💡 10. Sınıf Matematik: Gerçek sayılardan tanımlı rasyonel fonksiyonlar ve nitel özellikleri Çözümlü Örnekler
1
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Rasyonel Fonksiyon Tanımı ve Tanım Kümesi
Aşağıda verilen \( f(x) \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz:
\[ f(x) = \frac{2x + 8}{x - 5} \]
Çözüm ve Açıklama
Rasyonel bir fonksiyonun tanımlı olabilmesi için paydanın sıfırdan farklı olması gerekir. 💡
Adım 1: Paydayı sıfıra eşitleyen değeri bulalım.
\( x - 5 = 0 \)
\( x = 5 \)
Adım 2: Bu değer fonksiyonu tanımsız yapar. Dolayısıyla tanım kümesi, tüm gerçek sayılardan bu değerin çıkarılmasıyla bulunur.
Sonuç: Tanım Kümesi = \( \mathbb{R} - \{5\} \)
✅ Bu fonksiyon, \( x = 5 \) dışındaki tüm gerçek sayılar için tanımlıdır.
2
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Fonksiyon Değeri Hesaplama
\( f(x) = \frac{x^2 + 1}{x + 2} \) fonksiyonu veriliyor. Buna göre \( f(3) \) değerini hesaplayınız.
Çözüm ve Açıklama
Bir fonksiyonun belirli bir noktadaki değerini bulmak için değişkene o değeri veririz. 📝
Adım 1: Fonksiyonda \( x \) gördüğümüz her yere \( 3 \) yazalım.
\( f(3) = \frac{3^2 + 1}{3 + 2} \)
Adım 2: İşlemleri sırasıyla yapalım.
\( f(3) = \frac{9 + 1}{5} \)
\( f(3) = \frac{10}{5} \)
Sonuç: \( f(3) = 2 \)
👉 Görüldüğü üzere rasyonel ifadelerde pay ve paydayı ayrı ayrı hesaplayıp bölme işlemini tamamlıyoruz.
3
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Tanım Kümesinden Parametre Bulma
\( f(x) = \frac{4x - 7}{ax + 12} \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi \( \mathbb{R} - \{3\} \) olduğuna göre \( a \) kaçtır?
Çözüm ve Açıklama
Tanım kümesinden çıkarılan değer, paydayı sıfır yapan değerdir. 📌
Adım 1: \( x = 3 \) değeri paydayı sıfır yapmalıdır.
\( a \cdot 3 + 12 = 0 \)
Adım 2: Denklemi çözelim.
\( 3a = -12 \)
\( a = \frac{-12}{3} \)
Sonuç: \( a = -4 \)
✅ Eğer \( a = -4 \) olursa, payda \( -4x + 12 \) olur ve \( x = 3 \) için tanımsız hale gelir.
4
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Tüm Gerçek Sayılarda Tanımlı Olma Şartı
Aşağıdaki fonksiyonun tüm gerçek sayılarda tanımlı olduğunu gösteriniz ve nedenini açıklayınız:
\[ g(x) = \frac{x + 5}{x^2 + 4} \]
Çözüm ve Açıklama
Bir rasyonel fonksiyonun tüm gerçek sayılarda tanımlı olması için paydasının asla sıfır olmaması gerekir. 🔍
Adım 1: Paydayı sıfıra eşitlemeye çalışalım.
\( x^2 + 4 = 0 \)
\( x^2 = -4 \)
Adım 2: Gerçek sayılar kümesinde hiçbir sayının karesi negatif olamaz.
Yani, \( x^2 \geq 0 \) olduğu için \( x^2 + 4 \) ifadesi her zaman en az \( 4 \) olur.
Sonuç: Payda hiçbir \( x \) gerçek sayısı için sıfır olmaz. Bu yüzden fonksiyonun tanım kümesi \( \mathbb{R} \)'dir.
💡 Not: Paydada \( x^2 + a \) (burada \( a > 0 \)) biçiminde bir ifade varsa, fonksiyon daima tanımlıdır.
5
Çözümlü Örnek
Zor Seviye
Fonksiyonun Görüntü Kümesi ve Sabitlik
\( f(x) = \frac{ax + 6}{2x - 4} \) fonksiyonu bir sabit fonksiyon olduğuna göre \( a \) değerini bulunuz.
Çözüm ve Açıklama
Rasyonel bir fonksiyonun sabit fonksiyon olması için pay ve paydasındaki aynı dereceli terimlerin katsayıları orantılı olmalıdır. ⚖️
Adım 1: Katsayılar arası oranı kuralım.
\( \frac{a}{2} = \frac{6}{-4} \)
Adım 2: İçler dışlar çarpımı yaparak \( a \) değerini bulalım.
\( -4 \cdot a = 2 \cdot 6 \)
\( -4a = 12 \)
\( a = -3 \)
Kontrol: \( a = -3 \) ise \( f(x) = \frac{-3x + 6}{2x - 4} = \frac{-3(x - 2)}{2(x - 2)} = -1.5 \) olur.
✅ Fonksiyon \( x = 2 \) hariç her yerde \( -1.5 \) değerini aldığı için sabit fonksiyondur.
6
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Ortalama Maliyet Analizi
Bir teknoloji firması, yeni bir kulaklık üretmek için \( 5000 \) TL sabit kurulum maliyeti ve üretilen her kulaklık başına \( 150 \) TL değişken maliyet harcamaktadır. Üretilen \( x \) adet kulaklık için ortalama maliyet fonksiyonu \( M(x) \) nasıl ifade edilir? 50 adet kulaklık üretilirse bir kulaklığın ortalama maliyeti kaç TL olur?
Çözüm ve Açıklama
Günlük hayatta rasyonel fonksiyonlar birim başına düşen maliyeti hesaplamak için kullanılır. 🎧
Adım 1: Toplam maliyet fonksiyonunu yazalım.
Toplam Maliyet = Sabit Maliyet + (Birim Maliyet \( \cdot \) Adet)
\( T(x) = 5000 + 150x \)
Adım 2: Ortalama maliyet, toplam maliyetin adet sayısına bölünmesidir.
💰 50 adet üretildiğinde, kulaklık başına düşen ortalama maliyet 250 TL'dir.
7
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Karışım Problemi ve Fonksiyonlar
İçinde \( 20 \) gram tuz bulunan \( 100 \) gramlık bir tuz-su karışımına \( x \) gram saf su ekleniyor. Yeni karışımın tuz oranını veren \( f(x) \) fonksiyonunu yazınız ve \( 300 \) gram su eklendiğinde tuz oranının yüzde kaç olacağını bulunuz.
Çözüm ve Açıklama
Karışım problemlerinde oran, istenen maddenin toplam miktara bölünmesiyle bulunur. 🧪
Adım 1: Fonksiyonu oluşturalım.
Tuz miktarı değişmiyor: \( 20 \) gram.
Yeni toplam kütle: \( 100 + x \) gram.
\( f(x) = \frac{20}{100 + x} \)
Adım 2: \( 300 \) gram su eklendiğinde (\( x = 300 \)) oranı bulalım.
Alanı sabit ve \( 48 \) birimkare olan bir dikdörtgenin bir kenar uzunluğu \( x \) birimdir. Bu dikdörtgenin çevresini \( x \) cinsinden veren \( C(x) \) fonksiyonunu yazınız. Bu fonksiyonun tanım kümesi ne olmalıdır?
Çözüm ve Açıklama
Geometrik şekillerin özellikleri rasyonel fonksiyonlarla modellenebilir. 📐
Adım 1: Diğer kenarı bulalım.
Alan = \( x \cdot y = 48 \) ise diğer kenar \( y = \frac{48}{x} \) olur.
Sonuç: Tanım kümesi \( (0, \infty) \) yani tüm pozitif gerçek sayılardır.
🌟 Bu modelleme, bir kenar değiştikçe çevrenin nasıl değiştiğini analiz etmemizi sağlar.
10. Sınıf Matematik: Gerçek sayılardan tanımlı rasyonel fonksiyonlar ve nitel özellikleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Rasyonel Fonksiyon Tanımı ve Tanım Kümesi
Aşağıda verilen \( f(x) \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz:
\[ f(x) = \frac{2x + 8}{x - 5} \]
Çözüm:
Rasyonel bir fonksiyonun tanımlı olabilmesi için paydanın sıfırdan farklı olması gerekir. 💡
Adım 1: Paydayı sıfıra eşitleyen değeri bulalım.
\( x - 5 = 0 \)
\( x = 5 \)
Adım 2: Bu değer fonksiyonu tanımsız yapar. Dolayısıyla tanım kümesi, tüm gerçek sayılardan bu değerin çıkarılmasıyla bulunur.
Sonuç: Tanım Kümesi = \( \mathbb{R} - \{5\} \)
✅ Bu fonksiyon, \( x = 5 \) dışındaki tüm gerçek sayılar için tanımlıdır.
Örnek 2:
Fonksiyon Değeri Hesaplama
\( f(x) = \frac{x^2 + 1}{x + 2} \) fonksiyonu veriliyor. Buna göre \( f(3) \) değerini hesaplayınız.
Çözüm:
Bir fonksiyonun belirli bir noktadaki değerini bulmak için değişkene o değeri veririz. 📝
Adım 1: Fonksiyonda \( x \) gördüğümüz her yere \( 3 \) yazalım.
\( f(3) = \frac{3^2 + 1}{3 + 2} \)
Adım 2: İşlemleri sırasıyla yapalım.
\( f(3) = \frac{9 + 1}{5} \)
\( f(3) = \frac{10}{5} \)
Sonuç: \( f(3) = 2 \)
👉 Görüldüğü üzere rasyonel ifadelerde pay ve paydayı ayrı ayrı hesaplayıp bölme işlemini tamamlıyoruz.
Örnek 3:
Tanım Kümesinden Parametre Bulma
\( f(x) = \frac{4x - 7}{ax + 12} \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi \( \mathbb{R} - \{3\} \) olduğuna göre \( a \) kaçtır?
Çözüm:
Tanım kümesinden çıkarılan değer, paydayı sıfır yapan değerdir. 📌
Adım 1: \( x = 3 \) değeri paydayı sıfır yapmalıdır.
\( a \cdot 3 + 12 = 0 \)
Adım 2: Denklemi çözelim.
\( 3a = -12 \)
\( a = \frac{-12}{3} \)
Sonuç: \( a = -4 \)
✅ Eğer \( a = -4 \) olursa, payda \( -4x + 12 \) olur ve \( x = 3 \) için tanımsız hale gelir.
Örnek 4:
Tüm Gerçek Sayılarda Tanımlı Olma Şartı
Aşağıdaki fonksiyonun tüm gerçek sayılarda tanımlı olduğunu gösteriniz ve nedenini açıklayınız:
\[ g(x) = \frac{x + 5}{x^2 + 4} \]
Çözüm:
Bir rasyonel fonksiyonun tüm gerçek sayılarda tanımlı olması için paydasının asla sıfır olmaması gerekir. 🔍
Adım 1: Paydayı sıfıra eşitlemeye çalışalım.
\( x^2 + 4 = 0 \)
\( x^2 = -4 \)
Adım 2: Gerçek sayılar kümesinde hiçbir sayının karesi negatif olamaz.
Yani, \( x^2 \geq 0 \) olduğu için \( x^2 + 4 \) ifadesi her zaman en az \( 4 \) olur.
Sonuç: Payda hiçbir \( x \) gerçek sayısı için sıfır olmaz. Bu yüzden fonksiyonun tanım kümesi \( \mathbb{R} \)'dir.
💡 Not: Paydada \( x^2 + a \) (burada \( a > 0 \)) biçiminde bir ifade varsa, fonksiyon daima tanımlıdır.
Örnek 5:
Fonksiyonun Görüntü Kümesi ve Sabitlik
\( f(x) = \frac{ax + 6}{2x - 4} \) fonksiyonu bir sabit fonksiyon olduğuna göre \( a \) değerini bulunuz.
Çözüm:
Rasyonel bir fonksiyonun sabit fonksiyon olması için pay ve paydasındaki aynı dereceli terimlerin katsayıları orantılı olmalıdır. ⚖️
Adım 1: Katsayılar arası oranı kuralım.
\( \frac{a}{2} = \frac{6}{-4} \)
Adım 2: İçler dışlar çarpımı yaparak \( a \) değerini bulalım.
\( -4 \cdot a = 2 \cdot 6 \)
\( -4a = 12 \)
\( a = -3 \)
Kontrol: \( a = -3 \) ise \( f(x) = \frac{-3x + 6}{2x - 4} = \frac{-3(x - 2)}{2(x - 2)} = -1.5 \) olur.
✅ Fonksiyon \( x = 2 \) hariç her yerde \( -1.5 \) değerini aldığı için sabit fonksiyondur.
Örnek 6:
Ortalama Maliyet Analizi
Bir teknoloji firması, yeni bir kulaklık üretmek için \( 5000 \) TL sabit kurulum maliyeti ve üretilen her kulaklık başına \( 150 \) TL değişken maliyet harcamaktadır. Üretilen \( x \) adet kulaklık için ortalama maliyet fonksiyonu \( M(x) \) nasıl ifade edilir? 50 adet kulaklık üretilirse bir kulaklığın ortalama maliyeti kaç TL olur?
Çözüm:
Günlük hayatta rasyonel fonksiyonlar birim başına düşen maliyeti hesaplamak için kullanılır. 🎧
Adım 1: Toplam maliyet fonksiyonunu yazalım.
Toplam Maliyet = Sabit Maliyet + (Birim Maliyet \( \cdot \) Adet)
\( T(x) = 5000 + 150x \)
Adım 2: Ortalama maliyet, toplam maliyetin adet sayısına bölünmesidir.
💰 50 adet üretildiğinde, kulaklık başına düşen ortalama maliyet 250 TL'dir.
Örnek 7:
Karışım Problemi ve Fonksiyonlar
İçinde \( 20 \) gram tuz bulunan \( 100 \) gramlık bir tuz-su karışımına \( x \) gram saf su ekleniyor. Yeni karışımın tuz oranını veren \( f(x) \) fonksiyonunu yazınız ve \( 300 \) gram su eklendiğinde tuz oranının yüzde kaç olacağını bulunuz.
Çözüm:
Karışım problemlerinde oran, istenen maddenin toplam miktara bölünmesiyle bulunur. 🧪
Adım 1: Fonksiyonu oluşturalım.
Tuz miktarı değişmiyor: \( 20 \) gram.
Yeni toplam kütle: \( 100 + x \) gram.
\( f(x) = \frac{20}{100 + x} \)
Adım 2: \( 300 \) gram su eklendiğinde (\( x = 300 \)) oranı bulalım.
Alanı sabit ve \( 48 \) birimkare olan bir dikdörtgenin bir kenar uzunluğu \( x \) birimdir. Bu dikdörtgenin çevresini \( x \) cinsinden veren \( C(x) \) fonksiyonunu yazınız. Bu fonksiyonun tanım kümesi ne olmalıdır?
Çözüm:
Geometrik şekillerin özellikleri rasyonel fonksiyonlarla modellenebilir. 📐
Adım 1: Diğer kenarı bulalım.
Alan = \( x \cdot y = 48 \) ise diğer kenar \( y = \frac{48}{x} \) olur.