💡 10. Sınıf Matematik: Nicelikler İle İlgili Problemler Çözümlü Örnekler

Bu problemi çözmek için yüzdelik hesaplama yapmamız gerekiyor.

• 👉 Sınıftaki toplam öğrenci sayısı: \(30\)
• 👉 Kız öğrenci oranı: \(%60\)

Kız öğrenci sayısını bulmak için toplam öğrenci sayısını kız öğrenci oranı ile çarparız. \[ \text{Kız Öğrenci Sayısı} = \text{Toplam Öğrenci Sayısı} \times \frac{\text{Kız Öğrenci Oranı}}{100} \] Şimdi değerleri yerine koyalım:

• ✅ Kız Öğrenci Sayısı \( = 30 \times \frac{60}{100} \)
• ✅ Kız Öğrenci Sayısı \( = 30 \times 0.60 \)
• ✅ Kız Öğrenci Sayısı \( = 18 \)

Demek ki, sınıfta 18 kız öğrenci bulunmaktadır. 💡

Bu problemde hem kâr miktarını hem de satış fiyatını bulmamız gerekiyor.

• 👉 Ürünün alış fiyatı: \(12\) TL
• 👉 Kâr oranı: \(%25\)

Önce kâr miktarını hesaplayalım:

• Kâr Miktarı Hesaplama:
• Kâr miktarı, alış fiyatının %25'idir.
• Kâr Miktarı \( = 12 \times \frac{25}{100} \)
• Kâr Miktarı \( = 12 \times 0.25 \)
• Kâr Miktarı \( = 3 \) TL

Şimdi satış fiyatını bulalım:

• Satış Fiyatı Hesaplama:
• Satış fiyatı, alış fiyatına kâr miktarının eklenmesiyle bulunur.
• Satış Fiyatı \( = \text{Alış Fiyatı} + \text{Kâr Miktarı} \)
• Satış Fiyatı \( = 12 + 3 \)
• Satış Fiyatı \( = 15 \) TL

Sonuç olarak, satıcının elde ettiği kâr miktarı 3 TL ve ürünün satış fiyatı 15 TL'dir. ✅

Bu bir yaş problemi ve basit bir denklem kurarak çözebiliriz.

• 👉 Annesinin yaşı: \(42\)
• 👉 Ayşe'nin yaşı, annesinin yaşının yarısından 3 eksik.

Ayşe'nin yaşını bulmak için adım adım ilerleyelim:

• Annenin Yaşının Yarısı:
• Annenin yaşının yarısı \( = \frac{42}{2} = 21 \)

Şimdi Ayşe'nin yaşını hesaplayalım:

• Ayşe'nin Yaşı:
• Ayşe'nin yaşı, annesinin yaşının yarısından 3 eksik olduğuna göre:
• Ayşe'nin Yaşı \( = 21 - 3 \)
• Ayşe'nin Yaşı \( = 18 \)

Buna göre, Ayşe 18 yaşındadır. 💡

Bu bir karışım problemi. Karışımdaki tuz miktarını ve su miktarını ayrı ayrı düşünmeliyiz.

• 👉 Başlangıçtaki toplam karışım: \(60\) litre
• 👉 Başlangıçtaki tuz oranı: \(%20\)
• 👉 Hedeflenen tuz oranı: \(%15\)

Öncelikle başlangıçtaki tuz miktarını bulalım:

• Başlangıçtaki Tuz Miktarı:
• Tuz Miktarı \( = 60 \times \frac{20}{100} \)
• Tuz Miktarı \( = 12 \) litre

Şimdi karışıma \(x\) litre saf su eklendiğini varsayalım. Saf suyun içinde tuz olmadığı için tuz miktarı değişmez, ancak toplam karışım miktarı artar.

• Yeni Toplam Karışım Miktarı:
• Yeni Toplam Karışım \( = 60 + x \) litre

Yeni durumda tuz oranının %15 olmasını istiyoruz. Yani, tuz miktarı (12 litre), yeni toplam karışımın %15'i olmalı. \[ \text{Tuz Oranı} = \frac{\text{Tuz Miktarı}}{\text{Yeni Toplam Karışım}} \times 100 \] \[ 15 = \frac{12}{60 + x} \times 100 \] Denklemi çözelim:

• 👉 \( 15 \times (60 + x) = 12 \times 100 \)
• 👉 \( 15 \times (60 + x) = 1200 \)
• 👉 Her iki tarafı 15'e bölelim: \( 60 + x = \frac{1200}{15} \)
• 👉 \( 60 + x = 80 \)
• 👉 \( x = 80 - 60 \)
• 👉 \( x = 20 \) litre

Karışıma 20 litre saf su eklenirse, tuz oranı %15 olur. ✅

Bu problem, ardışık indirimleri içeren yeni nesil bir problemdir. İndirimler, her seferinde o anki fiyata uygulanır.

• 👉 Başlangıç fiyatı: \(150\) TL
• 👉 Birinci indirim oranı: \(%20\)
• 👉 İkinci indirim oranı: \(%10\)

Adım adım hesaplayalım:

• 1. Adım: %20 indirim sonrası fiyatı bulma
• %20 indirim demek, fiyatın %80'ine düşmesi demektir.
• İndirim Miktarı \( = 150 \times \frac{20}{100} = 30 \) TL
• İlk İndirimli Fiyat \( = 150 - 30 = 120 \) TL
• Veya doğrudan: İlk İndirimli Fiyat \( = 150 \times (1 - 0.20) = 150 \times 0.80 = 120 \) TL

• 2. Adım: İkinci %10 indirim sonrası fiyatı bulma
• İkinci indirim, ilk indirimli fiyat olan 120 TL üzerinden uygulanır.
• %10 indirim demek, fiyatın %90'ına düşmesi demektir.
• İkinci İndirim Miktarı \( = 120 \times \frac{10}{100} = 12 \) TL
• Son Satış Fiyatı \( = 120 - 12 = 108 \) TL
• Veya doğrudan: Son Satış Fiyatı \( = 120 \times (1 - 0.10) = 120 \times 0.90 = 108 \) TL

Buna göre, gömleğin son satış fiyatı 108 TL olur. 📌

Bu bir işçi problemi ve günlük hayatta sıkça karşılaşılan bir senaryodur. Birlikte çalışma hızlarını bulmalıyız.

• 👉 Ali'nin işi bitirme süresi: \(6\) gün
• 👉 Can'ın işi bitirme süresi: \(12\) gün

Birlikte çalışma sürelerini bulmak için şu formülü kullanırız: \[ \frac{1}{\text{Ali'nin Süresi}} + \frac{1}{\text{Can'ın Süresi}} = \frac{1}{\text{Birlikte Çalışma Süresi}} \] Şimdi değerleri yerine koyalım ve denklemi çözelim:

• ✅ \( \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{1}{x} \) (Burada \(x\) birlikte çalışma süresi)
• Ortak payda \(12\) olduğu için ilk kesri 2 ile genişletelim:
• ✅ \( \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{1}{x} \)
• ✅ \( \frac{3}{12} = \frac{1}{x} \)
• Kesri sadeleştirelim: \( \frac{1}{4} = \frac{1}{x} \)
• Bu durumda \(x\) değeri \(4\) olur.

Yani, Ali ve Can bu işi birlikte 4 günde bitirirler. 💪

Bu bir hareket problemi ve günlük hayatta yolculuk planlaması yaparken karşımıza çıkabilir. Yol, hız ve zaman arasındaki ilişkiyi kullanacağız.

• 👉 Başlangıç hızı: \(80\) km/saat
• 👉 Başlangıç süresi: \(6\) saat
• 👉 Hedef süre: \(4\) saat

Öncelikle aracın aldığı toplam yolu bulmalıyız:

• Yol Hesaplama:
• Yol \( = \text{Hız} \times \text{Zaman} \)
• Yol \( = 80 \times 6 \)
• Yol \( = 480 \) km

Şimdi bu 480 km'lik yolu 4 saatte almak için gereken yeni hızı bulalım:

• Yeni Hız Hesaplama:
• Yeni Hız \( = \frac{\text{Yol}}{\text{Hedef Süre}} \)
• Yeni Hız \( = \frac{480}{4} \)
• Yeni Hız \( = 120 \) km/saat

Son olarak, hızını ne kadar artırması gerektiğini bulalım:

• Hız Artışı:
• Hız Artışı \( = \text{Yeni Hız} - \text{Başlangıç Hızı} \)
• Hız Artışı \( = 120 - 80 \)
• Hız Artışı \( = 40 \) km/saat

Bu araç, aynı yolu 4 saatte almak için hızını saatte 40 km artırmalıdır. 🚀

Bu bir sayı problemi ve iki bilinmeyenli denklem sistemi kurarak çözebiliriz.

• 👉 Sayıların toplamı: \(75\)
• 👉 Büyük sayı, küçük sayının 2 katından 3 fazla.

Sayıları temsil etmek için değişkenler kullanalım:

• Küçük sayıya \(x\) diyelim.
• Büyük sayıya \(y\) diyelim.

Verilen bilgilere göre iki denklem oluşturalım:

• 1. Denklem (Toplam):
• \(x + y = 75\)
• 2. Denklem (İlişki):
• \(y = 2x + 3\)

Şimdi ikinci denklemi (y'nin ifadesini) birinci denklemde yerine koyarak \(x\)'i bulalım:

• ✅ \(x + (2x + 3) = 75\)
• ✅ \(3x + 3 = 75\)
• 3'ü eşitliğin diğer tarafına atalım:
• ✅ \(3x = 75 - 3\)
• ✅ \(3x = 72\)
• Her iki tarafı 3'e bölelim:
• ✅ \(x = \frac{72}{3}\)
• ✅ \(x = 24\)

Küçük sayıya \(x\) dediğimiz için, küçük sayı 24'tür. 💡

İsterseniz büyük sayıyı da bulabiliriz: \(y = 2x + 3 = 2(24) + 3 = 48 + 3 = 51\). Kontrol edelim: \(24 + 51 = 75\). Doğru! ✅