✅ 10. Sınıf Matematik: Sayısal algoritmalar Test Çöz

Aşağıdaki algoritmik adımları izleyerek 36 ve 48 sayılarının en büyük ortak bölenini (EBOB) bulunuz.
1. İki sayının da tüm pozitif bölenlerini listeleyin.
2. Listelenen bölenler arasından ortak olanları belirleyin.
3. Ortak bölenler arasından en büyüğünü seçin.

Bu adımlara göre EBOB$(36, 48)$ kaçtır?

Bir sayının başka bir sayıya bölümünden kalanı bulma işlemi, modüler aritmetiğin temelini oluşturur. Aşağıdaki algoritmik adımı kullanarak $73$ sayısının $5$ ile bölümünden kalanı bulunuz.

Algoritma:
1. Bölünen sayıyı (A) bölen sayıya (B) tam bölünecek şekilde en büyük katını (B*k) bulun.
2. Bölünen sayıdan bu katı çıkarın. Kalan, işlemin sonucudur.

Buna göre, $73 \equiv x \pmod{5}$ denkliğinde $x$ değeri kaçtır?

Bir sayı dizisi, her terimin bir önceki terimin 2 katının 3 fazlası olarak tanımlanmıştır. Dizinin ilk terimi $a_1 = 4$ olarak verilmiştir.
Bu algoritmik kurala göre dizinin ikinci terimi $a_2$ kaçtır?

Aşağıda bir sayıyı işleyen basit bir algoritma verilmiştir:
1. Bir $N$ sayısı al.
2. $N$ sayısının basamaklarını topla.
3. Eğer basamaklar toplamı tek ise, bu toplama $1$ ekle; eğer çift ise, bu toplamdan $1$ çıkar.
4. Elde edilen son sayıyı çıktı olarak ver.

Buna göre, $N = 27$ sayısı için bu algoritmanın çıktısı kaç olur?

Öklid algoritması, iki pozitif tam sayının en büyük ortak bölenini (EBOB) bulmak için kullanılan verimli bir yöntemdir. Algoritma şu adımları takip eder:
1. Büyük sayıyı küçük sayıya bölerek kalanı bulun.
2. Eğer kalan $0$ ise, küçük sayı EBOB'dur.
3. Eğer kalan $0$ değilse, küçük sayıyı yeni büyük sayı, kalanı ise yeni küçük sayı olarak belirleyin ve 1. adıma geri dönün.

Buna göre, $105$ ve $45$ sayılarının EBOB'unu Öklid algoritması ile bulunuz.

İki pozitif tam sayının EBOB'u ile EKOK'unun çarpımı, bu iki sayının çarpımına eşittir. Bu ilişki, sayısal algoritmaların temel özelliklerinden biridir.
Eğer iki farklı pozitif tam sayı olan $x$ ve $y$ için EBOB$(x, y) = 6$ ve $x \times y = 216$ olarak verilmişse, bu algoritmik ilişkiyi kullanarak EKOK$(x, y)$ değerini bulunuz.

Modüler aritmetik, sayıların belirli bir sayıya (modül) bölümünden kalanlarını inceler. Bu, şifreleme algoritmalarından takvim hesaplamalarına kadar birçok alanda kullanılır.
Buna göre, $3^{20}$ sayısının $7$ ile bölümünden kalanı (yani $3^{20} \pmod{7}$ işleminin sonucunu) bulunuz.

Aşağıdaki algoritma, üç basamaklı bir sayı üzerinde işlem yaparak yeni bir sayı üretmektedir:
1. Üç basamaklı bir $N$ sayısı al.
2. $N$ sayısının basamaklarını ters çevirerek (birler basamağını yüzler basamağı, onlar basamağını onlar basamağı, yüzler basamağını birler basamağı yaparak) yeni bir $M$ sayısı oluştur.
3. $N$ ve $M$ sayılarının farkının mutlak değerini hesapla. Bu değeri çıktı olarak ver.

Örneğin, $N = 123$ için $M = 321$ ve çıktı $|123 - 321| = |-198| = 198$ olur.
Buna göre, $N = 412$ sayısı için bu algoritmanın çıktısı kaç olur?

Bir sayı dizisi, $a_1 = 3$ olmak üzere, her $n \ge 2$ için $a_n = a_{n-1} + n$ kuralıyla tanımlanmıştır. Bu kural, dizinin terimlerini algoritmik bir yaklaşımla hesaplamamızı sağlar.
Buna göre, dizinin dördüncü terimi $a_4$ kaçtır?

Bir sayısal algoritma, bir $x$ tam sayısının belirli özelliklerini kontrol etmektedir. Algoritma, $x$ sayısının $5$ ile bölümünden kalanın $3$ ve $3$ ile bölümünden kalanın $2$ olduğunu tespit etmiştir.
Bu koşulları sağlayan en küçük pozitif tam sayı $x$ kaçtır?

Aşağıdaki algoritma, pozitif bir tam sayı üzerinde işlem yaparak bir çıktı üretir:
1. Bir $N$ sayısı al.
2. $N$ sayısının basamakları toplamını hesapla.
3. Eğer basamaklar toplamı $9$'un bir katı ise, $N$ sayısını $9$'a böl ve sonucu çıktı olarak ver.
4. Eğer basamaklar toplamı $9$'un bir katı değilse, basamaklar toplamını çıktı olarak ver.

Buna göre, $N = 123$ ve $N = 189$ sayıları için bu algoritmanın ürettiği çıktıların toplamı kaçtır?

İki basamaklı $A$ ve $B$ pozitif tam sayılarının en büyük ortak böleni (EBOB) $12$ olarak belirlenmiştir. Bu bilgi, sayısal algoritmalarla sayıların özelliklerini analiz etme yeteneğini gerektirir.
Buna göre, $A+B$ toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Aşağıda verilen algoritmik yapı, belirli bir matematiksel serinin toplamını hesaplamaktadır:
1. Başlangıçta $S = 0$ ve $i = 1$ değerlerini ata.
2. Eğer $i \le 10$ ise, 3. adıma geç; aksi takdirde 6. adıma geç.
3. $S$ değerini $S + i^2$ olarak güncelle.
4. $i$ değerini $i + 1$ olarak güncelle.
5. 2. adıma geri dön.
6. $S$ değerini çıktı olarak ver.

Bu algoritmanın çıktısı kaç olur?

Aşağıda, bir tam sayı üzerinde işlem yapan ve farklı koşullara göre farklı çıktılar üreten bir algoritma verilmiştir:
1. Bir $N$ tam sayısı al.
2. Eğer $N$ asal sayı ise, $N+1$ değerini çıktı olarak ver.
3. Eğer $N$ asal sayı değil ve çift sayı ise, $N/2$ değerini çıktı olarak ver.
4. Eğer $N$ asal sayı değil ve tek sayı ise, $N-1$ değerini çıktı olarak ver.

Bu algoritmaya sırasıyla $N=23$, $N=30$ ve $N=25$ sayıları verildiğinde elde edilen çıktıların toplamı kaçtır?