Kesir problemleri Ders Notu

Kesir problemleri, günlük hayatta karşılaştığımız oranlama, paylaştırma ve miktar hesaplama durumlarını matematiksel modellemelerle çözmemizi sağlayan temel konulardan biridir. 10. sınıf düzeyinde bu problemler, denklem kurma becerisini geliştirerek TYT ve sonraki matematik konuları için güçlü bir temel oluşturur. Problemleri çözerken sözel ifadeleri doğru bir şekilde matematiksel denklemlere dönüştürmek en kritik adımdır.

📊 Kesir Problemlerinde Temel Kavramlar ve Değişken Seçimi

Kesir problemlerini çözerken bilinmeyene doğrudan \(x\) demek bazı durumlarda rasyonel sayılarla karmaşık işlemler yapmanıza neden olabilir. İşlemleri kolaylaştırmak için bilinmeyen bütüne, soruda geçen kesirlerin paydalarının en küçük ortak katı (EKOK) cinsinden bir değer vermek büyük kolaylık sağlar.

Pratik Yol 💡: Bir problemde bir çokluğun önce \( \frac{1}{3} \) ü, sonra kalanının \( \frac{2}{5} \) i harcanıyorsa; paydalar olan \(3\) ve \(5\) sayılarının çarpımı olan \(15x\) ifadesini bütünün tamamı olarak seçmek kesirli işlemlerle uğraşmanızı engeller.

📝 Sözel İfadelerin Matematiksel Karşılıkları

Aşağıdaki tabloda, kesir problemlerinde sıkça karşılaşılan sözel ifadelerin matematiksel olarak nasıl modellendiği gösterilmiştir:

Sözel İfade	Matematiksel Model
Bir sayının yarısı	\( \frac{x}{2} \)
Bir sayının üçte ikisi	\( \frac{2x}{3} \)
Bir sayının beşte üçünün 4 fazlası	\( \frac{3x}{5} + 4 \)
Bir sayının 4 fazlasının beşte üçü	\( \frac{3(x + 4)}{5} \)

✏️ Çözümlü Örnekler

Örnek 1

Bir sınıftaki öğrencilerin \( \frac{3}{7} \) si kız öğrencidir. Sınıfa \( 4 \) kız öğrenci daha katıldığında kız öğrencilerin sayısı, erkek öğrencilerin sayısına eşit olmaktadır. Buna göre başlangıçta sınıfta toplam kaç öğrenci vardır?

Çözüm:

Sınıf mevcudunun tamamına paydada \(7\) olduğu için \( 7x \) diyelim.

• Kız öğrencilerin sayısı: \( 7x \times \frac{3}{7} = 3x \)
• Erkek öğrencilerin sayısı: \( 7x - 3x = 4x \)

Sınıfa \( 4 \) kız öğrenci katıldığında yeni kız öğrenci sayısı \( 3x + 4 \) olur. Bu durumda kız ve erkek öğrenci sayıları eşitlendiğine göre denklemi kuralım:

\[ 3x + 4 = 4x \] \[ x = 4 \]

Başlangıçtaki sınıf mevcudu \( 7x \) olarak belirlenmişti. Bulduğumuz \( x \) değerini yerine yazalım:

\[ 7 \times 4 = 28 \]

Başlangıçta sınıfta \( 28 \) öğrenci vardır.

Örnek 2

Bir memur aylık maaşının \( \frac{1}{4} \) ini ev kirasına, kalan maaşının ise \( \frac{2}{5} \) ini mutfak masraflarına harcamaktadır. Memurun geriye \( 1800 \) TL parası kaldığına göre, bu memurun aylık maaşı kaç TL'dir?

Çözüm:

Paydalarda \(4\) ve \(5\) sayıları bulunduğu için memurun maaşının tamamına \( 4 \times 5 = 20x \) diyelim.

• Ev kirası: \( 20x \times \frac{1}{4} = 5x \)
• Kalan maaş: \( 20x - 5x = 15x \)
• Mutfak masrafı: Kalan maaşın yani \( 15x \) in \( \frac{2}{5} \) idir. Buradan; \( 15x \times \frac{2}{5} = 6x \) harcanır.
• Geriye kalan son para: \( 15x - 6x = 9x \)

Geriye kalan para \( 1800 \) TL olduğuna göre denklemi kuralım:

\[ 9x = 1800 \] \[ x = 200 \]

Memurun toplam maaşı \( 20x \) olduğuna göre:

\[ 20 \times 200 = 4000 \]

Memurun aylık maaşı \( 4000 \) TL'dir.

Örnek 3

Bir su deposunun \( \frac{2}{3} \) ü su ile doludur. Depodan \( 40 \) litre su alındığında deponun yarısı dolu kalmaktadır. Buna göre bu su deposunun tamamı kaç litre su alır?

Çözüm:

Deponun tamamına, paydadaki \(3\) ve yarısı ifadesinden gelen \(2\) paydasının ortak katı olan \( 6x \) diyelim.

• Başlangıçtaki su miktarı: \( 6x \times \frac{2}{3} = 4x \)
• Depodan \( 40 \) litre su alındığında kalan su miktarı: \( 4x - 40 \)
• Deponun yarısı: \( 6x \times \frac{1}{2} = 3x \)

Elde edilen yeni su miktarı deponun yarısına eşit olduğuna göre denklemi kuralım:

\[ 4x - 40 = 3x \] \[ x = 40 \]

Deponun tamamı \( 6x \) litre su almaktadır:

\[ 6 \times 40 = 240 \]

Su deposunun tamamı \( 240 \) litre su alır.