💡 10. Sınıf Matematik: Nicelikler Ve Değişim Çözümlü Örnekler

✅ Bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için iki temel şartı sağlaması gerekir:

• Tanım Kümesindeki Her Eleman Eşleşmeli: Tanım kümesindeki (ilk küme) her eleman, değer kümesindeki (ikinci küme) bir elemanla eşleşmiş olmalıdır.
• Tanım Kümesindeki Her Eleman Yalnızca Bir Kez Eşleşmeli: Tanım kümesindeki her eleman, değer kümesindeki yalnızca bir elemanla eşleşmelidir (tek bir görüntüsü olmalıdır).

Şimdi seçenekleri inceleyelim:

• 1. Seçenek: \( f = \{(1, a), (2, b), (3, c), (1, c)\} \)
  Bu bağıntı fonksiyon değildir. Çünkü tanım kümesindeki 1 elemanı, değer kümesindeki hem \( a \) hem de \( c \) elemanlarıyla eşleşmiştir. Bir elemanın birden fazla görüntüsü olamaz.
• 2. Seçenek: \( g = \{(1, 4), (2, 5)\} \)
  Bu bağıntı fonksiyon değildir. Çünkü tanım kümesindeki \( K = \{1, 2, 3\} \) elemanlarından 3 elemanı eşleşmemiştir. Tanım kümesindeki her elemanın eşleşmesi gerekir.
• 3. Seçenek: \( h = \{(1, x), (2, y), (3, z)\} \)
  Bu bağıntı bir fonksiyon belirtir. Çünkü:
  
  • Tanım kümesindeki \( \{1, 2, 3\} \) elemanlarının hepsi eşleşmiştir.
  • Tanım kümesindeki her eleman, değer kümesindeki yalnızca bir elemanla eşleşmiştir (1'in tek görüntüsü \( x \), 2'nin tek görüntüsü \( y \), 3'ün tek görüntüsü \( z \)).

✅ Fonksiyonlarda değer bulmak için, \( x \) yerine istenen değeri veya ifadeyi yazmamız yeterlidir.

• 1. \( f(3) \) değerini bulalım:
  Fonksiyonda \( x \) yerine 3 yazmalıyız.
  \[ f(3) = 4 \cdot (3) - 7 \] \[ f(3) = 12 - 7 \] \[ f(3) = 5 \] Buna göre, \( f(3) \) değeri 5'tir.
• 2. \( f(-2) \) değerini bulalım:
  Fonksiyonda \( x \) yerine -2 yazmalıyız.
  \[ f(-2) = 4 \cdot (-2) - 7 \] \[ f(-2) = -8 - 7 \] \[ f(-2) = -15 \] Buna göre, \( f(-2) \) değeri -15'tir.
• 3. \( f(a+1) \) değerini bulalım:
  Fonksiyonda \( x \) yerine \( a+1 \) ifadesini yazmalıyız.
  \[ f(a+1) = 4 \cdot (a+1) - 7 \] Parantezi dağıtarak işlemi tamamlayalım:
  \[ f(a+1) = 4a + 4 - 7 \] \[ f(a+1) = 4a - 3 \] Buna göre, \( f(a+1) \) değeri \( 4a - 3 \)'tür.

✅ Bir ifadenin polinom olabilmesi için, değişkenin (genellikle \( x \)) kuvvetlerinin doğal sayı olması gerekmektedir (yani negatif veya kesirli olamaz). Ayrıca katsayıların gerçek sayı olması gerekir.

• 1. \( P(x) = 5x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 7 \)
  
  • \( x \)'in kuvvetleri (3, 2, 0) doğal sayıdır.
  • Katsayılar (5, \( -\frac{1}{2} \), 7) gerçek sayıdır.
  Bu ifade bir polinomdur.
  Derecesi: En büyük kuvvet 3 olduğundan, derecesi 3'tür.
  Başkatsayısı: En büyük dereceli terimin katsayısı 5 olduğundan, başkatsayısı 5'tir.
• 2. \( Q(x) = 2x^4 - 3\sqrt{x} + 1 \)
  \[ Q(x) = 2x^4 - 3x^{\frac{1}{2}} + 1 \]
  • \( x \)'in kuvvetlerinden biri \( \frac{1}{2} \) (karekök) doğal sayı değildir.
  Bu ifade bir polinom değildir.
• 3. \( R(x) = x^5 + 4x^{-1} - 2 \)
  
  • \( x \)'in kuvvetlerinden biri -1 (negatif) doğal sayı değildir.
  Bu ifade bir polinom değildir.
• 4. \( S(x) = -6 \)
  Bu ifade aslında \( S(x) = -6x^0 \) olarak düşünülebilir.
  
  • \( x \)'in kuvveti (0) doğal sayıdır.
  • Katsayı (-6) gerçek sayıdır.
  Bu ifade bir polinomdur (sabit polinom).
  Derecesi: En büyük kuvvet 0 olduğundan, derecesi 0'dır.
  Başkatsayısı: En büyük dereceli terimin katsayısı -6 olduğundan, başkatsayısı -6'dır.

✅ Polinomlarda toplama veya çıkarma işlemi yaparken, aynı dereceli terimlerin katsayılarını toplar veya çıkarırız.

• 1. \( P(x) + Q(x) \) işlemini yapalım:
  \[ P(x) + Q(x) = (3x^3 - 2x^2 + 5x - 1) + (x^3 + 2x^2 - 3x + 4) \] Aynı dereceli terimleri bir araya getirelim:
  \[ P(x) + Q(x) = (3x^3 + x^3) + (-2x^2 + 2x^2) + (5x - 3x) + (-1 + 4) \] Katsayıları toplayalım:
  \[ P(x) + Q(x) = 4x^3 + 0x^2 + 2x + 3 \] \[ P(x) + Q(x) = 4x^3 + 2x + 3 \] Sonuç \( 4x^3 + 2x + 3 \)'tür.
• 2. \( P(x) - Q(x) \) işlemini yapalım:
  \[ P(x) - Q(x) = (3x^3 - 2x^2 + 5x - 1) - (x^3 + 2x^2 - 3x + 4) \] Eksi işaretini \( Q(x) \) polinomunun her terimine dağıtmayı unutmayalım:
  \[ P(x) - Q(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 1 - x^3 - 2x^2 + 3x - 4 \] Aynı dereceli terimleri bir araya getirelim:
  \[ P(x) - Q(x) = (3x^3 - x^3) + (-2x^2 - 2x^2) + (5x + 3x) + (-1 - 4) \] Katsayıları çıkaralım:
  \[ P(x) - Q(x) = 2x^3 - 4x^2 + 8x - 5 \] Sonuç \( 2x^3 - 4x^2 + 8x - 5 \)'tir.

💡 Bir \( P(x) \) polinomunun \( x-a \) ile bölümünden kalanı bulmak için Kalan Teoremi'ni kullanırız. Kalan Teoremi'ne göre, kalan \( P(a) \)'ya eşittir.

• Öncelikle bölen ifadeyi sıfıra eşitleyip \( x \) değerini bulalım:
  \[ x - 2 = 0 \] \[ x = 2 \]
• Şimdi bu \( x=2 \) değerini \( P(x) \) polinomunda \( x \) yerine yazarak kalanı bulalım:
  \[ P(2) = (2)^3 - 3(2)^2 + 2(2) + 5 \] \[ P(2) = 8 - 3(4) + 4 + 5 \] \[ P(2) = 8 - 12 + 4 + 5 \] \[ P(2) = -4 + 4 + 5 \] \[ P(2) = 0 + 5 \] \[ P(2) = 5 \]

✅ Buna göre, \( P(x) \) polinomunun \( x-2 \) ile bölümünden kalan 5'tir.

✅ Grafiği verilen bir fonksiyonun geçtiği noktalar, o fonksiyonun belirli \( x \) değerleri için aldığı \( y \) değerlerini gösterir. Noktalar \( (x, f(x)) \) şeklinde ifade edilir.

• Fonksiyonun geçtiği ilk nokta \( (-4, 2) \)'dir. Bu, \( x = -4 \) için \( f(x) = 2 \) olduğu anlamına gelir. Yani, \( f(-4) = 2 \).
• Fonksiyonun geçtiği ikinci nokta \( (0, -3) \)'tür. Bu, \( x = 0 \) için \( f(x) = -3 \) olduğu anlamına gelir. Yani, \( f(0) = -3 \).
• Fonksiyonun geçtiği üçüncü nokta \( (5, 1) \)'dir. Bu, \( x = 5 \) için \( f(x) = 1 \) olduğu anlamına gelir. Yani, \( f(5) = 1 \).

Bize tanım kümesindeki \( -4, 0, 5 \) elemanlarının görüntülerinin toplamı soruluyor. Bu da \( f(-4) + f(0) + f(5) \) toplamını bulmamız gerektiği anlamına gelir.

\[ f(-4) + f(0) + f(5) = 2 + (-3) + 1 \] \[ = 2 - 3 + 1 \] \[ = -1 + 1 \] \[ = 0 \]
Sonuç olarak, tanım kümesindeki elemanların görüntülerinin toplamı 0'dır.

💡 Bu tür problemler, doğrusal fonksiyonlar yardımıyla modellenebilir. Toplam ücret, sabit bir açılış ücreti ve gidilen yola bağlı değişken bir ücretten oluşur.

• 1. Toplam ücreti veren fonksiyonu yazalım:
  Açılış ücreti sabittir: 20 TL.
  Her kilometre için alınan ücret: 7 TL.
  Gidilen yol \( x \) km ise, yol için ödenecek ücret \( 7 \cdot x \) TL olur.
  Toplam ücret (\( U(x) \)) bu iki kısmın toplamı olacaktır:
  \[ U(x) = (\text{Açılış Ücreti}) + (\text{Kilometre Başına Ücret} \cdot \text{Gidilen Yol}) \] \[ U(x) = 20 + 7x \] Buna göre, toplam ücreti veren fonksiyon \( U(x) = 7x + 20 \)'dir.
• 2. 15 km yol giden bir müşterinin ödeyeceği ücreti hesaplayalım:
  Bu durumda, fonksiyonda \( x \) yerine 15 yazmamız gerekir:
  \[ U(15) = 7 \cdot (15) + 20 \] \[ U(15) = 105 + 20 \] \[ U(15) = 125 \] ✅ 15 km yol giden bir müşteri 125 TL ücret öder.

✅ Bileşke fonksiyon, bir fonksiyonun çıktısını diğer bir fonksiyonun girdisi olarak kullanma işlemidir. \( (f \circ g)(x) \) ifadesi \( f(g(x)) \) anlamına gelir.

• 1. \( (f \circ g)(x) \) ifadesini bulalım:
  Bu ifade \( f(g(x)) \) demektir. Yani \( f \) fonksiyonunda \( x \) yerine \( g(x) \) ifadesini yazacağız.
  Önce \( g(x) \)'in değerini yerine koyalım:
  \[ (f \circ g)(x) = f(x+4) \] Şimdi \( f(x) = 3x - 1 \) fonksiyonunda \( x \) gördüğümüz yere \( (x+4) \) yazalım:
  \[ f(x+4) = 3 \cdot (x+4) - 1 \] Parantezi dağıtalım:
  \[ = 3x + 12 - 1 \] \[ = 3x + 11 \] Buna göre, \( (f \circ g)(x) = 3x + 11 \)'dir.
• 2. \( (g \circ f)(2) \) ifadesini bulalım:
  Bu ifade \( g(f(2)) \) demektir. Önce \( f(2) \) değerini bulup, sonra bu değeri \( g \) fonksiyonunda yerine yazacağız.
  
  Adım 1: \( f(2) \) değerini bulalım.
  \( f(x) = 3x - 1 \) olduğundan:
  \[ f(2) = 3 \cdot (2) - 1 \] \[ f(2) = 6 - 1 \] \[ f(2) = 5 \]
  Adım 2: Bulduğumuz \( f(2) = 5 \) değerini \( g \) fonksiyonunda yerine yazalım.
  \( g(x) = x + 4 \) olduğundan:
  \[ (g \circ f)(2) = g(5) \] \[ g(5) = 5 + 4 \] \[ g(5) = 9 \] Buna göre, \( (g \circ f)(2) = 9 \)'dur.