💡 10. Sınıf Matematik: Fonksiyon Çeşitleri: İçine Fonksiyon ve Sıfır Fonksiyon Çözümlü Örnekler

Bir fonksiyonun içine fonksiyon olabilmesi için, değer kümesinde en az bir elemanın boşta kalması gerekir. Yani, değer kümesinin her elemanının tanım kümesinden bir elemanın görüntüsü olmaması durumudur.
Verilen A = {1, 2, 3} ve B = {a, b} kümeleri için f: A → B fonksiyonunda:

• Değer kümesi B = {a, b}'dir.
• Eğer fonksiyonun görüntü kümesi B'nin tam olarak kendisi değilse, yani görüntü kümesi B'nin bir alt kümesi ise ve B'deki tüm elemanlar görüntü kümesinde yer almıyorsa, bu fonksiyon içine fonksiyondur.

Örneğin, eğer f(1) = a, f(2) = b ve f(3) = a ise, görüntü kümesi {a, b} olur. Bu durumda değer kümesi B ile görüntü kümesi aynıdır. Bu fonksiyon içine fonksiyon değildir, örten fonksiyondur.
Ancak, eğer f(1) = a, f(2) = a ve f(3) = a ise, görüntü kümesi {a} olur. Bu durumda değer kümesi B = {a, b}'dir ve 'b' elemanı görüntü kümesinde yer almaz. Dolayısıyla bu fonksiyon içine fonksiyondur. ✅

Bir fonksiyonun sıfır fonksiyonu olabilmesi için, tanım kümesindeki her elemanın görüntüsünün 0 olması gerekir. Yani, f(x) = 0 olmalıdır.
Verilen f(x) = 3x - 6 fonksiyonu için:

• Eğer f(x) = 0 ise, 3x - 6 = 0 olmalıdır.
• Bu denklemi çözersek, 3x = 6 ve x = 2 buluruz.

Bu durum, sadece x = 2 değeri için f(x) = 0 olduğunu gösterir. Tanım kümesi olan ℝ'deki diğer tüm elemanlar için f(x) ≠ 0'dır.
Dolayısıyla, f(x) = 3x - 6 fonksiyonu sıfır fonksiyonu değildir. ❌

Bir fonksiyonun içine fonksiyon olması için, değer kümesinde en az bir elemanın tanım kümesindeki hiçbir elemanın görüntüsü olmaması gerekir.
Fonksiyonumuz f(x) = 2x ve tanım kümesi A = {−1, 0, 1}'dir.
Tanım kümesindeki elemanların görüntülerini hesaplayalım:

• f(−1) = 2 \times (−1) = −2
• f(0) = 2 \times 0 = 0
• f(1) = 2 \times 1 = 2

Görüntü kümesi {−2, 0, 2} olarak bulunur.
Değer kümemiz B = {−2, 0, 2}'dir.
Görüntü kümesi ile değer kümesi aynıdır. Değer kümesinde boşta kalan hiçbir eleman yoktur.
Bu nedenle, f(x) = 2x fonksiyonu içine fonksiyon değildir. Bu fonksiyon aynı zamanda örten fonksiyondur. 🔄

Sıfır fonksiyonu, tanım kümesindeki her elemanı 0'a eşleyen fonksiyondur. Yani, f(x) = 0 olmalıdır.
f(x) = x^2 - 4 fonksiyonu için f(x) = 0 denklemini kuralım:

• x^2 - 4 = 0
• x^2 = 4
• Buradan x = 2 veya x = -2 bulunur.

Bu sonuçlar, sadece x = 2 ve x = -2 değerleri için f(x)'in 0 olduğunu gösterir. Tanım kümesi olan ℤ (tam sayılar) içindeki diğer tüm elemanlar için f(x) ≠ 0'dır.
Örneğin, f(1) = 1^2 - 4 = -3 ≠ 0'dır.
Bu nedenle, f(x) = x^2 - 4 fonksiyonu sıfır fonksiyonu değildir. 🚫

Bir fonksiyonun içine fonksiyon olabilmesi için, değer kümesinde en az bir elemanın tanım kümesindeki hiçbir elemanın görüntüsü olmaması gerekir.
Verilenler:

• Tanım Kümesi (M) = {100 TL, 200 TL, 300 TL}
• Değer Kümesi (S) = {250 TL, 400 TL, 550 TL, 700 TL}
• f(100) = 250 TL
• f(200) = 400 TL
• f(300) = 550 TL

Fonksiyonun görüntü kümesi {250 TL, 400 TL, 550 TL}'dir.
Değer kümesi S = {250 TL, 400 TL, 550 TL, 700 TL}'dir.
Görüntü kümesinde yer almayan, yani boşta kalan bir eleman var mı diye kontrol edelim. Evet, değer kümesinde bulunan 700 TL elemanı, tanım kümesindeki hiçbir maliyetin satış fiyatı değildir.
Bu nedenle, f fonksiyonu içine fonksiyondur. ✅

Sıfır fonksiyonu, tanım kümesindeki her elemanın görüntüsünün 0 olması demektir. Yani, g(x) = 0 olmalıdır.
Verilenler:

• Tanım Kümesi (K) = {10, 20, 30, 40}
• Değer Kümesi (H) = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
• g(10) = 3
• g(20) = 2
• g(30) = 1
• g(40) = 0

Fonksiyonun tanım kümesindeki tüm elemanların görüntülerini kontrol edelim:

• g(10) = 3 ≠ 0
• g(20) = 2 ≠ 0
• g(30) = 1 ≠ 0
• g(40) = 0

Tanım kümesindeki 10, 20 ve 30 saatlik kodlama süreleri için hata sayısı 0 değildir. Sadece 40 saatlik kodlama süresi için hata sayısı 0'dır.
Bu nedenle, g fonksiyonu sıfır fonksiyonu değildir. ❌

Bir fonksiyonun içine fonksiyon olması için, değer kümesinde boşta kalan en az bir eleman olmalıdır.
Verilenler:

• Tanım Kümesi (N) = {101, 102, 103, 104}
• Değer Kümesi (B) = {Başarılı, Başarısız}
• f(101) = Başarılı
• f(102) = Başarılı
• f(103) = Başarısız
• f(104) = Başarılı

Fonksiyonun görüntü kümesi {Başarılı, Başarısız} olarak bulunur.
Değer kümesi B = {Başarılı, Başarısız}'dir.
Görüntü kümesi ile değer kümesi aynıdır. Değer kümesinde boşta kalan hiçbir eleman yoktur.
Bu nedenle, f fonksiyonu içine fonksiyon değildir. Bu fonksiyon aynı zamanda örten fonksiyondur. 👍

Sıfır fonksiyonu, tanım kümesindeki her elemanın görüntüsünün 0 olmasıdır. Ancak burada pH değerleri söz konusudur ve pH değerleri 0 değildir.
Fonksiyonumuz h: S → P'dir.

• Tanım Kümesi (S) = {20°C, 25°C, 30°C}
• Değer Kümesi (P) = {7.0, 7.1, 7.2, 7.3}
• h(20°C) = 7.2
• h(25°C) = 7.2
• h(30°C) = 7.3

Sıfır fonksiyonu tanımına göre, tanım kümesindeki her elemanın görüntüsünün 0 olması gerekir. Burada ölçülen pH değerleri 0 değildir.
Bu nedenle, h fonksiyonu sıfır fonksiyonu değildir. ❌
Ayrıca, görüntü kümesi {7.2, 7.3} olur. Değer kümesi P = {7.0, 7.1, 7.2, 7.3} olduğundan, 7.0 ve 7.1 pH değerleri boşta kaldığı için bu fonksiyon içine fonksiyondur. 💡

Bir fonksiyonun içine fonksiyon olabilmesi için, değer kümesinde en az bir elemanın tanım kümesindeki hiçbir elemanın görüntüsü olmaması gerekir.
f(x) = x + 5 fonksiyonunda, tanım kümesi ℤ (tüm tam sayılar) ve değer kümesi de ℤ'dir.
Herhangi bir y tam sayısı için, f(x) = y denklemini düşünelim:

• x + 5 = y
• x = y - 5

Bu denklemden görüyoruz ki, her y tam sayısı için, y - 5 de bir tam sayıdır. Bu da demektir ki, değer kümesindeki her elemanın tanım kümesinde bir karşılığı vardır. Yani, değer kümesinde boşta kalan hiçbir eleman yoktur.
Bu nedenle, f(x) = x + 5 fonksiyonu içine fonksiyon değildir. Bu fonksiyon aynı zamanda örten fonksiyondur. ✅

Sıfır Fonksiyonu Olup Olmadığı:

• Sıfır fonksiyonu, tanım kümesindeki her elemanın görüntüsünün 0 olmasıdır.
• Verilen g(x) = 0 fonksiyonunda, tanım kümesi olan ℝ'deki her x elemanı için g(x) = 0'dır.
• Bu nedenle, g(x) = 0 fonksiyonu sıfır fonksiyonudur. ✅

İçine Fonksiyon Olup Olmadığı:

• Bir fonksiyonun içine fonksiyon olabilmesi için, değer kümesinde boşta kalan en az bir eleman olmalıdır.
• g(x) = 0 fonksiyonunda, değer kümesi ℝ'dir.
• Fonksiyonun görüntü kümesi sadece {0} elemanından oluşur.
• Değer kümesi ℝ olduğundan ve görüntü kümesi sadece {0} olduğundan, 0 dışındaki tüm reel sayılar değer kümesinde boşta kalır.
• Bu nedenle, g(x) = 0 fonksiyonu içine fonksiyondur. 💡

Özetle, g(x) = 0 fonksiyonu hem sıfır fonksiyonudur hem de içine fonksiyondur.