💡 10. Sınıf Matematik: Faktöryeller Çözümlü Örnekler

Faktöriyel, bir pozitif tam sayının kendisinden başlayarak 1'e kadar olan tüm pozitif tam sayılarla çarpımını ifade eder. 💡
1. \( 5! \) demek, 5'ten başlayıp 1'e kadar olan sayıların çarpımıdır. 2. Yani, \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \) şeklinde yazılır. 3. Çarpma işlemini yapalım:

• \( 5 \times 4 = 20 \)
• \( 20 \times 3 = 60 \)
• \( 60 \times 2 = 120 \)
• \( 120 \times 1 = 120 \)

4. Sonuç olarak, \( 5! = 120 \) olur. ✅

Bu tür işlemlerde, paydadaki faktöriyeli paydaki faktöriyelin içine kadar açarak sadeleştirme yapabiliriz. Bu, işlemi kolaylaştırır. ✨
1. \( 7! \) ifadesini \( 5! \) 'ye kadar açalım: \( 7! = 7 \times 6 \times 5! \) 2. Şimdi kesri yeniden yazalım: \( \frac{7 \times 6 \times 5!}{5!} \) 3. Pay ve paydadaki \( 5! \) ifadeleri sadeleşir. 👉 \( \frac{7 \times 6 \times \cancel{5!}}{\cancel{5!}} \) 4. Geriye kalan çarpma işlemini yapalım: \( 7 \times 6 = 42 \) 5. Sonuç olarak, \( \frac{7!}{5!} = 42 \) bulunur. 🎉

Büyük faktöriyelleri, sadeleştirme yapabileceğimiz en küçük faktöriyele kadar açmak, hesaplamayı kolaylaştırır. 💡
1. Paydaki \( 8! \) ifadesini, paydadaki en büyük faktöriyel olan \( 6! \) 'ye kadar açalım: \( 8! = 8 \times 7 \times 6! \) 2. Kesri yeniden düzenleyelim: \( \frac{8 \times 7 \times 6!}{6! \times 2!} \) 3. Pay ve paydadaki \( 6! \) ifadelerini sadeleştirelim: \( \frac{8 \times 7 \times \cancel{6!}}{\cancel{6!} \times 2!} \) 4. Geriye \( \frac{8 \times 7}{2!} \) ifadesi kalır. 5. \( 2! \) 'nin değerini hesaplayalım: \( 2! = 2 \times 1 = 2 \) 6. İşlemi tamamlayalım: \( \frac{8 \times 7}{2} = \frac{56}{2} \) 7. Sonuç: \( \frac{56}{2} = 28 \) ✅

Bu tür denklemlerde, faktöriyelleri birbirine benzeterek sadeleştirme yapmak önemlidir. 🔑
1. Denklemin sol tarafındaki \( (n+1)! \) ifadesini, \( n! \) cinsinden yazalım: \( (n+1)! = (n+1) \times n! \) 2. Bu ifadeyi denklemde yerine koyalım: \( (n+1) \times n! = 6 \times n! \) 3. Her iki tarafta da \( n! \) olduğu için, \( n! \) ile sadeleştirme yapabiliriz ( \( n! \) sıfırdan farklıdır). 👉 \( (n+1) \times \cancel{n!} = 6 \times \cancel{n!} \) 4. Geriye \( n+1 = 6 \) denklemi kalır. 5. \( n \) değerini bulmak için 1'i karşıya atalım: \( n = 6 - 1 \) 6. Sonuç olarak, \( n = 5 \) bulunur. ✅

Bu problem, permütasyonun temel mantığını kullanarak faktöriyel ile çözülebilir. Her pozisyon için farklı bir seçenek vardır. 🌟
1. Fotoğraf çekimi için 5 öğrenci var ve yan yana dizilecekler. 2. En soldaki pozisyona 5 öğrenciden herhangi biri gelebilir. Bu durum için 5 seçenek vardır. 3. İkinci pozisyona kalan 4 öğrenciden herhangi biri gelebilir. Bu durum için 4 seçenek vardır. 4. Üçüncü pozisyona kalan 3 öğrenciden herhangi biri gelebilir. Bu durum için 3 seçenek vardır. 5. Dördüncü pozisyona kalan 2 öğrenciden herhangi biri gelebilir. Bu durum için 2 seçenek vardır. 6. Son (beşinci) pozisyona ise kalan son 1 öğrenci gelir. Bu durum için 1 seçenek vardır. 7. Toplam farklı dizilim sayısını bulmak için bu seçenekleri çarparız: \( 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \) 8. Bu çarpım, \( 5! \) faktöriyelinin tanımıdır. 9. Dolayısıyla, \( 5! = 120 \) farklı şekilde dizilebilirler. ✅

Bu, temel faktöriyel mantığının günlük hayattaki basit bir uygulamasıdır. Nesnelerin farklı sıralanışlarını hesaplarız. 💡
1. Vitrinde 3 farklı çeşit kurabiye var. 2. Bu kurabiyeleri yan yana dizmenin farklı yollarını bulmak istiyoruz. 3. İlk boşluğa 3 kurabiye çeşidinden herhangi biri konulabilir. (3 seçenek) 4. İkinci boşluğa kalan 2 kurabiye çeşidinden herhangi biri konulabilir. (2 seçenek) 5. Üçüncü ve son boşluğa ise kalan son 1 kurabiye çeşidi konulur. (1 seçenek) 6. Toplam farklı dizilim sayısını bulmak için bu seçenekleri çarparız: \( 3 \times 2 \times 1 \) 7. Bu çarpım, \( 3! \) faktöriyeline eşittir. 8. Sonuç olarak, \( 3! = 6 \) farklı şekilde dizebilirler. 🎉

Bu tür denklemlerde, büyük faktöriyeli küçük faktöriyele kadar açarak sadeleştirme yapmak anahtar noktadır. 🔑
1. Denklemin sol tarafındaki \( (n+2)! \) ifadesini, \( n! \) cinsinden açalım: \( (n+2)! = (n+2) \times (n+1) \times n! \) 2. Bu ifadeyi denklemde yerine koyalım: \( \frac{(n+2) \times (n+1) \times n!}{n!} = 12 \) 3. Pay ve paydadaki \( n! \) ifadelerini sadeleştirelim: \( (n+2) \times (n+1) = 12 \) 4. Şimdi bu ikinci dereceden denklemi çözelim. İfadeyi açalım: \( n^2 + n + 2n + 2 = 12 \) 5. Denklemi düzenleyelim: \( n^2 + 3n + 2 = 12 \) 6. Tüm terimleri bir tarafa toplayarak standart ikinci derece denklem formuna getirelim: \( n^2 + 3n - 10 = 0 \) 7. Bu denklemi çarpanlarına ayırarak çözebiliriz. Çarpımları -10, toplamları +3 olan iki sayı 5 ve -2'dir. 8. Denklem şu hale gelir: \( (n+5)(n-2) = 0 \) 9. Bu denklemin çözümleri \( n = -5 \) veya \( n = 2 \) 'dir. 10. Ancak soruda \( n \) pozitif bir tam sayı olarak verilmiştir. Bu nedenle \( n = -5 \) çözümünü eleriz. 11. Sonuç olarak, \( n = 2 \) bulunur. ✅

Bu problem, önce kombinasyon mantığıyla bir grup seçme, ardından bu gruptan birini seçme adımlarını içerir. Faktöriyel bu adımlarda kullanılır. 🧠
1. Adım 1: 3 kişilik komiteyi seçme * 6 öğrenciden 3 kişilik bir komite seçeceğiz. Bu, sıra gözetilmeksizin bir seçim olduğu için kombinasyon kullanırız. * Kombinasyon formülü: \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) * Burada \( n=6 \) (toplam öğrenci sayısı) ve \( k=3 \) (komite üye sayısı). * \( C(6, 3) = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} \) * \( C(6, 3) = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3!}{3! \times (3 \times 2 \times 1)} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = \frac{120}{6} = 20 \) * Yani, 3 kişilik komite 20 farklı şekilde seçilebilir. ✅ 2. Adım 2: Komite içinden başkanı seçme * Seçilen 3 kişilik komiteden bir başkan seçilecek. * Bu seçim için 3 farklı öğrenci arasından 1 kişi seçileceği için 3 seçenek vardır. 👉 3 farklı başkan adayı. 3. Adım 3: Toplam farklı seçim sayısını bulma * Toplam farklı seçim sayısını bulmak için, komite seçimi ve başkan seçimi olasılıklarını çarparız. * Toplam Seçim = (Komite Seçim Sayısı) \( \times \) (Başkan Seçim Sayısı) * Toplam Seçim = \( 20 \times 3 = 60 \) Sonuç olarak, bu seçim 60 farklı şekilde yapılabilir. 🥳