💡 10. Sınıf Matematik: Rasyonel fonksiyon, ters fonksiyon, karekök fonksiyon, orta nokta, iki uzunluk arasındaki uzaklık Çözümlü Örnekler
1
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Rasyonel Fonksiyonlarda Tanım Kümesi
Aşağıda verilen \( f(x) \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz:
\[ f(x) = \frac{2x + 10}{x - 4} \]
Çözüm ve Açıklama
Rasyonel fonksiyonlarda paydayı sıfır yapan değerler fonksiyonu tanımsız kılar. Bu yüzden tanım kümesini bulurken paydayı sıfıra eşitleyen \( x \) değerini reel sayılardan çıkarmalıyız.
Adım 1: Paydayı sıfıra eşitleyelim: \( x - 4 = 0 \)
Adım 2: Buradan \( x = 4 \) bulunur.
Adım 3: Fonksiyon \( x = 4 \) değeri için tanımsızdır.
✅ Sonuç: Fonksiyonun en geniş tanım kümesi \( R - \{4\} \) olarak ifade edilir.
2
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Doğrusal Fonksiyonun Tersi
Uygun koşullarda tanımlı \( f(x) = 3x - 12 \) fonksiyonu veriliyor. Buna göre, bu fonksiyonun tersi olan \( f^{-1}(x) \) fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm ve Açıklama
Bir fonksiyonun tersini bulmak için temel kural \( x \) değişkenini yalnız bırakmaktır.
Adım 1: Fonksiyonu \( y \) değişkenine eşitleyelim: \( y = 3x - 12 \)
Adım 2: \( -12 \) ifadesini karşıya atalım: \( y + 12 = 3x \)
Adım 3: Her iki tarafı \( 3 \) ile bölelim: \( x = \frac{y + 12}{3} \)
Adım 4: Son olarak \( x \) ile \( y \) yerlerini değiştirelim.
💡 Kısa Yol: \( f(x) = ax + b \) ise \( f^{-1}(x) = \frac{x - b}{a} \) kuralından:
\[ f^{-1}(x) = \frac{x + 12}{3} \]
3
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Rasyonel Fonksiyonun Tersi
Aşağıda verilen rasyonel fonksiyonun tersini bulunuz:
\[ f(x) = \frac{2x + 5}{x - 3} \]
Çözüm ve Açıklama
Rasyonel fonksiyonlarda ters alma işlemi için pratik bir kuralımız vardır. \( f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} \) formundaki fonksiyonlarda, paydaki \( x \)'in katsayısı (\( a \)) ile paydadaki sabit sayı (\( d \)) hem yer hem işaret değiştirir.
Adım 1: Fonksiyondaki değerleri belirleyelim: \( a = 2, b = 5, c = 1, d = -3 \).
Adım 2: \( a = 2 \) ve \( d = -3 \) sayılarını yer ve işaret değiştirerek taşıyalim.
Adım 3: \( -3 \) yukarıya \( +3 \) olarak, \( +2 \) aşağıya \( -2 \) olarak geçer.
✅ Sonuç:
\[ f^{-1}(x) = \frac{3x + 5}{x - 2} \]
4
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Karekök Fonksiyonu Tanım Kümesi
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı \( f(x) = \sqrt{x - 7} \) fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için \( x \) hangi değerleri almalıdır?
Çözüm ve Açıklama
Derecesi çift olan köklü ifadelerin (karekök gibi) tanımlı olabilmesi için kök içerisindeki ifadenin sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olması gerekir.
Adım 1: Kök içindeki ifadeyi belirleyelim: \( x - 7 \).
Adım 2: Eşitsizliği kuralım: \( x - 7 \geq 0 \).
Adım 3: \( -7 \) sayısını karşıya atalım: \( x \geq 7 \).
📌 Önemli Bilgi: Eğer kök içi negatif olursa, sonuç bir reel sayı belirtmez.
✅ Sonuç: Tanım kümesi \( [7, \infty) \) aralığıdır.
5
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Analitik Düzlemde Orta Nokta Bulma
Analitik düzlemde \( A(2, 6) \) ve \( B(8, 10) \) noktaları veriliyor. Bu iki noktayı birleştiren doğru parçasının orta noktasının koordinatlarını bulunuz.
Çözüm ve Açıklama
İki noktanın orta noktası, bu noktaların apsislerinin (x) ve ordinatlarının (y) aritmetik ortalaması alınarak bulunur.
Adım 1: Apsislerin ortalamasını bulalım: \( x = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5 \)
Adım 2: Ordinatların ortalamasını bulalım: \( y = \frac{6 + 10}{2} = \frac{16}{2} = 8 \)
📍 Orta Nokta Formülü: \( M = (\frac{x1 + x2}{2}, \frac{y1 + y2}{2}) \)
✅ Sonuç: Orta noktanın koordinatları \( (5, 8) \) noktasıdır.
6
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
İki Nokta Arasındaki Uzaklık
Analitik düzlemde \( A(1, 2) \) ve \( B(4, 6) \) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?
Çözüm ve Açıklama
İki nokta arasındaki uzaklık formülü, Pisagor teoreminden türetilmiştir.
Adım 1: Formülü hatırlayalım: \( d = \sqrt{(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2} \)
Adım 2: Değerleri yerine yazalım: \( x1 = 1, y1 = 2, x2 = 4, y2 = 6 \)
Adım 3: İşlemleri yapalım:
\( x2 - x1 = 4 - 1 = 3 \)
\( y2 - y1 = 6 - 2 = 4 \)
Adım 4: Karelerini alıp toplayalım: \( d = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} \)
✅ Sonuç: İki nokta arasındaki uzaklık \( 5 \) birimdir.
7
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Fonksiyonların Günlük Hayat Uygulaması
Bir taksi durağında açılış ücreti 20 TL ve gidilen her kilometre başına 10 TL alınmaktadır. Gidilen yolu \( x \) (km) ve ödenecek toplam ücreti \( f(x) \) (TL) olarak gösteren fonksiyonu yazınız ve bu fonksiyonun tersini bularak tersinin neyi ifade ettiğini açıklayınız.
Çözüm ve Açıklama
Günlük hayattaki doğrusal ilişkiler fonksiyonlarla modellenebilir.
Adım 1: Fonksiyonu kuralım. Sabit ücret 20, değişken ücret \( 10x \).
\[ f(x) = 10x + 20 \]
Adım 2: Fonksiyonun tersini bulalım.
\( y = 10x + 20 \)
\( y - 20 = 10x \)
\( x = \frac{y - 20}{10} \)
\[ f^{-1}(x) = \frac{x - 20}{10} \]
Adım 3: Yorumlama: \( f(x) \) fonksiyonu yola bağlı ücreti hesaplarken, \( f^{-1}(x) \) fonksiyonu ödenen ücrete göre kaç kilometre gidildiğini hesaplar.
👉 Örnek: 120 TL ödeyen biri \( f^{-1}(120) = \frac{120 - 20}{10} = 10 \) km gitmiştir.
8
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Fonksiyon Makinesi ve Ters İşlem
Bir matematik yazılımı, içine girilen bir \( x \) sayısına şu işlemleri sırasıyla uyguluyor:
1. Sayının 2 katını alıyor.
2. Sonuca 6 ekliyor.
3. Elde edilen sonucu 4'e bölüyor.
Bu yazılımdan çıktı olarak 5 alan bir öğrenci, yazılıma hangi sayıyı girmiştir?
Çözüm ve Açıklama
Bu soruyu çözmek için ya fonksiyonu kurup tersini almalıyız ya da işlemlerin tersini sondan başa doğru uygulamalıyız.
Yöntem 1: Fonksiyon Kurma
Fonksiyon: \( f(x) = \frac{2x + 6}{4} \)
Çıktı 5 ise: \( \frac{2x + 6}{4} = 5 \)
\( 2x + 6 = 20 \)
\( 2x = 14 \)
\( x = 7 \)
Yöntem 2: Ters İşlem (Sondan Başa)
Sonuç 5 ise, 4'e bölünmeden önce: \( 5 \times 4 = 20 \)
6 eklenmeden önce: \( 20 - 6 = 14 \)
2 katı alınmadan önce: \( 14 \div 2 = 7 \)
✅ Sonuç: Yazılıma girilen ilk sayı \( 7 \)'dir.
10. Sınıf Matematik: Rasyonel fonksiyon, ters fonksiyon, karekök fonksiyon, orta nokta, iki uzunluk arasındaki uzaklık Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Rasyonel Fonksiyonlarda Tanım Kümesi
Aşağıda verilen \( f(x) \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz:
\[ f(x) = \frac{2x + 10}{x - 4} \]
Çözüm:
Rasyonel fonksiyonlarda paydayı sıfır yapan değerler fonksiyonu tanımsız kılar. Bu yüzden tanım kümesini bulurken paydayı sıfıra eşitleyen \( x \) değerini reel sayılardan çıkarmalıyız.
Adım 1: Paydayı sıfıra eşitleyelim: \( x - 4 = 0 \)
Adım 2: Buradan \( x = 4 \) bulunur.
Adım 3: Fonksiyon \( x = 4 \) değeri için tanımsızdır.
✅ Sonuç: Fonksiyonun en geniş tanım kümesi \( R - \{4\} \) olarak ifade edilir.
Örnek 2:
Doğrusal Fonksiyonun Tersi
Uygun koşullarda tanımlı \( f(x) = 3x - 12 \) fonksiyonu veriliyor. Buna göre, bu fonksiyonun tersi olan \( f^{-1}(x) \) fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm:
Bir fonksiyonun tersini bulmak için temel kural \( x \) değişkenini yalnız bırakmaktır.
Adım 1: Fonksiyonu \( y \) değişkenine eşitleyelim: \( y = 3x - 12 \)
Adım 2: \( -12 \) ifadesini karşıya atalım: \( y + 12 = 3x \)
Adım 3: Her iki tarafı \( 3 \) ile bölelim: \( x = \frac{y + 12}{3} \)
Adım 4: Son olarak \( x \) ile \( y \) yerlerini değiştirelim.
💡 Kısa Yol: \( f(x) = ax + b \) ise \( f^{-1}(x) = \frac{x - b}{a} \) kuralından:
\[ f^{-1}(x) = \frac{x + 12}{3} \]
Örnek 3:
Rasyonel Fonksiyonun Tersi
Aşağıda verilen rasyonel fonksiyonun tersini bulunuz:
\[ f(x) = \frac{2x + 5}{x - 3} \]
Çözüm:
Rasyonel fonksiyonlarda ters alma işlemi için pratik bir kuralımız vardır. \( f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} \) formundaki fonksiyonlarda, paydaki \( x \)'in katsayısı (\( a \)) ile paydadaki sabit sayı (\( d \)) hem yer hem işaret değiştirir.
Adım 1: Fonksiyondaki değerleri belirleyelim: \( a = 2, b = 5, c = 1, d = -3 \).
Adım 2: \( a = 2 \) ve \( d = -3 \) sayılarını yer ve işaret değiştirerek taşıyalim.
Adım 3: \( -3 \) yukarıya \( +3 \) olarak, \( +2 \) aşağıya \( -2 \) olarak geçer.
✅ Sonuç:
\[ f^{-1}(x) = \frac{3x + 5}{x - 2} \]
Örnek 4:
Karekök Fonksiyonu Tanım Kümesi
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı \( f(x) = \sqrt{x - 7} \) fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için \( x \) hangi değerleri almalıdır?
Çözüm:
Derecesi çift olan köklü ifadelerin (karekök gibi) tanımlı olabilmesi için kök içerisindeki ifadenin sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olması gerekir.
Adım 1: Kök içindeki ifadeyi belirleyelim: \( x - 7 \).
Adım 2: Eşitsizliği kuralım: \( x - 7 \geq 0 \).
Adım 3: \( -7 \) sayısını karşıya atalım: \( x \geq 7 \).
📌 Önemli Bilgi: Eğer kök içi negatif olursa, sonuç bir reel sayı belirtmez.
✅ Sonuç: Tanım kümesi \( [7, \infty) \) aralığıdır.
Örnek 5:
Analitik Düzlemde Orta Nokta Bulma
Analitik düzlemde \( A(2, 6) \) ve \( B(8, 10) \) noktaları veriliyor. Bu iki noktayı birleştiren doğru parçasının orta noktasının koordinatlarını bulunuz.
Çözüm:
İki noktanın orta noktası, bu noktaların apsislerinin (x) ve ordinatlarının (y) aritmetik ortalaması alınarak bulunur.
Adım 1: Apsislerin ortalamasını bulalım: \( x = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5 \)
Adım 2: Ordinatların ortalamasını bulalım: \( y = \frac{6 + 10}{2} = \frac{16}{2} = 8 \)
📍 Orta Nokta Formülü: \( M = (\frac{x1 + x2}{2}, \frac{y1 + y2}{2}) \)
✅ Sonuç: Orta noktanın koordinatları \( (5, 8) \) noktasıdır.
Örnek 6:
İki Nokta Arasındaki Uzaklık
Analitik düzlemde \( A(1, 2) \) ve \( B(4, 6) \) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?
Çözüm:
İki nokta arasındaki uzaklık formülü, Pisagor teoreminden türetilmiştir.
Adım 1: Formülü hatırlayalım: \( d = \sqrt{(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2} \)
Adım 2: Değerleri yerine yazalım: \( x1 = 1, y1 = 2, x2 = 4, y2 = 6 \)
Adım 3: İşlemleri yapalım:
\( x2 - x1 = 4 - 1 = 3 \)
\( y2 - y1 = 6 - 2 = 4 \)
Adım 4: Karelerini alıp toplayalım: \( d = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} \)
✅ Sonuç: İki nokta arasındaki uzaklık \( 5 \) birimdir.
Örnek 7:
Fonksiyonların Günlük Hayat Uygulaması
Bir taksi durağında açılış ücreti 20 TL ve gidilen her kilometre başına 10 TL alınmaktadır. Gidilen yolu \( x \) (km) ve ödenecek toplam ücreti \( f(x) \) (TL) olarak gösteren fonksiyonu yazınız ve bu fonksiyonun tersini bularak tersinin neyi ifade ettiğini açıklayınız.
Çözüm:
Günlük hayattaki doğrusal ilişkiler fonksiyonlarla modellenebilir.
Adım 1: Fonksiyonu kuralım. Sabit ücret 20, değişken ücret \( 10x \).
\[ f(x) = 10x + 20 \]
Adım 2: Fonksiyonun tersini bulalım.
\( y = 10x + 20 \)
\( y - 20 = 10x \)
\( x = \frac{y - 20}{10} \)
\[ f^{-1}(x) = \frac{x - 20}{10} \]
Adım 3: Yorumlama: \( f(x) \) fonksiyonu yola bağlı ücreti hesaplarken, \( f^{-1}(x) \) fonksiyonu ödenen ücrete göre kaç kilometre gidildiğini hesaplar.
👉 Örnek: 120 TL ödeyen biri \( f^{-1}(120) = \frac{120 - 20}{10} = 10 \) km gitmiştir.
Örnek 8:
Fonksiyon Makinesi ve Ters İşlem
Bir matematik yazılımı, içine girilen bir \( x \) sayısına şu işlemleri sırasıyla uyguluyor:
1. Sayının 2 katını alıyor.
2. Sonuca 6 ekliyor.
3. Elde edilen sonucu 4'e bölüyor.
Bu yazılımdan çıktı olarak 5 alan bir öğrenci, yazılıma hangi sayıyı girmiştir?
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için ya fonksiyonu kurup tersini almalıyız ya da işlemlerin tersini sondan başa doğru uygulamalıyız.
Yöntem 1: Fonksiyon Kurma
Fonksiyon: \( f(x) = \frac{2x + 6}{4} \)
Çıktı 5 ise: \( \frac{2x + 6}{4} = 5 \)
\( 2x + 6 = 20 \)
\( 2x = 14 \)
\( x = 7 \)
Yöntem 2: Ters İşlem (Sondan Başa)
Sonuç 5 ise, 4'e bölünmeden önce: \( 5 \times 4 = 20 \)