📄 10. Sınıf Matematik: Örten ve bire bir fonksiyonlar Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Bire bir mi? f(x_1) = f(x_2) olduğunu varsayalım ve x_1 = x_2 olduğunu gösterelim.
\[ \frac{2x_1+1}{x_1-1} = \frac{2x_2+1}{x_2-1} \]
İçler dışlar çarpımı yaparsak:
\[ (2x_1+1)(x_2-1) = (2x_2+1)(x_1-1) \]
\[ 2x_1x_2 - 2x_1 + x_2 - 1 = 2x_1x_2 - 2x_2 + x_1 - 1 \]
Her iki taraftan 2x_1x_2 ve -1'i çıkaralım:
\[ -2x_1 + x_2 = -2x_2 + x_1 \]
Terimleri düzenleyelim:
\[ x_2 + 2x_2 = x_1 + 2x_1 \]
\[ 3x_2 = 3x_1 \]
\[ x_2 = x_1 \]
Bu, fonksiyonun bire bir olduğunu gösterir.

Örten mi? Değer kümesindeki her y elemanı için, f(x) = y denklemini sağlayan bir x elemanının tanım kümesinde (yani \mathbb{R} - \{1\}'de) olduğunu göstermeliyiz.

f(x) = y denklemini kuralım:
\[ \frac{2x+1}{x-1} = y \]
x için çözelim:
\[ 2x+1 = y(x-1) \]
\[ 2x+1 = yx - y \]
\[ 1+y = yx - 2x \]
\[ 1+y = x(y-2) \]
\[ x = \frac{y+1}{y-2} \]
Bu x değerinin tanım kümesinde olabilmesi için y-2
eq 0 olmalıdır, yani y
eq 2. Bu da tanım gereği değer kümesi \mathbb{R} - \{2\} olduğundan her zaman sağlanır. Ayrıca, bulduğumuz x = \frac{y+1}{y-2} değerinin 1'e eşit olmaması gerekir. Eğer x=1 olsaydı, \frac{y+1}{y-2} = 1 \implies y+1 = y-2 \implies 1 = -2 olurdu ki bu imkansızdır. Dolayısıyla x hiçbir zaman 1 olamaz. Bu, fonksiyonun örten olduğunu gösterir.

Sonuç: f(x) fonksiyonu hem bire bir hem de örtendir.

💡 Çözüm Adımları:

Bire bir fonksiyon tanımına göre, eğer x_1
eq x_2 ise f(x_1)
eq f(x_2) olmalıdır. \mathbb{N} kümesi pozitif doğal sayılar kümesidir (1, 2, 3, ...).

Fonksiyonumuz f(x) = x^2 şeklindedir.

Şimdi farklı doğal sayıları deneyelim:
f(1) = 1^2 = 1
f(2) = 2^2 = 4
f(3) = 3^2 = 9

Görüldüğü gibi, farklı doğal sayıların kareleri de farklıdır. Matematiksel olarak ispatlamak istersek:
x_1, x_2 \in \mathbb{N} ve x_1
eq x_2 olsun.
Eğer x_1
eq x_2 ise ve her ikisi de pozitif ise, kareleri de farklı olacaktır. Örneğin, x_1=2 ve x_2=3 ise x_1
eq x_2 ama f(x_1) = 4 ve f(x_2) = 9, dolayısıyla f(x_1)
eq f(x_2).

Alternatif olarak, f(x_1) = f(x_2) varsayalım:
x_1^2 = x_2^2
Bu denklemin çözüm kümesi x_1 = x_2 veya x_1 = -x_2'dir.
Ancak, tanım kümemiz \mathbb{N} (pozitif doğal sayılar) olduğu için, x_1 ve x_2 pozitif olmak zorundadır. Bu durumda x_1 = -x_2 olamaz (çünkü biri pozitifken diğeri negatif olamaz). Dolayısıyla tek olasılık x_1 = x_2'dir.

Bu durum, bire bir fonksiyonun tanımını (farklı girdiler farklı çıktıları verir) tam olarak karşılar.

Sonuç: f(x) = x^2 fonksiyonu, f: \mathbb{N} o \mathbb{N} için bire bir fonksiyondur.

💡 Çözüm Adımları:

Bir f: A o B fonksiyonunun örten olabilmesi için, değer kümesi B'nin her elemanının, tanım kümesi A'da en az bir tane karşılık geldiği elemanı olmalıdır. Yani, görüntü kümesi (f(A)), değer kümesi B'ye eşit olmalıdır: f(A) = B.

Başka bir deyişle, değer kümesinde hiçbir eleman boşta kalmamalıdır.

Örnek:
f: \mathbb{R} o \mathbb{R} fonksiyonu f(x) = x^2 olarak tanımlansın.
Bu fonksiyon bire birdir çünkü farklı reel sayıların kareleri farklı olabilir (örneğin f(2)=4, f(3)=9).
Ancak, bu fonksiyon örten değildir. Çünkü değer kümemiz \mathbb{R}'dir (tüm reel sayılar). Görüntü kümemiz ise f(A) = \{ f(x) | x \in \mathbb{R} \} = \{ x^2 | x \in \mathbb{R} \} = [0, \infty)'dur. Yani, görüntü kümesi sadece negatif olmayan reel sayılardan oluşur.
Değer kümesinde bulunan negatif reel sayılar (örneğin -1, -5, -\pi) tanım kümesindeki hiçbir reel sayının görüntüsü olamaz. Bu nedenle, f(x) = x^2 fonksiyonu, f: \mathbb{R} o \mathbb{R} için örten bir fonksiyon değildir. Eğer fonksiyon f: \mathbb{R} o [0, \infty) şeklinde tanımlansaydı örten olurdu.