🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Sinüs kosinüs tanjant kotanjant Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Sinüs kosinüs tanjant kotanjant Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC dik üçgeninde \(B\) açısının ölçüsü \(90^\circ\) dir.
\(|AB| = 3\) birim ve \(|BC| = 4\) birim olduğuna göre, \(A\) açısının sinüs ve kosinüs değerlerinin toplamı kaçtır?
\(|AB| = 3\) birim ve \(|BC| = 4\) birim olduğuna göre, \(A\) açısının sinüs ve kosinüs değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözüm:
Soruyu adım adım çözerek \(A\) açısının trigonometrik oranlarını bulalım:
- 1. Adım: Öncelikle hipotenüs uzunluğunu bulmalıyız. Pisagor teoremini uygulayalım:
\[ |AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 \] \[ |AC|^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \] Buradan hipotenüs uzunluğu \(|AC| = 5\) birim olarak bulunur. 💡 - 2. Adım: \(A\) açısının sinüs değerini hesaplayalım. Sinüs, karşı dik kenar bölü hipotenüstür:
\[ \sin(A) = \frac{|BC|}{|AC|} = \frac{4}{5} \] - 3. Adım: \(A\) açısının kosinüs değerini hesaplayalım. Kosinüs, komşu dik kenar bölü hipotenüstür:
\[ \cos(A) = \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{3}{5} \] - 4. Adım: Bizden bu iki değerin toplamı istenmiştir:
\[ \sin(A) + \cos(A) = \frac{4}{5} + \frac{3}{5} = \frac{7}{5} \]
Örnek 2:
Bir dik üçgende dar açılardan birinin tanjant değeri \(\frac{5}{12}\) olduğuna göre, bu açının kotanjant değeri ile sinüs değerinin çarpımı kaçtır?
Çözüm:
Trigonometrik oranlar arasındaki ilişkileri kullanarak çözüme ulaşalım:
- 1. Adım: Bir açının tanjantı ile kotanjantı birbirinin çarpmaya göre tersidir.
Açımıza \(x\) dersek:
\[ \tan(x) \cdot \cot(x) = 1 \] formülünden yararlanarak;
\[ \cot(x) = \frac{1}{\tan(x)} = \frac{12}{5} \] elde ederiz. 📌 - 2. Adım: \(x\) açısının sinüs değerini bulmak için bir dik üçgen çizelim.
Karşı dik kenar \(5\) birim, komşu dik kenar \(12\) birim olsun.
Pisagor teoreminden hipotenüs:
\[ \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \] birim bulunur. 👉 (5-12-13 özel üçgeni) - 3. Adım: Bu durumda \(x\) açısının sinüs değeri:
\[ \sin(x) = \frac{\text{Karşı}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{5}{13} \] olur. - 4. Adım: İstenen çarpım işlemini yapalım:
\[ \cot(x) \cdot \sin(x) = \frac{12}{5} \cdot \frac{5}{13} = \frac{12}{13} \]
Örnek 3:
Dar açılı bir \(x\) açısı için,
\[ \sin(x) = \frac{3}{5} \]
olduğuna göre, \(\tan(x) + \cot(x)\) toplamının değeri kaçtır?
\[ \sin(x) = \frac{3}{5} \]
olduğuna göre, \(\tan(x) + \cot(x)\) toplamının değeri kaçtır?
Çözüm:
Verilen sinüs değerini kullanarak diğer trigonometrik oranları hesaplayalım:
- 1. Adım: Bir dik üçgen çizelim ve bir dar açısına \(x\) diyelim.
\(\sin(x) = \frac{3}{5}\) olduğuna göre karşı dik kenara \(3\), hipotenüse \(5\) yazalım. 📐 - 2. Adım: Pisagor teoreminden komşu dik kenarı bulalım:
\[ \text{Komşu}^2 + 3^2 = 5^2 \] \[ \text{Komşu}^2 + 9 = 25 \implies \text{Komşu}^2 = 16 \implies \text{Komşu} = 4 \]
Bu üçgen meşhur 3-4-5 dik üçgenidir. - 3. Adım: Şimdi \(\tan(x)\) ve \(\cot(x)\) değerlerini yazalım:
\[ \tan(x) = \frac{\text{Karşı}}{\text{Komşu}} = \frac{3}{4} \] \[ \cot(x) = \frac{\text{Komşu}}{\text{Karşı}} = \frac{4}{3} \] - 4. Adım: Bu iki değeri toplayalım (paydaları eşitleyerek):
\[ \tan(x) + \cot(x) = \frac{3}{4} + \frac{4}{3} = \frac{9}{12} + \frac{16}{12} = \frac{25}{12} \]
Örnek 4:
Aşağıda verilen trigonometrik ifadenin en sade halini bulunuz:
\[ \frac{\sin^2(x) - 1}{\cos^2(x)} \]
\[ \frac{\sin^2(x) - 1}{\cos^2(x)} \]
Çözüm:
Trigonometrideki en temel özdeşliği kullanarak bu soruyu kolayca çözebiliriz:
- 1. Adım: Temel trigonometrik özdeşliğimizi hatırlayalım:
\[ \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \] 💡 - 2. Adım: Bu özdeşlikte \(\sin^2(x)\) ifadesini yalnız bırakırsak:
\[ \sin^2(x) - 1 = -\cos^2(x) \] elde ederiz. - 3. Adım: Bulduğumuz bu değeri soruda verilen kesrin pay kısmına yazalım:
\[ \frac{\sin^2(x) - 1}{\cos^2(x)} = \frac{-\cos^2(x)}{\cos^2(x)} \] - 4. Adım: Pay ve paydadaki ifadeler birbirini sadeleştirir:
\[ \frac{-\cos^2(x)}{\cos^2(x)} = -1 \]
Örnek 5:
Bir \(x\) dar açısı için,
\[ \frac{2\sin(x) + 3\cos(x)}{4\sin(x) - \cos(x)} = \frac{3}{2} \]
olduğuna göre, \(\tan(x)\) değeri kaçtır?
\[ \frac{2\sin(x) + 3\cos(x)}{4\sin(x) - \cos(x)} = \frac{3}{2} \]
olduğuna göre, \(\tan(x)\) değeri kaçtır?
Çözüm:
İçler dışlar çarpımı yaparak sinüs ve kosinüs terimlerini bir araya getirelim:
- 1. Adım: Verilen eşitlikte içler dışlar çarpımı yapalım:
\[ 2 \cdot (2\sin(x) + 3\cos(x)) = 3 \cdot (4\sin(x) - \cos(x)) \] \[ 4\sin(x) + 6\cos(x) = 12\sin(x) - 3\cos(x) \] - 2. Adım: Benzer terimleri eşitliğin farklı taraflarında toplayalım:
\[ 6\cos(x) + 3\cos(x) = 12\sin(x) - 4\sin(x) \] \[ 9\cos(x) = 8\sin(x) \] - 3. Adım: Bizden \(\tan(x)\) istenmektedir. \(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\) olduğunu biliyoruz.
Eşitliğin her iki tarafını \(\cos(x)\) ve \(8\) ile bölersek:
\[ \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \frac{9}{8} \] \[ \tan(x) = \frac{9}{8} \] elde edilir.
Örnek 6:
Bir ABCD dik yamuğunda, \(AD\) kenarı \(AB\) tabanına diktir.
\(|AD| = 8\) birim, \(|DC| = 5\) birim ve \(|AB| = 11\) birimdir.
Buna göre, \(B\) açısının kosinüs değeri (\(\cos(B)\)) kaçtır?
\(|AD| = 8\) birim, \(|DC| = 5\) birim ve \(|AB| = 11\) birimdir.
Buna göre, \(B\) açısının kosinüs değeri (\(\cos(B)\)) kaçtır?
Çözüm:
Geometrik şekli zihnimizde canlandırarak dik üçgen oluşturalım:
- 1. Adım: C köşesinden alt taban olan \(AB\) üzerine bir dikme indirelim. Bu dikmenin ayağına \(H\) noktası diyelim. 📐
- 2. Adım: Oluşan AHCD dikdörtgeninden dolayı:
\[ |AH| = |DC| = 5 \text{ birim} \] \[ |CH| = |AD| = 8 \text{ birim} \] olur. - 3. Adım: \(|AB| = 11\) birim olduğuna göre, \(HB\) uzunluğunu bulalım:
\[ |HB| = |AB| - |AH| = 11 - 5 = 6 \text{ birim} \] - 4. Adım: Şimdi CHB dik üçgenine bakalım. Bu üçgende dik kenarlar \(|CH| = 8\) birim ve \(|HB| = 6\) birimdir.
Pisagor teoreminden hipotenüs \(|BC|\):
\[ |BC| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ birim} \] (6-8-10 özel üçgeni) - 5. Adım: CHB dik üçgeninde \(B\) açısının kosinüs değerini bulalım:
\[ \cos(B) = \frac{\text{Komşu dik kenar}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{|HB|}{|BC|} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \]
Örnek 7:
Güneşli bir günde, boyu \(1.8\) metre olan bir gencin yerde oluşan gölgesinin boyu \(2.4\) metredir.
Buna göre, güneş ışınlarının yerle yaptığı açının tanjant değeri kaçtır?
Buna göre, güneş ışınlarının yerle yaptığı açının tanjant değeri kaçtır?
Çözüm:
Günlük hayattaki bu durumu bir dik üçgen modeliyle açıklayalım:
- 1. Adım: Gencin boyu dik üçgenin dikey kenarıdır:
\[ \text{Dikey kenar} = 1.8 \text{ metre} \] - 2. Adım: Yerdeki gölge uzunluğu dik üçgenin yatay kenarıdır:
\[ \text{Yatay kenar} = 2.4 \text{ metre} \] ☀️ - 3. Adım: Güneş ışınlarının yerle yaptığı açıya \(\alpha\) dersek, bu açının karşısındaki kenar gencin boyu, komşusundaki kenar ise gölgenin boyudur.
- 4. Adım: Tanjant tanımını uygulayalım:
\[ \tan(\alpha) = \frac{\text{Karşı dik kenar}}{\text{Komşu dik kenar}} \] \[ \tan(\alpha) = \frac{1.8}{2.4} \] - 5. Adım: Kesri sadeleştirmek için her iki sayıyı da \(10\) ile genişletip ardından \(6\) ile sadeleştirelim:
\[ \tan(\alpha) = \frac{18}{24} = \frac{3}{4} \]
Örnek 8:
Bir engelli rampasının güvenli olabilmesi için eğim açısının tanjant değerinin en fazla \(0.15\) olması gerekmektedir.
Yüksekliği \(60\) cm olan bir platforma yapılacak rampanın yatay uzunluğu en az kaç metre olmalıdır?
Yüksekliği \(60\) cm olan bir platforma yapılacak rampanın yatay uzunluğu en az kaç metre olmalıdır?
Çözüm:
Yeni nesil eğim sorusunu trigonometrik oranları kullanarak çözelim:
- 1. Adım: Rampanın eğimi, rampanın yerle yaptığı açının tanjant değerine eşittir.
Açıya \(\theta\) dersek:
\[ \tan(\theta) = \frac{\text{Karşı dik kenar (Yükseklik)}}{\text{Komşu dik kenar (Yatay uzunluk)}} \] ♿ - 2. Adım: Soruda verilen değerleri yerleştirelim.
Yükseklik = \(60\) cm = \(0.6\) metre.
Yatay uzunluğa \(x\) metre diyelim. - 3. Adım: Güvenli geçiş için maksimum tanjant değeri \(0.15\) olmalıdır. Sınır durumu hesaplayalım:
\[ \tan(\theta) \le 0.15 \] \[ \frac{0.6}{x} \le 0.15 \] - 4. Adım: Eşitsizliği çözelim:
\[ 0.6 \le 0.15 \cdot x \] \[ x \ge \frac{0.6}{0.15} \] \[ x \ge 4 \] - 5. Adım: Rampanın yatay uzunluğu en az \(4\) metre olmalıdır.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-sinus-kosinus-tanjant-kotanjant/sorular