💡 10. Sınıf Matematik: Öklid ve pisagor teoremi Çözümlü Örnekler

Çözüm adımlarını sırasıyla uygulayalım:

• Adım 1: Dikdörtgenin tüm köşe açılarının \( 90^\circ \) olduğunu biliyoruz. Bu durumda ABC üçgeni, B açısı \( 90^\circ \) olan bir dik üçgendir.
• Adım 2: Dik üçgende hipotenüs uzunluğunu bulmak için Pisagor Teoremi uygulanır: \[ x^2 = |AB|^2 + |BC|^2 \]
• Adım 3: Verilen değerleri formülde yerine yazalım: \[ x^2 = 8^2 + 6^2 \] \[ x^2 = 64 + 36 \] \[ x^2 = 100 \]
• Adım 4: Her iki tarafın karekökünü aldığımızda: \[ x = 10 \] cm olarak bulunur.

💡 Pratik Yol: Bu üçgen, kenar uzunlukları \( 3-4-5 \) özel dik üçgeninin \( 2 \) katı olan \( 6-8-10 \) üçgenidir!

Çözüm adımlarını takip edelim:

• Adım 1: Bir dik üçgende, dik açıdan hipotenüse dikme indirildiğinde Öklid Teoremi geçerli olur.
• Adım 2: Öklid Teoremi'nin yükseklik bağıntısına göre, yüksekliğin karesi, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların çarpımına eşittir: \[ h^2 = |BH| \times |HC| \]
• Adım 3: Verilen uzunlukları formülde yerine yazalım: \[ h^2 = 4 \times 9 \] \[ h^2 = 36 \]
• Adım 4: Her iki tarafın karekökünü alarak yüksekliği bulalım: \[ h = 6 \] cm bulunur.

Soruyu çözmek için dik yamuğun içinde bir dik üçgen oluşturalım:

• Adım 1: C köşesinden [AB] tabanına dik bir doğru parçası indirelim ve bu dikmenin [AB]'yi kestiği noktaya H diyelim.
• Adım 2: Bu durumda oluşan AHCD şekli bir dikdörtgen olur. Dikdörtgenin karşılıklı kenar özellikleri gereği:
  \( |AH| = |DC| = 5 \) cm ve \( |CH| = |AD| = 12 \) cm olur.
• Adım 3: [AB] kenarının tamamı \( 10 \) cm olduğuna göre, [HB] parçasının uzunluğunu bulalım: \[ |HB| = |AB| - |AH| \] \[ |HB| = 10 - 5 = 5 \] cm olur.
• Adım 4: CHB dik üçgeninde Pisagor Teoremi uygulayalım: \[ |BC|^2 = |CH|^2 + |HB|^2 \] \[ x^2 = 12^2 + 5^2 \] \[ x^2 = 144 + 25 \] \[ x^2 = 169 \] \[ x = 13 \] cm bulunur.

Öklid ve Pisagor teoremlerini birlikte kullanarak çözüme ulaşalım:

• Adım 1: Öklid Teoremi'nin yan kenar bağıntısına göre, bir dik kenarın karesi, hipotenüs üzerindeki izdüşümü ile hipotenüsün tamamının çarpımına eşittir: \[ |AB|^2 = |BH| \times |BC| \]
• Adım 2: Verilen değerleri yerine yazarak \( y \) değerini bulalım: \[ 6^2 = 3 \times y \] \[ 36 = 3 \times y \] \[ y = 12 \] cm bulunur. Yani \( |BC| = 12 \) cm'dir.
• Adım 3: Hipotenüs üzerindeki diğer parçayı bulalım: \[ |HC| = |BC| - |BH| = 12 - 3 = 9 \] cm olur.
• Adım 4: Diğer dik kenar olan \( z \) değerini bulmak için Öklid'in diğer yan kenar bağıntısını uygulayalım: \[ |AC|^2 = |HC| \times |BC| \] \[ z^2 = 9 \times 12 \] \[ z^2 = 108 \] \[ z = \sqrt{108} = 6\sqrt{3} \] cm bulunur.

Günlük hayattaki bu problemi bir dik üçgen modeliyle çözelim:

• Adım 1: Bina duvarı zemine dik olduğundan, duvar ile zemin arasında \( 90^\circ \)'lik bir açı oluşur.
• Adım 2: Bu durumda merdiven hipotenüs, duvarın yüksekliği dikey kenar ve yerdeki mesafe yatay kenar olur.
  Hipotenüs \( = 25 \) m, yatay kenar \( = 7 \) m, dikey kenar (yükseklik) \( = h \) m olsun.
• Adım 3: Pisagor Teoremi uygulayalım: \[ h^2 + 7^2 = 25^2 \] \[ h^2 + 49 = 625 \]
• Adım 4: Bilinenleri bir tarafa toplayalım: \[ h^2 = 625 - 49 \] \[ h^2 = 576 \] \[ h = 24 \] metre bulunur.

Soruyu adım adım analiz ederek çözelim:

• Adım 1: Doğu ve kuzey yönleri birbirine diktir. Dolayısıyla bu iki rota bir dik üçgen oluşturur.
• Adım 2: 1. Rota ile yürüyen bir kişinin katettiği toplam mesafe: \[ 150 + 200 = 350 \] metredir.
• Adım 3: 2. Rota, dik üçgenin hipotenüsüdür. Bu mesafeye \( x \) diyelim ve Pisagor Teoremi uygulayalım: \[ x^2 = 150^2 + 200^2 \]
• Adım 4: Büyük sayılarla uğraşmak yerine özel üçgen oranlarını kullanalım. Bu üçgen \( 3-4-5 \) üçgeninin \( 50 \) katıdır:
  \( 3 \times 50 = 150 \) metre
  \( 4 \times 50 = 200 \) metre
  O halde hipotenüs: \( 5 \times 50 = 250 \) metre olmalıdır. (\( x = 250 \))
• Adım 5: Aradaki farkı hesaplayalım: \[ 350 - 250 = 100 \] metre daha az yürünmüştür.

Çözüm için dikdörtgenin içindeki dik üçgeni ve Öklid bağıntılarını kullanalım:

• Adım 1: ABCD bir dikdörtgen olduğundan, ABC açısı \( 90^\circ \)'dir. Dolayısıyla ABC üçgeni bir dik üçgendir.
• Adım 2: B köşesinden indirilen [BE] doğrusu, hipotenüse ait yüksekliktir. Bu durumda ABC üçgeninde Öklid Teoremi uygulanabilir.
• Adım 3: Hipotenüsün tamamını bulalım: \[ |AC| = |AE| + |EC| = 2 + 8 = 10 \] cm.
• Adım 4: Öklid'in yan kenar bağıntısını uygulayarak \( |BC| = x \) değerini bulalım: \[ |BC|^2 = |EC| \times |AC| \] \[ x^2 = 8 \times 10 \] \[ x^2 = 80 \] \[ x = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \] cm bulunur.

Bu günlük hayat problemini dik üçgen yardımıyla modelleyelim:

• Adım 1: İstasyonlar arasındaki dikey yükseklik farkını bulalım (üçgenin dikey kenarı): \[ \text{Yükseklik Farkı} = 1200 - 400 = 800 \] metre.
• Adım 2: İstasyonlar arasındaki yatay mesafe verilmiştir (üçgenin yatay kenarı): \[ \text{Yatay Mesafe} = 1500 \] metre.
• Adım 3: Teleferik kablosu bu dik üçgenin hipotenüsünü oluşturur. Kablo uzunluğuna \( L \) diyelim ve Pisagor Teoremi uygulayalım: \[ L^2 = 800^2 + 1500^2 \]
• Adım 4: Sayıları sadeleştirerek özel üçgen kontrolü yapalım. Bu üçgen \( 8-15-17 \) özel dik üçgeninin \( 100 \) katıdır:
  \( 8 \times 100 = 800 \) metre
  \( 15 \times 100 = 1500 \) metre
  O halde hipotenüs: \( 17 \times 100 = 1700 \) metre olmalıdır.