurduğunda direğin yerdeki gölgesinin uzunluğu kaç metre olur?
Çözüm:
👉 Geometri ve trigonometriyi birleştiren çözüm adımları:
- Direk, zemin ile \( 90^\circ \) lik açı yaptığı için bir dik üçgen oluşur.
- Direğin boyu karşı dik kenardır (12 metre). Gölge boyu ise komşu dik kenardır (x diyelim).
- Açı \( 30^\circ \) olduğuna göre tanjant bağıntısı kullanılır: tan(\( 30^\circ \)) = Karşı / Komşu
- Değerler yerine yazılır: tan(\( 30^\circ \)) = 12 / x
- Trigonometrik tablodan tan(\( 30^\circ \)) = 1 / \(\sqrt{3}\) olduğu bilinir.
- Orantı kurulur: 1 / \(\sqrt{3}\) = 12 / x
- İçler dışlar çarpımı yapılır: x = 12 \(\sqrt{3}\)
Örnek 6:
📌 Günlük Hayat Örneği: Bir inşaat ustası, çatının eğimini hesaplamak istemektedir. Usta, çatının yatayda 8 metre ilerlediğini ve dikeyde 6 metre yükseldiğini görüyor. Buna göre çatının yatay düzlemle yaptığı a açısının tanjant değerini hesaplayarak eğimi bulunuz.
Çözüm:
👉 Günlük hayattaki uygulamanın çözüm adımları:
- Çatı yapısı bir dik üçgen oluşturur.
- Dikey yükseklik karşı dik kenarı (6 metre), yatay uzunluk ise komşu dik kenarı (8 metre) temsil eder.
- Eğim veya tanjant tanımı gereği: tan(a) = Dikey Uzunluk / Yatay Uzunluk
- Değerler formüle yazılır: tan(a) = 6 / 8
- Kesir en sade haline getirilir (2 ile sadeleştirilir): tan(a) = 3 / 4
Örnek 7:
📌 Bir ABC ikizkenar üçgeninde AB = AC = 10 cm ve BC = 12 cm veriliyor. Buna göre, tepe açısı olan A açısının sinüs değerini (sin(a/2)) hesaplayınız.
Çözüm:
👉 İkizkenar üçgende yükseklik yardımıyla çözüm adımları:
- A köşesinden BC tabanına bir dikme (yükseklik) indirilir.
- İkizkenar üçgendeki bu yükseklik tabanı iki eşit parçaya böler, yani taban 6 cm ve 6 cm olarak ayrılır.
- Oluşan dik üçgenlerden birinde hipotenüs 10 cm, tabandaki dik kenar 6 cm'dir.
- Pisagor bağıntısı ile yükseklik (h) bulunur: \( 6^2 \) + \( h^2 \) = \( 10^2 \)
- İşlemler yapılır: 36 + \( h^2 \) = 100 -> \( h^2 \) = 64 -> h = 8 cm
- Tepe açısının yarısı olan a/2 açısının sinüsü, karşı dik kenarın hipotenüse oranından 6 / 10 = 3 / 5 olur.
Örnek 8:
💡 Yeni Nesil Soru: Bir dağcı, eğimi sabit olan bir dağ yolundan yukarı doğru yürüyor. Dağcı yatayda 400 metre ilerlediğinde, dikeyde 300 metre yükseldiğini fark ediyor. Dağcının yürüdüğü yolun zeminle yaptığı a açısının kosünüs değerini hesaplayınız.
Çözüm:
👉 Yeni nesil problem çözüm adımları:
- Yol ve zemin bir dik üçgen oluşturur. Yatay mesafe 400 metre (komşu dik kenar), dikey mesafe 300 metre (karşı dik kenar) kadardır.
- Önce Pisagor bağıntısı ile hipotenüs (dağcının yürüdüğü toplam yol mesafesi) hesaplanır.
- Hipotenüs karesi = \( 300^2 \) + \( 400^2 \)
- İşlemler yapılır: 90000 + 160000 = 250000
- Karekök alınırsa hipotenüs = 500 metre bulunur.
- Kosinüs tanımı gereği: cos(a) = Komşu Dik Kenar / Hipotenüs
- Değerler yerine yazılır: cos(a) = 400 / 500
- Sadeleştirme yapılır: cos(a) = 4 / 5
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-trigonometri-ucgen/sorular