🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Özel açılı üçgenler Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Özel açılı üçgenler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
💡 Örnek 1: Yamukta 30-60-90 Üçgeni Uygulaması
Bir \( ABCD \) dik yamuğunda, \( [AD] \perp [AB] \) ve \( [AB] \parallel [DC] \)'dir.
\( m(\widehat{BCD}) = 120^\circ \), \( |DC| = 6 \) cm ve \( |BC| = 8 \) cm olduğuna göre, yamuğun alt tabanı olan \( |AB| \) uzunluğu kaç cm'dir?
Bir \( ABCD \) dik yamuğunda, \( [AD] \perp [AB] \) ve \( [AB] \parallel [DC] \)'dir.
\( m(\widehat{BCD}) = 120^\circ \), \( |DC| = 6 \) cm ve \( |BC| = 8 \) cm olduğuna göre, yamuğun alt tabanı olan \( |AB| \) uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm:
✅ Çözüm Adımları:
- İlk olarak \( C \) köşesinden \( [AB] \) tabanına bir dikme indirelim ve dikme ayağına \( H \) diyelim. Bu durumda \( [CH] \perp [AB] \) olur.
- Oluşan \( AHCD \) bir dikdörtgen belirtir. Dolayısıyla karşı kenar uzunlukları eşit olacağından \( |AH| = |DC| = 6 \) cm olur.
- \( [AB] \parallel [DC] \) olduğundan, iç ters veya karşı durumlu açılardan \( m(\widehat{B}) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \) bulunur.
- \( CHB \) dik üçgeninde, \( m(\widehat{CHB}) = 90^\circ \) ve \( m(\widehat{B}) = 60^\circ \) olduğundan, \( m(\widehat{HCB}) = 30^\circ \) olur. Bu bir 30-60-90 özel üçgenidir.
- 30-60-90 üçgeni kuralına göre, \( 30^\circ \)'lik açının karşısındaki kenar, hipotenüsün yarısına eşittir:
\( |HB| = \frac{|BC|}{2} = \frac{8}{2} = 4 \) cm. - Son olarak alt taban uzunluğunu bulalım:
\( |AB| = |AH| + |HB| = 6 + 4 = 10 \) cm olarak elde edilir.
Örnek 2:
💡 Örnek 2: Paralelkenarda 45-45-90 Üçgeni ve Alan Hesabı
Bir \( ABCD \) paralelkenarında, \( A \) köşesinden \( [BC] \) kenarına indirilen dikme ayağı \( H \) noktasıdır.
\( [AH] \perp [BC] \), \( m(\widehat{B}) = 45^\circ \), \( |AH| = 6 \) cm ve \( |HC| = 4 \) cm olduğuna göre, \( ABCD \) paralelkenarının alanı kaç santimetrekaredir?
Bir \( ABCD \) paralelkenarında, \( A \) köşesinden \( [BC] \) kenarına indirilen dikme ayağı \( H \) noktasıdır.
\( [AH] \perp [BC] \), \( m(\widehat{B}) = 45^\circ \), \( |AH| = 6 \) cm ve \( |HC| = 4 \) cm olduğuna göre, \( ABCD \) paralelkenarının alanı kaç santimetrekaredir?
Çözüm:
✅ Çözüm Adımları:
- \( ABH \) dik üçgenini inceleyelim. \( m(\widehat{AHB}) = 90^\circ \) ve \( m(\widehat{B}) = 45^\circ \) olduğuna göre, bu üçgen bir 45-45-90 ikizkenar dik üçgenidir.
- İkizkenar dik üçgen özelliğinden dolayı dik kenar uzunlukları birbirine eşittir:
\( |BH| = |AH| = 6 \) cm olur. - Paralelkenarın \( [BC] \) tabanının toplam uzunluğunu bulalım:
\( |BC| = |BH| + |HC| = 6 + 4 = 10 \) cm. - Paralelkenarın alanı, bir taban uzunluğu ile o tabana ait yüksekliğin çarpımına eşittir:
Alan = \( |BC| \times |AH| \)
Alan = \( 10 \times 6 = 60 \) santimetrekaredir.
Örnek 3:
💡 Örnek 3: Eşkenar Dörtgende 30-60-90 Üçgeni yardımıyla Çevre Bulma
Bir \( ABCD \) eşkenar dörtgeninde, \( [DH] \perp [AB] \) olacak şekilde \( [AB] \) kenarı üzerinde bir \( H \) noktası belirleniyor.
\( m(\widehat{A}) = 60^\circ \) ve \( |HB| = 4 \) cm olduğuna göre, \( ABCD \) eşkenar dörtgeninin çevresi kaç cm'dir?
Bir \( ABCD \) eşkenar dörtgeninde, \( [DH] \perp [AB] \) olacak şekilde \( [AB] \) kenarı üzerinde bir \( H \) noktası belirleniyor.
\( m(\widehat{A}) = 60^\circ \) ve \( |HB| = 4 \) cm olduğuna göre, \( ABCD \) eşkenar dörtgeninin çevresi kaç cm'dir?
Çözüm:
✅ Çözüm Adımları:
- Eşkenar dörtgenin tüm kenar uzunlukları birbirine eşittir. Bir kenar uzunluğuna \( a \) diyelim. Bu durumda \( |AD| = a \) ve \( |AB| = a \) olur.
- \( ADH \) dik üçgeninde \( m(\widehat{ACD}) = 90^\circ \), \( m(\widehat{A}) = 60^\circ \) olduğundan \( m(\widehat{ADH}) = 30^\circ \) olur. Bu bir 30-60-90 üçgenidir.
- 30-60-90 üçgeni kuralına göre, \( 30^\circ \)'lik açının karşısındaki kenar hipotenüsün yarısıdır:
\( |AH| = \frac{|AD|}{2} = \frac{a}{2} \) - \( [AB] \) kenarının tamamı \( |AB| = |AH| + |HB| \) olduğuna göre değerleri yerine yazalım:
\( a = \frac{a}{2} + 4 \) - Bu denklemi çözersek:
\( a - \frac{a}{2} = 4 \implies \frac{a}{2} = 4 \implies a = 8 \) cm bulunur. - Eşkenar dörtgenin çevresi:
Çevre = \( 4 \times a = 4 \times 8 = 32 \) cm olarak hesaplanır.
Örnek 4:
💡 Örnek 4: Parktaki Kaydırak Tasarımı (30-60-90 Üçgeni)
Bir çocuk parkında bulunan kaydırağın merdiveni yer düzlemiyle \( 60^\circ \)'lik açı yapmaktadır. Kaydırağın kayma yüzeyi ise yer düzlemiyle \( 30^\circ \)'lik açı yapmaktadır.
Merdivenin uzunluğu \( 4 \) metre olduğuna göre, kaydırağın kayma yüzeyinin uzunluğu kaç metredir?
(Not: Kaydırağın merdiveni ve kayma yüzeyi tepe noktasında birleşmekte ve yere dik bir destek direğiyle taşınmaktadır.)
Bir çocuk parkında bulunan kaydırağın merdiveni yer düzlemiyle \( 60^\circ \)'lik açı yapmaktadır. Kaydırağın kayma yüzeyi ise yer düzlemiyle \( 30^\circ \)'lik açı yapmaktadır.
Merdivenin uzunluğu \( 4 \) metre olduğuna göre, kaydırağın kayma yüzeyinin uzunluğu kaç metredir?
(Not: Kaydırağın merdiveni ve kayma yüzeyi tepe noktasında birleşmekte ve yere dik bir destek direğiyle taşınmaktadır.)
Çözüm:
✅ Çözüm Adımları:
- Durumu iki adet dik üçgen olarak modelleyelim. Tepe noktasına \( T \), destek direğinin yere değdiği noktaya \( H \), merdivenin yere değdiği noktaya \( M \) ve kaydırağın bittiği noktaya \( K \) diyelim.
- \( THM \) dik üçgeninde (merdiven tarafı):
- Hipotenüs \( |TM| = 4 \) metredir (merdiven boyu).
- Yerle yapılan açı \( m(\widehat{TMH}) = 60^\circ \) ve direk dik olduğundan \( m(\widehat{THM}) = 90^\circ \)'dir.
- Bu üçgen bir 30-60-90 üçgenidir. \( 30^\circ \)'nin karşısındaki \( |MH| = \frac{4}{2} = 2 \) metre olur.
- Direğin yüksekliği olan \( |TH| \) (60 derecenin karşısı) ise \( 2\sqrt{3} \) metre bulunur.
- \( THK \) dik üçgeninde (kaydırak tarafı):
- Kaydırağın yerle yaptığı açı \( m(\widehat{TKH}) = 30^\circ \) ve \( m(\widehat{THK}) = 90^\circ \)'dir.
- Bu da bir 30-60-90 üçgenidir. Burada \( 30^\circ \)'lik açının karşısındaki kenar direğin yüksekliği olan \( |TH| = 2\sqrt{3} \) metredir.
- Kural gereği, hipotenüs olan kayma yüzeyi \( |TK| \), \( 30^\circ \)'nin karşısındaki kenarın 2 katıdır:
\( |TK| = 2 \times |TH| = 2 \times 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \) metre bulunur.
Örnek 5:
💡 Örnek 5: Engelli Rampası Tasarımı (45-45-90 Üçgeni)
Bir kamu binasının girişine yapılacak engelli rampasının güvenli olabilmesi için rampa eğiminin yerle tam \( 45^\circ \)'lik açı yapması istenmektedir.
Rampanın yapılacağı basamağın yerden yüksekliği \( 1.5 \) metre olduğuna göre, rampanın kendi uzunluğu (eğik zemin) kaç metre olmalıdır?
Bir kamu binasının girişine yapılacak engelli rampasının güvenli olabilmesi için rampa eğiminin yerle tam \( 45^\circ \)'lik açı yapması istenmektedir.
Rampanın yapılacağı basamağın yerden yüksekliği \( 1.5 \) metre olduğuna göre, rampanın kendi uzunluğu (eğik zemin) kaç metre olmalıdır?
Çözüm:
✅ Çözüm Adımları:
- Rampanın yan kesiti, yer düzlemi ve duvar arasında bir dik üçgen oluşturur.
- Rampanın yerle yaptığı açı \( 45^\circ \) ve duvar yere dik (\( 90^\circ \)) olduğundan, bu üçgen bir 45-45-90 ikizkenar dik üçgenidir.
- Yükseklik (karşı dik kenar) \( 1.5 \) metre ise, rampanın başlangıç noktasının duvara olan yatay uzaklığı (komşu dik kenar) da \( 1.5 \) metre olur.
- 45-45-90 üçgeninde hipotenüs (rampanın uzunluğu), dik kenarların \( \sqrt{2} \) katına eşittir:
Rampa Uzunluğu = \( 1.5\sqrt{2} \) metre olarak bulunur.
Örnek 6:
💡 Örnek 6: Karede Köşegen ve 45-45-90 Üçgeni İlişkisi
Bir kenar uzunluğu \( 8 \) cm olan \( ABCD \) karesinin içerisinden \( [AC] \) köşegeni çiziliyor. Köşegen üzerinde alınan bir \( E \) noktası için \( |AE| = 2\sqrt{2} \) cm'dir.
Buna göre, \( E \) noktasının \( [BC] \) kenarına olan en kısa uzaklığı kaç cm'dir?
Bir kenar uzunluğu \( 8 \) cm olan \( ABCD \) karesinin içerisinden \( [AC] \) köşegeni çiziliyor. Köşegen üzerinde alınan bir \( E \) noktası için \( |AE| = 2\sqrt{2} \) cm'dir.
Buna göre, \( E \) noktasının \( [BC] \) kenarına olan en kısa uzaklığı kaç cm'dir?
Çözüm:
✅ Çözüm Adımları:
- Karede köşegenler iç açıları ortalar. Bu yüzden \( [AC] \) köşegeni \( C \) açısını iki eş parçaya böler: \( m(\widehat{ECF}) = 45^\circ \).
- Bir noktanın bir doğruya en kısa uzaklığı, o noktadan doğruya indirilen dikmenin uzunluğudur. \( E \) noktasından \( [BC] \) kenarına bir dikme indirelim ve dikme ayağına \( F \) diyelim (\( [EF] \perp [BC] \)).
- Karesel bölgede bir kenar \( 8 \) cm ise köşegen uzunluğu \( |AC| = 8\sqrt{2} \) cm olur.
- \( |AE| = 2\sqrt{2} \) cm olarak verildiğine göre, köşegenin kalan kısmı:
\( |EC| = |AC| - |AE| = 8\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \) cm bulunur. - \( EFC \) dik üçgeninde \( m(\widehat{EFC}) = 90^\circ \) ve \( m(\widehat{ECF}) = 45^\circ \) olduğundan bu üçgen bir 45-45-90 üçgenidir.
- Hipotenüsü \( |EC| = 6\sqrt{2} \) cm olan bu üçgende, dik kenar olan \( |EF| \) uzunluğu:
\( |EF| = \frac{|EC|}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 6 \) cm olarak hesaplanır.
Örnek 7:
💡 Örnek 7: Sokak Lambası ve Gölge Boyu (30-60-90 Üçgeni)
Yerden yüksekliği \( 6 \) metre olan bir sokak lambasının yaydığı ışık, doğrusal olarak zemine ulaşmaktadır. Güneş ışınlarının veya lamba ışığının yer düzlemiyle \( 30^\circ \)'lik açı yaptığı bir anda, lambanın tam tepesinden çıkan bir ışık hüzmesinin yerdeki gölge ucuna ulaştığı mesafe doğrusal bir hat oluşturur.
Buna göre, lambanın tepe noktasının, yerdeki gölgenin bittiği uç noktaya olan en kısa uzaklığı kaç metredir?
Yerden yüksekliği \( 6 \) metre olan bir sokak lambasının yaydığı ışık, doğrusal olarak zemine ulaşmaktadır. Güneş ışınlarının veya lamba ışığının yer düzlemiyle \( 30^\circ \)'lik açı yaptığı bir anda, lambanın tam tepesinden çıkan bir ışık hüzmesinin yerdeki gölge ucuna ulaştığı mesafe doğrusal bir hat oluşturur.
Buna göre, lambanın tepe noktasının, yerdeki gölgenin bittiği uç noktaya olan en kısa uzaklığı kaç metredir?
Çözüm:
✅ Çözüm Adımları:
- Sokak lambasının direği, yer düzlemi ve ışık süzmesi bir dik üçgen oluşturur.
- Direk yere dik olduğundan bu üçgenin bir açısı \( 90^\circ \)'dir.
- Işığın yerle yaptığı açı \( 30^\circ \) olarak verilmiştir. O halde bu üçgen bir 30-60-90 özel dik üçgenidir.
- Sokak lambasının yüksekliği (\( 6 \) metre), \( 30^\circ \)'lik açının karşısındaki dik kenardır.
- Bizden istenen en kısa uzaklık, bu dik üçgenin hipotenüs uzunluğudur.
- 30-60-90 üçgeninde hipotenüs, \( 30^\circ \)'lik açının karşısındaki kenarın 2 katıdır:
Uzaklık = \( 2 \times 6 = 12 \) metre olarak bulunur.
Örnek 8:
💡 Örnek 8: Deltoidde Özel Açılı Üçgenler
Bir \( ABCD \) deltoidinde \( |AB| = |AD| \) ve \( |BC| = |CD| \)'dir.
\( m(\widehat{A}) = 120^\circ \) ve \( |AB| = 6 \) cm olduğuna göre, deltoidin \( [BD] \) köşegeninin uzunluğu kaç cm'dir?
Bir \( ABCD \) deltoidinde \( |AB| = |AD| \) ve \( |BC| = |CD| \)'dir.
\( m(\widehat{A}) = 120^\circ \) ve \( |AB| = 6 \) cm olduğuna göre, deltoidin \( [BD] \) köşegeninin uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm:
✅ Çözüm Adımları:
- \( ABCD \) deltoidinde \( |AB| = |AD| = 6 \) cm olarak verilmiştir.
- \( ABD \) üçgeni, tepe açısı \( m(\widehat{A}) = 120^\circ \) olan bir ikizkenar üçgendir.
- Üçgenin iç açıları toplamından taban açıları:
\( m(\widehat{ABD}) = m(\widehat{ADB}) = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ \) bulunur. - Bu üçgen bir 120-30-30 özel üçgenidir.
- 120-30-30 üçgeninin özelliğine göre, \( 120^\circ \)'lik açının karşısındaki kenarın uzunluğu, eşit olan kenarlardan birinin \( \sqrt{3} \) katına eşittir:
\( |BD| = |AB| \times \sqrt{3} \)
\( |BD| = 6\sqrt{3} \) cm olarak elde edilir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-ozel-acili-ucgenler/sorular