💡 10. Sınıf Matematik: Gerçek sayılardan tanımlı rasyonel fonksiyonlar ve nitel özellikleri Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Gerçek sayılardan tanımlı rasyonel fonksiyonlar ve nitel özellikleri Çözümlü Örnekler
Aşağıda verilen \( f(x) \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz:
\[ f(x) = \frac{2x + 8}{x - 5} \]- Adım 1: Paydayı sıfıra eşitleyen değeri bulalım.
- \( x - 5 = 0 \)
- \( x = 5 \)
- Adım 2: Bu değer fonksiyonu tanımsız yapar. Dolayısıyla tanım kümesi, tüm gerçek sayılardan bu değerin çıkarılmasıyla bulunur.
- Sonuç: Tanım Kümesi = \( \mathbb{R} - \{5\} \)
\( f(x) = \frac{x^2 + 1}{x + 2} \) fonksiyonu veriliyor. Buna göre \( f(3) \) değerini hesaplayınız.
- Adım 1: Fonksiyonda \( x \) gördüğümüz her yere \( 3 \) yazalım.
- \( f(3) = \frac{3^2 + 1}{3 + 2} \)
- Adım 2: İşlemleri sırasıyla yapalım.
- \( f(3) = \frac{9 + 1}{5} \)
- \( f(3) = \frac{10}{5} \)
- Sonuç: \( f(3) = 2 \)
\( f(x) = \frac{4x - 7}{ax + 12} \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi \( \mathbb{R} - \{3\} \) olduğuna göre \( a \) kaçtır?
- Adım 1: \( x = 3 \) değeri paydayı sıfır yapmalıdır.
- \( a \cdot 3 + 12 = 0 \)
- Adım 2: Denklemi çözelim.
- \( 3a = -12 \)
- \( a = \frac{-12}{3} \)
- Sonuç: \( a = -4 \)
Aşağıdaki fonksiyonun tüm gerçek sayılarda tanımlı olduğunu gösteriniz ve nedenini açıklayınız:
\[ g(x) = \frac{x + 5}{x^2 + 4} \]- Adım 1: Paydayı sıfıra eşitlemeye çalışalım.
- \( x^2 + 4 = 0 \)
- \( x^2 = -4 \)
- Adım 2: Gerçek sayılar kümesinde hiçbir sayının karesi negatif olamaz.
- Yani, \( x^2 \geq 0 \) olduğu için \( x^2 + 4 \) ifadesi her zaman en az \( 4 \) olur.
- Sonuç: Payda hiçbir \( x \) gerçek sayısı için sıfır olmaz. Bu yüzden fonksiyonun tanım kümesi \( \mathbb{R} \)'dir.
\( f(x) = \frac{ax + 6}{2x - 4} \) fonksiyonu bir sabit fonksiyon olduğuna göre \( a \) değerini bulunuz.
- Adım 1: Katsayılar arası oranı kuralım.
- \( \frac{a}{2} = \frac{6}{-4} \)
- Adım 2: İçler dışlar çarpımı yaparak \( a \) değerini bulalım.
- \( -4 \cdot a = 2 \cdot 6 \)
- \( -4a = 12 \)
- \( a = -3 \)
- Kontrol: \( a = -3 \) ise \( f(x) = \frac{-3x + 6}{2x - 4} = \frac{-3(x - 2)}{2(x - 2)} = -1.5 \) olur.
Bir teknoloji firması, yeni bir kulaklık üretmek için \( 5000 \) TL sabit kurulum maliyeti ve üretilen her kulaklık başına \( 150 \) TL değişken maliyet harcamaktadır. Üretilen \( x \) adet kulaklık için ortalama maliyet fonksiyonu \( M(x) \) nasıl ifade edilir? 50 adet kulaklık üretilirse bir kulaklığın ortalama maliyeti kaç TL olur?
- Adım 1: Toplam maliyet fonksiyonunu yazalım.
- Toplam Maliyet = Sabit Maliyet + (Birim Maliyet \( \cdot \) Adet)
- \( T(x) = 5000 + 150x \)
- Adım 2: Ortalama maliyet, toplam maliyetin adet sayısına bölünmesidir.
- \( M(x) = \frac{5000 + 150x}{x} \)
- Adım 3: \( x = 50 \) için değeri hesaplayalım.
- \( M(50) = \frac{5000 + 150 \cdot 50}{50} \)
- \( M(50) = \frac{5000 + 7500}{50} = \frac{12500}{50} \)
- Sonuç: \( M(50) = 250 \) TL
İçinde \( 20 \) gram tuz bulunan \( 100 \) gramlık bir tuz-su karışımına \( x \) gram saf su ekleniyor. Yeni karışımın tuz oranını veren \( f(x) \) fonksiyonunu yazınız ve \( 300 \) gram su eklendiğinde tuz oranının yüzde kaç olacağını bulunuz.
- Adım 1: Fonksiyonu oluşturalım.
- Tuz miktarı değişmiyor: \( 20 \) gram.
- Yeni toplam kütle: \( 100 + x \) gram.
- \( f(x) = \frac{20}{100 + x} \)
- Adım 2: \( 300 \) gram su eklendiğinde (\( x = 300 \)) oranı bulalım.
- \( f(300) = \frac{20}{100 + 300} = \frac{20}{400} \)
- Adım 3: Bu oranı yüzdeye çevirelim.
- \( \frac{20}{400} = \frac{5}{100} \)
Alanı sabit ve \( 48 \) birimkare olan bir dikdörtgenin bir kenar uzunluğu \( x \) birimdir. Bu dikdörtgenin çevresini \( x \) cinsinden veren \( C(x) \) fonksiyonunu yazınız. Bu fonksiyonun tanım kümesi ne olmalıdır?
- Adım 1: Diğer kenarı bulalım.
- Alan = \( x \cdot y = 48 \) ise diğer kenar \( y = \frac{48}{x} \) olur.
- Adım 2: Çevre formülünü uygulayalım.
- Çevre = \( 2 \cdot (x + y) \)
- \( C(x) = 2 \cdot (x + \frac{48}{x}) \)
- Payda eşitleyerek yazarsak: \( C(x) = \frac{2x^2 + 96}{x} \)
- Adım 3: Tanım kümesini belirleyelim.
- Kenar uzunluğu negatif olamaz ve sıfır olamaz.
- Sonuç: Tanım kümesi \( (0, \infty) \) yani tüm pozitif gerçek sayılardır.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-gercek-sayilardan-tanimli-rasyonel-fonksiyonlar-ve-nitel-ozellikleri/sorular