🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: İki bilinmeyenli birinci dereceden denklem Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: İki bilinmeyenli birinci dereceden denklem Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
İki bilinmeyenli birinci dereceden bir denklem sistemi veriliyor:
1) \( 2x + y = 7 \)
2) \( x - y = 2 \)
Bu denklemleri sağlayan \( x \) ve \( y \) değerlerini bulunuz. 💡
1) \( 2x + y = 7 \)
2) \( x - y = 2 \)
Bu denklemleri sağlayan \( x \) ve \( y \) değerlerini bulunuz. 💡
Çözüm:
Bu tür denklem sistemlerini çözmek için genellikle yerine koyma veya yok etme yöntemleri kullanılır. Burada yok etme yöntemi daha pratiktir.
- 1. Adım: Denklemleri Alt Alta Yazma
Denklemleri, bilinmeyenler aynı hizaya gelecek şekilde alt alta yazalım:
\[ \begin{array}{l} 2x + y = 7 \\ x - y = 2 \end{array} \] - 2. Adım: Yok Etme Yöntemini Uygulama
Denklemleri taraf tarafa topladığımızda, \( y \) terimleri birbirini götürecektir:
\( (2x + y) + (x - y) = 7 + 2 \)
\( 2x + y + x - y = 9 \)
\( 3x = 9 \) - 3. Adım: x Değerini Bulma
Elde ettiğimiz \( 3x = 9 \) denklemini çözerek \( x \) değerini bulalım:
\( x = \frac{9}{3} \)
\( x = 3 \) ✅ - 4. Adım: y Değerini Bulma
Bulduğumuz \( x = 3 \) değerini denklemlerden herhangi birine (örneğin ikinci denkleme) yerine koyarak \( y \) değerini bulalım:
\( x - y = 2 \)
\( 3 - y = 2 \)
\( -y = 2 - 3 \)
\( -y = -1 \)
\( y = 1 \) ✅ - Sonuç: Denklemi sağlayan \( x \) ve \( y \) değerleri \( x=3 \) ve \( y=1 \)'dir. Çözüm kümesi \( \{(3, 1)\} \)'dir. 👉
Örnek 2:
Aşağıdaki denklem sistemini yerine koyma metodu ile çözünüz:
1) \( x + 3y = 10 \)
2) \( y = x - 2 \)
❓
1) \( x + 3y = 10 \)
2) \( y = x - 2 \)
❓
Çözüm:
Yerine koyma metodunda, bir denklemdeki bilinmeyeni diğer denklemde yerine yazarız.
- 1. Adım: Bir Bilinmeyeni Çekme
İkinci denklemde \( y \) zaten \( x \) cinsinden verilmiş: \( y = x - 2 \). - 2. Adım: Yerine Koyma
Bu \( y \) ifadesini birinci denklemde \( y \) yerine yazalım:
\( x + 3(x - 2) = 10 \) - 3. Adım: x Değerini Bulma
Denklemi dağıtarak ve toparlayarak \( x \) değerini bulalım:
\( x + 3x - 6 = 10 \)
\( 4x - 6 = 10 \)
\( 4x = 10 + 6 \)
\( 4x = 16 \)
\( x = \frac{16}{4} \)
\( x = 4 \) ✅ - 4. Adım: y Değerini Bulma
Bulduğumuz \( x = 4 \) değerini ikinci denklemde yerine koyarak \( y \) değerini bulalım:
\( y = x - 2 \)
\( y = 4 - 2 \)
\( y = 2 \) ✅ - Sonuç: Denklem sisteminin çözüm kümesi \( \{(4, 2)\} \)'dir. 👍
Örnek 3:
Bir manavda elmaların kilogram fiyatı \( x \) TL, portakalların kilogram fiyatı \( y \) TL'dir.
Ali, 3 kg elma ve 2 kg portakal için toplam 26 TL ödemiştir.
Ayşe ise 1 kg elma ve 4 kg portakal için toplam 34 TL ödemiştir.
Bu bilgilere göre, 1 kg elma ve 1 kg portakalın fiyatlarını bulunuz. 🍎🍊
Ali, 3 kg elma ve 2 kg portakal için toplam 26 TL ödemiştir.
Ayşe ise 1 kg elma ve 4 kg portakal için toplam 34 TL ödemiştir.
Bu bilgilere göre, 1 kg elma ve 1 kg portakalın fiyatlarını bulunuz. 🍎🍊
Çözüm:
Bu problemi iki bilinmeyenli birinci dereceden denklem sistemi kurarak çözebiliriz.
- 1. Adım: Denklem Sistemini Kurma
Ali'nin harcaması için denklem: \( 3x + 2y = 26 \)
Ayşe'nin harcaması için denklem: \( x + 4y = 34 \)
Denklem sistemi şu şekildedir:
\[ \begin{array}{l} 3x + 2y = 26 \\ x + 4y = 34 \end{array} \] - 2. Adım: Yok Etme Yöntemini Uygulama
İkinci denklemi -3 ile çarparsak, \( x \) terimlerini yok edebiliriz:
\( -3(x + 4y) = -3(34) \)
\( -3x - 12y = -102 \)
Şimdi bu yeni denklemi ilk denklemle toplayalım:
\( (3x + 2y) + (-3x - 12y) = 26 + (-102) \)
\( 3x + 2y - 3x - 12y = 26 - 102 \)
\( -10y = -76 \) - 3. Adım: y Değerini Bulma
\( -10y = -76 \) denklemini çözelim:
\( y = \frac{-76}{-10} \)
\( y = 7.6 \) TL ✅ - 4. Adım: x Değerini Bulma
Bulduğumuz \( y = 7.6 \) değerini ikinci denklemde yerine koyalım:
\( x + 4y = 34 \)
\( x + 4(7.6) = 34 \)
\( x + 30.4 = 34 \)
\( x = 34 - 30.4 \)
\( x = 3.6 \) TL ✅ - Sonuç: 1 kg elmanın fiyatı 3.6 TL ve 1 kg portakalın fiyatı 7.6 TL'dir. 💰
Örnek 4:
Bir sınıfta bulunan erkek ve kız öğrencilerin toplam sayısı 40'tır.
Erkek öğrencilerin sayısının 2 katı, kız öğrencilerin sayısının 3 katından 5 fazladır.
Bu sınıfta kaç erkek ve kaç kız öğrenci vardır? 🧑🎓👩🎓
Erkek öğrencilerin sayısının 2 katı, kız öğrencilerin sayısının 3 katından 5 fazladır.
Bu sınıfta kaç erkek ve kaç kız öğrenci vardır? 🧑🎓👩🎓
Çözüm:
Bu problemi çözmek için erkek öğrenci sayısını \( e \) ve kız öğrenci sayısını \( k \) ile göstererek bir denklem sistemi kuralım.
- 1. Adım: Denklem Sistemini Kurma
Toplam öğrenci sayısı: \( e + k = 40 \)
Erkeklerin sayısının 2 katı, kızların sayısının 3 katından 5 fazladır: \( 2e = 3k + 5 \)
Denklem sistemi:
\[ \begin{array}{l} e + k = 40 \\ 2e = 3k + 5 \end{array} \] - 2. Adım: İkinci Denklemi Düzenleme
İkinci denklemi standart forma getirelim: \( 2e - 3k = 5 \) - 3. Adım: Yerine Koyma Yöntemini Kullanma
İlk denklemden \( e \) veya \( k \) yalnız bırakılabilir. \( e = 40 - k \) ifadesini ikinci denklemde yerine koyalım:
\( 2(40 - k) - 3k = 5 \) - 4. Adım: k Değerini Bulma
Denklemi çözelim:
\( 80 - 2k - 3k = 5 \)
\( 80 - 5k = 5 \)
\( -5k = 5 - 80 \)
\( -5k = -75 \)
\( k = \frac{-75}{-5} \)
\( k = 15 \) kız öğrenci ✅ - 5. Adım: e Değerini Bulma
Bulduğumuz \( k = 15 \) değerini ilk denklemde yerine koyalım:
\( e + 15 = 40 \)
\( e = 40 - 15 \)
\( e = 25 \) erkek öğrenci ✅ - Sonuç: Sınıfta 25 erkek ve 15 kız öğrenci vardır. 🥳
Örnek 5:
Bir kitabın fiyatı, bir derginin fiyatından 10 TL fazladır.
Bir kitap ve iki dergi birlikte 35 TL'ye satılmaktadır.
Buna göre, bir kitabın fiyatı kaç TL'dir? 📚
Bir kitap ve iki dergi birlikte 35 TL'ye satılmaktadır.
Buna göre, bir kitabın fiyatı kaç TL'dir? 📚
Çözüm:
Kitabın fiyatını \( k \) ve derginin fiyatını \( d \) ile gösterelim.
- 1. Adım: Denklem Sistemini Kurma
Bir kitabın fiyatı, bir derginin fiyatından 10 TL fazladır: \( k = d + 10 \)
Bir kitap ve iki dergi birlikte 35 TL'ye satılmaktadır: \( k + 2d = 35 \)
Denklem sistemi:
\[ \begin{array}{l} k = d + 10 \\ k + 2d = 35 \end{array} \] - 2. Adım: Yerine Koyma Yöntemini Uygulama
İlk denklemdeki \( k \) ifadesini ikinci denklemde yerine koyalım:
\( (d + 10) + 2d = 35 \) - 3. Adım: d Değerini Bulma
Denklemi çözelim:
\( d + 10 + 2d = 35 \)
\( 3d + 10 = 35 \)
\( 3d = 35 - 10 \)
\( 3d = 25 \)
\( d = \frac{25}{3} \) TL - 4. Adım: k Değerini Bulma
Bulduğumuz \( d = \frac{25}{3} \) değerini ilk denklemde yerine koyalım:
\( k = d + 10 \)
\( k = \frac{25}{3} + 10 \)
\( k = \frac{25}{3} + \frac{30}{3} \)
\( k = \frac{55}{3} \) TL ✅ - Sonuç: Bir kitabın fiyatı \( \frac{55}{3} \) TL'dir. Bu yaklaşık olarak 18.33 TL'dir. 📖
Örnek 6:
Bir otobüs firmasında bilet fiyatları belirlenirken, tam bilet ve öğrenci bileti olmak üzere iki farklı tarife uygulanmaktadır.
5 tam bilet ve 3 öğrenci bileti alan bir grup toplam 210 TL ödemiştir.
Aynı firma için 2 tam bilet ve 4 öğrenci bileti alan başka bir grup ise toplam 160 TL ödemiştir.
Buna göre, bir tam bilet ve bir öğrenci biletinin fiyatı kaç TL'dir? 🚌
5 tam bilet ve 3 öğrenci bileti alan bir grup toplam 210 TL ödemiştir.
Aynı firma için 2 tam bilet ve 4 öğrenci bileti alan başka bir grup ise toplam 160 TL ödemiştir.
Buna göre, bir tam bilet ve bir öğrenci biletinin fiyatı kaç TL'dir? 🚌
Çözüm:
Tam bilet fiyatını \( t \) ve öğrenci bileti fiyatını \( ö \) ile gösterelim.
- 1. Adım: Denklem Sistemini Kurma
İlk grubun ödemesi: \( 5t + 3ö = 210 \)
İkinci grubun ödemesi: \( 2t + 4ö = 160 \)
Denklem sistemi:
\[ \begin{array}{l} 5t + 3ö = 210 \\ 2t + 4ö = 160 \end{array} \] - 2. Adım: Denklemleri Sadeleştirme (İsteğe Bağlı)
İkinci denklemdeki tüm terimler 2'ye bölünebilir: \( t + 2ö = 80 \)
Yeni denklem sistemi:
\[ \begin{array}{l} 5t + 3ö = 210 \\ t + 2ö = 80 \end{array} \] - 3. Adım: Yok Etme Yöntemini Uygulama
İkinci denklemi -5 ile çarparsak, \( t \) terimlerini yok edebiliriz:
\( -5(t + 2ö) = -5(80) \)
\( -5t - 10ö = -400 \)
Şimdi bu yeni denklemi ilk denklemle toplayalım:
\( (5t + 3ö) + (-5t - 10ö) = 210 + (-400) \)
\( 5t + 3ö - 5t - 10ö = 210 - 400 \)
\( -7ö = -190 \) - 4. Adım: ö Değerini Bulma
\( -7ö = -190 \) denklemini çözelim:
\( ö = \frac{-190}{-7} \)
\( ö = \frac{190}{7} \) TL - 5. Adım: t Değerini Bulma
Bulduğumuz \( ö = \frac{190}{7} \) değerini \( t + 2ö = 80 \) denkleminde yerine koyalım:
\( t + 2\left(\frac{190}{7}\right) = 80 \)
\( t + \frac{380}{7} = 80 \)
\( t = 80 - \frac{380}{7} \)
\( t = \frac{560}{7} - \frac{380}{7} \)
\( t = \frac{180}{7} \) TL ✅ - Sonuç: Bir tam biletin fiyatı \( \frac{180}{7} \) TL ve bir öğrenci biletinin fiyatı \( \frac{190}{7} \) TL'dir. 💸
Örnek 7:
İki bilinmeyenli birinci dereceden bir denklem sisteminin çözüm kümesi \( \{(a, b)\} \) olarak verilmiştir.
Denklem sistemi şöyledir:
1) \( 3x - 2y = 7 \)
2) \( 5x + ky = 1 \)
Eğer \( a = 1 \) ise, \( k \) ve \( b \) değerlerini bulunuz. 🧐
Denklem sistemi şöyledir:
1) \( 3x - 2y = 7 \)
2) \( 5x + ky = 1 \)
Eğer \( a = 1 \) ise, \( k \) ve \( b \) değerlerini bulunuz. 🧐
Çözüm:
Verilen \( a = 1 \) değeri, denklem sisteminin çözüm kümesindeki \( x \) değerinin 1 olduğunu gösterir. Bu bilgiyi kullanarak \( b \) değerini ve ardından \( k \) değerini bulabiliriz.
- 1. Adım: b Değerini Bulma
\( x = 1 \) değerini birinci denklemde yerine koyalım:
\( 3(1) - 2y = 7 \)
\( 3 - 2y = 7 \)
\( -2y = 7 - 3 \)
\( -2y = 4 \)
\( y = \frac{4}{-2} \)
\( y = -2 \)
Dolayısıyla, \( b = -2 \)'dir. ✅ - 2. Adım: k Değerini Bulma
Şimdi \( x = 1 \) ve \( y = -2 \) değerlerini ikinci denklemde yerine koyarak \( k \) değerini bulalım:
\( 5x + ky = 1 \)
\( 5(1) + k(-2) = 1 \)
\( 5 - 2k = 1 \)
\( -2k = 1 - 5 \)
\( -2k = -4 \)
\( k = \frac{-4}{-2} \)
\( k = 2 \) ✅ - Sonuç: \( k = 2 \) ve \( b = -2 \)'dir. 👉
Örnek 8:
İki bilinmeyenli birinci dereceden denklem sisteminin grafiği çizildiğinde, doğrular birbirini tek bir noktada kesiyorsa bu sistemin tek çözüm kümesi vardır.
Eğer doğrular birbirine paralel ise çözüm kümesi boş kümedir.
Doğrular çakışık ise sonsuz çözüm kümesi vardır.
Aşağıdaki denklem sisteminin kaç çözümü olduğunu inceleyiniz:
1) \( 4x - 6y = 10 \)
2) \( 6x - 9y = 15 \)
❓
Eğer doğrular birbirine paralel ise çözüm kümesi boş kümedir.
Doğrular çakışık ise sonsuz çözüm kümesi vardır.
Aşağıdaki denklem sisteminin kaç çözümü olduğunu inceleyiniz:
1) \( 4x - 6y = 10 \)
2) \( 6x - 9y = 15 \)
❓
Çözüm:
Bu denklem sisteminin kaç çözümü olduğunu anlamak için, denklemlerin katsayıları arasındaki ilişkiye bakabiliriz.
- 1. Adım: Denklemleri Sadeleştirme
İlk denklemi 2'ye bölelim: \( 2x - 3y = 5 \)
İkinci denklemi 3'e bölelim: \( 2x - 3y = 5 \) - 2. Adım: Katsayıları Karşılaştırma
Her iki denklem de sadeleştirildiğinde aynı denkleme ulaştık: \( 2x - 3y = 5 \).
Bu durum, doğruların birbirine çakışık olduğu anlamına gelir.
Genel olarak, \( a_1x + b_1y = c_1 \) ve \( a_2x + b_2y = c_2 \) denklemleri için:
- Tek çözüm: \( \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \)
- Çözüm yok (paralel): \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \)
- Sonsuz çözüm (çakışık): \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \)
\( a_1 = 4, b_1 = -6, c_1 = 10 \)
\( a_2 = 6, b_2 = -9, c_2 = 15 \)
\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)
\( \frac{b_1}{b_2} = \frac{-6}{-9} = \frac{2}{3} \)
\( \frac{c_1}{c_2} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3} \)
Katsayıların oranı \( \frac{2}{3} = \frac{2}{3} = \frac{2}{3} \) olduğundan, doğrular çakışıktır. ✅ - Sonuç: Bu denklem sisteminin sonsuz çözüm kümesi vardır. ♾️
Örnek 9:
Bir çiftçi, tarlasına mısır ve buğday ekmiştir.
Toplam ektiği alan 120 dönümdür.
Mısır ekili alanın 2 katı, buğday ekili alanın 3 katından 30 dönüm fazladır.
Buna göre, çiftçi kaç dönüm alana mısır ekmiştir? 🌽🌾
Toplam ektiği alan 120 dönümdür.
Mısır ekili alanın 2 katı, buğday ekili alanın 3 katından 30 dönüm fazladır.
Buna göre, çiftçi kaç dönüm alana mısır ekmiştir? 🌽🌾
Çözüm:
Mısır ekili alanı \( m \) ve buğday ekili alanı \( b \) ile gösterelim.
- 1. Adım: Denklem Sistemini Kurma
Toplam ekili alan: \( m + b = 120 \)
Mısır ekili alanın 2 katı, buğday ekili alanın 3 katından 30 dönüm fazladır: \( 2m = 3b + 30 \)
Denklem sistemi:
\[ \begin{array}{l} m + b = 120 \\ 2m = 3b + 30 \end{array} \] - 2. Adım: İkinci Denklemi Düzenleme
İkinci denklemi standart forma getirelim: \( 2m - 3b = 30 \) - 3. Adım: Yerine Koyma Yöntemini Kullanma
İlk denklemden \( b = 120 - m \) ifadesini ikinci denklemde yerine koyalım:
\( 2m - 3(120 - m) = 30 \) - 4. Adım: m Değerini Bulma
Denklemi çözelim:
\( 2m - 360 + 3m = 30 \)
\( 5m - 360 = 30 \)
\( 5m = 30 + 360 \)
\( 5m = 390 \)
\( m = \frac{390}{5} \)
\( m = 78 \) dönüm ✅ - Sonuç: Çiftçi 78 dönüm alana mısır ekmiştir. 🚜
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-iki-bilinmeyenli-birinci-dereceden-denklem/sorular