💡 10. Sınıf Matematik: Rasyonel fonksiyonlar ve grafik çizimi Çözümlü Örnekler

Bu fonksiyonun grafiğini çizmek için şu adımları izleyebiliriz:

• Tanım Kümesi: Paydayı sıfır yapan değerler (bu durumda \( x=0 \)) tanım kümesinden çıkarılır. Yani, tanım kümesi \( \mathbb{R} \setminus \{0\} \)'dır.
• Asimptotlar:
  • Dikey Asimptot: Paydayı sıfır yapan \( x=0 \) doğrusu dikey asimptottur.
  • Yatay Asimptot: Payın derecesi paydanın derecesinden küçük olduğu için \( y=0 \) (x-ekseni) yatay asimptottur.
• Grafik Üzerindeki Noktalar: Fonksiyonun bazı değerlerini hesaplayalım:
  • \( x=1 \) için \( f(1) = \frac{1}{1} = 1 \) (Nokta: (1, 1))
  • \( x=2 \) için \( f(2) = \frac{1}{2} \) (Nokta: (2, 1/2))
  • \( x=-1 \) için \( f(-1) = \frac{1}{-1} = -1 \) (Nokta: (-1, -1))
  • \( x=-2 \) için \( f(-2) = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2} \) (Nokta: (-2, -1/2))
• Grafik Çizimi: Bu noktaları ve asimptotları kullanarak grafiği çizeriz. Grafik, birinci ve üçüncü bölgelerde x-eksenine ve y-eksenine yaklaşan iki koldan oluşur. ✅

📌 İpucu: Rasyonel fonksiyonların grafikleri genellikle hiperbol şeklindedir.

Fonksiyonun grafiğini çizmek için şu adımları takip edelim:

• Tanım Kümesi: Payda \( x+2 \neq 0 \) olmalıdır. Bu nedenle \( x \neq -2 \). Tanım kümesi \( \mathbb{R} \setminus \{-2\} \)'dir.
• Asimptotlar:
  • Dikey Asimptot: Paydayı sıfır yapan değer \( x = -2 \) dikey asimptottur.
  • Yatay Asimptot: Payın derecesi (1) ile paydanın derecesi (1) eşit olduğu için, yatay asimptot katsayıların oranından bulunur: \( y = \frac{1}{1} = 1 \).
• Grafik Üzerindeki Noktalar:
  • x-eksenini kestiği nokta (f(x)=0): \( x-1 = 0 \implies x=1 \). Nokta: (1, 0).
  • y-eksenini kestiği nokta (x=0): \( g(0) = \frac{0-1}{0+2} = -\frac{1}{2} \). Nokta: (0, -1/2).
  • Bazı ek noktalar:
    • \( x=3 \) için \( g(3) = \frac{3-1}{3+2} = \frac{2}{5} \) (Nokta: (3, 2/5))
    • \( x=-3 \) için \( g(-3) = \frac{-3-1}{-3+2} = \frac{-4}{-1} = 4 \) (Nokta: (-3, 4))
• Grafik Çizimi: Bulduğumuz noktaları ve asimptotları kullanarak grafiği çizeriz. Grafik, \( x=-2 \) ve \( y=1 \) doğrularına yaklaşan iki koldan oluşur. 👉

Bu problemi rasyonel fonksiyonlar kullanarak çözebiliriz:

• Başlangıç Kenar Uzunluğu ( \( t=0 \) ): Formülde \( t=0 \) yerine koyalım: \( L(0) = \frac{3(0)+6}{0+1} = \frac{6}{1} = 6 \) piksel. Logonun başlangıçtaki kenar uzunluğu 6 pikseldir. 💡
• Uzun Süre Sonra Kenar Uzunluğu ( \( t \to \infty \) ): Bu durum, fonksiyonun limitini bulmak anlamına gelir. Payın ve paydanın dereceleri eşit olduğu için, limit katsayıların oranına eşittir: \( \lim_{t \to \infty} L(t) = \lim_{t \to \infty} \frac{3t+6}{t+1} = \frac{3}{1} = 3 \) piksel. Tasarımcı uzun süre çalıştığında, logonun kenar uzunluğu 3 piksele yaklaşır. Bu, fonksiyonun yatay asimptotudur. ✅

📌 Bu, gerçek hayatta bir nesnenin büyüme veya küçülme eğilimini gösteren rasyonel fonksiyonlara güzel bir örnektir.

Bu fonksiyonu adım adım inceleyelim:

• Sadelestirme: Pay kısmını çarpanlarına ayırabiliriz: \( 2x^2 - 2 = 2(x^2 - 1) = 2(x-1)(x+1) \). Şimdi fonksiyonu yeniden yazalım: \( h(x) = \frac{2(x-1)(x+1)}{x-1} \)
• Tanım Kümesi: Payda \( x-1 \neq 0 \) olmalıdır, yani \( x \neq 1 \).
• Sadelestirme Sonrası Fonksiyon: Eğer \( x \neq 1 \) ise, \( x-1 \) terimini sadeleştirebiliriz: \( h(x) = 2(x+1) = 2x + 2 \) ( \( x \neq 1 \) için).
• Grafik Yorumu: Sadeleşmiş hali \( y = 2x + 2 \) doğrusudur. Ancak, \( x=1 \) değeri tanım kümesinde olmadığı için, bu noktada bir "delik" (kesiklik) olacaktır. \( x=1 \) için \( y = 2(1) + 2 = 4 \). Yani, grafik \( (1, 4) \) noktasında boşluklu bir doğrudur.

📌 Önemli Not: Bir rasyonel fonksiyon sadeleştirilebilir olduğunda, sadeleşmiş hali ile orijinal fonksiyonun grafiği, sadeleşen terimin kök olduğu noktalarda farklılık gösterir (oralarda delik veya düşey asimptot oluşur).

Bu rasyonel fonksiyonun özelliklerini ve limitini inceleyerek makinenin verimliliğini anlayalım:

• Başlangıç Verimliliği ( \( t=0 \) ): Fonksiyonda \( t=0 \) yerine koyalım: \( V(0) = \frac{5(0)}{0^2 + 4} = \frac{0}{4} = 0 \). Makine çalışmaya başladığında verimliliği sıfırdır. 💡
• Zaman Sonsuza Giderken Verimlilik ( \( t \to \infty \) ): Bu, fonksiyonun limitini bulmak anlamına gelir. Payın derecesi (1), paydanın derecesinden (2) küçük olduğu için, limit sıfıra eşittir: \( \lim_{t \to \infty} V(t) = \lim_{t \to \infty} \frac{5t}{t^2 + 4} = 0 \). Zaman sonsuza giderken makinenin verimliliği sıfıra yaklaşır. Bu, fonksiyonun yatay asimptotudur. ✅
• Grafik Yorumu: Bu fonksiyonun grafiği, \( t=0 \) noktasında başlayıp, \( t \) arttıkça önce yükselip sonra tekrar sıfıra yaklaşan bir eğri şeklinde olacaktır. Bu, makinenin belirli bir süre en yüksek verimliliğe ulaşıp sonra zamanla verimliliğinin azaldığını gösterir.

📌 Düşey Asimptot Yoktur: Payda \( t^2 + 4 \), \( t \) reel sayı olduğu sürece hiçbir zaman sıfır olmaz. Bu yüzden düşey asimptot bulunmamaktadır.

Bu günlük hayat örneğini rasyonel fonksiyonlar ile analiz edelim:

• Başlangıç Konsantrasyonu ( \( t=0 \) ): Formülde \( t=0 \) yerine koyalım: \( C(0) = \frac{0}{0+10} = \frac{0}{10} = 0 \). Reaksiyon başladığında ürünün konsantrasyonu 0'dır. 💡
• Çok Uzun Süre Sonra Konsantrasyon ( \( t \to \infty \) ): Fonksiyonun limitini bulalım: \( \lim_{t \to \infty} C(t) = \lim_{t \to \infty} \frac{t}{t+10} \). Payın derecesi (1) ile paydanın derecesi (1) eşit olduğundan, limit katsayıların oranına eşittir: \( \frac{1}{1} = 1 \). Çok uzun süre sonra ürün konsantrasyonu 1'e yaklaşır. Bu, fonksiyonun yatay asimptotudur. ✅

📌 Anlamı: Bu, reaksiyonun zamanla doygunluğa ulaştığını ve ürün konsantrasyonunun belirli bir maksimum değere (bu durumda 1 birim) yaklaştığını gösterir.

Bu finansal problemi rasyonel fonksiyonlar ile çözelim:

• Ürün Üretilmezse Kar ( \( x=0 \) ): Fonksiyonda \( x=0 \) yerine koyalım: \( K(0) = \frac{500(0) - 1000}{0+2} = \frac{-1000}{2} = -500 \). Şirket hiç ürün üretmezse 500 bin TL zarar eder. 📉
• Çok Fazla Ürün Üretilirse Kar ( \( x \to \infty \) ): Limitini hesaplayalım: \( \lim_{x \to \infty} K(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{500x - 1000}{x+2} \). Payın derecesi (1) ile paydanın derecesi (1) eşit olduğundan, limit katsayıların oranına eşittir: \( \frac{500}{1} = 500 \). Şirket çok fazla ürün üretirse, karı 500 bin TL'ye yaklaşır. Bu, fonksiyonun yatay asimptotudur. 💰

📌 Grafik Yorumu: Bu fonksiyonun grafiği, \( x=0 \) noktasında negatif bir değerden başlayıp, \( x \) arttıkça yükselerek belirli bir değere (500) asimptotik olarak yaklaşan bir eğri olacaktır.

Bu fiziksel problemi rasyonel fonksiyonlar ile analiz edelim:

• Başlangıç Hızı ( \( t=0 \) ): Formülde \( t=0 \) yerine koyalım: \( v(0) = \frac{0^2 + 1}{0+1} = \frac{1}{1} = 1 \). Parçacığın başlangıçtaki hızı 1 m/s'dir. 🚀
• Çok Uzun Süre Sonra Hız ( \( t \to \infty \) ): Bu durumda, payın derecesi (2) paydanın derecesinden (1) daha büyüktür. Bu tür durumlarda fonksiyon sonsuza ıraksar. \( \lim_{t \to \infty} v(t) = \lim_{t \to \infty} \frac{t^2 + 1}{t+1} \). Bu limit sonsuzdur: \( \lim_{t \to \infty} \frac{t^2 + 1}{t+1} = \infty \).
• Eğik Asimptot: Payın derecesi paydanın derecesinden bir fazla olduğunda, fonksiyon bir eğik (veya oblik) asimptota yaklaşır. Bunu bulmak için polinom bölmesi yapabiliriz: \( \frac{t^2 + 1}{t+1} = t - 1 + \frac{2}{t+1} \) Bu durumda, \( t \to \infty \) iken \( \frac{2}{t+1} \to 0 \) olur. Fonksiyon \( y = t-1 \) doğrusuna yaklaşır. Yani, çok uzun süre sonra parçacığın hızı, \( y = t-1 \) doğrusuna yaklaşarak sonsuza doğru artacaktır. 📈

📌 Sonuç: Parçacığın hızı başlangıçta 1 m/s iken, zamanla doğrusal olarak artan bir eğilim gösterecektir.