💡 10. Sınıf Matematik: Trigonometri dik üçgenler Çözümlü Örnekler

Adım adım çözüm uygulayalım:

• 1. Adım: Öncelikle Pisagor teoremi yardımıyla hipotenüs uzunluğunu (AC kenarı) bulalım.
  \[ |AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 \] \[ |AC|^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \] Buradan \( |AC| = 5 \) birim bulunur. ✅
• 2. Adım: Sinüs değeri, karşı dik kenarın hipotenüse oranıdır.
  A açısının karşısında BC kenarı vardır.
  \[ \sin(A) = \frac{|BC|}{|AC|} = \frac{4}{5} \]
• 3. Adım: Tanjant değeri, karşı dik kenarın komşu dik kenara oranıdır.
  C açısının karşısında AB kenarı, komşusunda BC kenarı vardır.
  \[ \tan(C) = \frac{|AB|}{|BC|} = \frac{3}{4} \]

İkizkenar üçgen sorularında diklik oluşturmak temel kuraldır:

• 1. Adım: Tepe noktasından tabana bir dikme indirelim. İkizkenar üçgende indirilen dikme tabanı iki eş parçaya böler.
  Taban \( 16 / 2 = 8 \) birimlik iki parçaya ayrılır. 📏
• 2. Adım: Oluşan dik üçgende hipotenüs (yan kenar) 10 birim, taban açısının komşu dik kenarı ise 8 birimdir.
• 3. Adım: Kosinüs değeri, komşu dik kenarın hipotenüse oranıdır.
  \[ \cos(x) = \frac{8}{10} \]
• 4. Adım: Sadeleştirme yaparsak:
  \[ \cos(x) = \frac{4}{5} \]

30-60-90 üçgeni özelliklerini ve trigonometrik değerleri hatırlayalım:

• 1. Adım: \( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \) olduğunu biliyoruz.
  Sinüs = Karşı / Hipotenüs olduğuna göre:
  \[ \frac{1}{2} = \frac{6}{c} \]
  Buradan hipotenüs \( c = 12 \) birim bulunur. 📏
• 2. Adım: \( \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \) değerini kullanalım.
  Tanjant = Karşı / Komşu olduğuna göre:
  \[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{6}{b} \]
  Buradan komşu dik kenar \( b = 6\sqrt{3} \) birim bulunur. ✅

Günlük hayat problemlerini dik üçgene modelleyelim:

• 1. Adım: Merdiven, dik üçgenin hipotenüsü görevini görür. Hipotenüs = 5 m.
• 2. Adım: Yerden yükseklik, \( 53^\circ \)'lik açının tam karşısındaki dik kenardır.
• 3. Adım: Karşı kenarı bulmak için sinüs oranını kullanırız:
  \[ \sin(53^\circ) = \frac{\text{Yükseklik}}{5} \]
• 4. Adım: Verilen değeri yerine koyalım:
  \[ 0.8 = \frac{h}{5} \]
  \[ h = 5 \times 0.8 = 4 \]

Dikdörtgenin özelliklerini kullanarak dik üçgeni analiz edelim:

• 1. Adım: ABC bir dik üçgendir ve B açısı \( 90^\circ \)'dir.
• 2. Adım: \( |AB| = 8 \) (komşu kenar) ve \( |BC| = 6 \) (karşı kenar) birimdir.
• 3. Adım: Tanjant değerini hesaplayalım:
  \[ \tan(a) = \frac{\text{Karşı}}{\text{Komşu}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \]
• 4. Adım: Kotanjant değerini hesaplayalım:
  \[ \cot(a) = \frac{\text{Komşu}}{\text{Karşı}} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \]
• 5. Adım: Toplama işlemini payda eşitleyerek yapalım:
  \[ \frac{3}{4} + \frac{4}{3} = \frac{9}{12} + \frac{16}{12} = \frac{25}{12} \]

Verilenleri bir dik üçgen üzerinde gösterelim:

• Hipotenüs: Panelin boyu olan 2 metredir.
• Karşı Kenar: Yere olan dik uzaklık olan 1.2 metredir.
• 1. Adım: Önce komşu dik kenarı (yerdeki izdüşümü) Pisagor ile bulalım:
  \[ b^2 + (1.2)^2 = 2^2 \]
  \[ b^2 + 1.44 = 4 \]
  \[ b^2 = 2.56 \implies b = 1.6 \] metre. 📏
• 2. Adım: Kosinüs değerini hesaplayalım:
  \[ \cos(x) = \frac{\text{Komşu}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{1.6}{2} \]
• 3. Adım: İşlemi sadeleştirelim:
  \[ \cos(x) = 0.8 \]

Eğim kavramı trigonometride tanjant fonksiyonuna karşılık gelir:

• 1. Adım: Rampanın yüksekliği karşı dik kenardır: \( h = 2 \) metre.
• 2. Adım: Yatay uzunluk komşu dik kenardır: \( d \) metre.
• 3. Adım: Eğim formülünü yazalım:
  \[ \tan(x) = \frac{\text{Karşı}}{\text{Komşu}} = \frac{2}{d} \]
• 4. Adım: Soruda verilen maksimum eğim değerini kullanalım:
  \[ \frac{2}{d} \leq \frac{1}{5} \]
• 5. Adım: İçler dışlar çarpımı yaparsak:
  \[ 10 \leq d \]

Birim kareler üzerinde analiz yapalım:

• 1. Adım: Kenarlar 5 ve 12 birim ise, hipotenüs 5-12-13 özel üçgeninden dolayı 13 birimdir. ✅
• 2. Adım: Bir üçgende en küçük açının karşısında en kısa kenar bulunur.
• 3. Adım: En kısa kenar 5 birim olduğuna göre, aradığımız açı bu kenarın karşısındaki açıdır.
• 4. Adım: Bu açının komşu kenarı ise 12 birim olan kenardır.
• 5. Adım: Kosinüs değerini hesaplayalım:
  \[ \cos(\text{küçük açı}) = \frac{\text{Komşu}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{12}{13} \]