🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Doğrusal fonksiyonun nitel özellikleri ve tersinin bulunması Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Doğrusal fonksiyonun nitel özellikleri ve tersinin bulunması Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Soru:
\( f: R \rightarrow R \) olmak üzere,
\( f: R \rightarrow R \) olmak üzere,
\( f(x) = 4x - 12 \)
fonksiyonunun tersi olan \( f^{-1}(x) \) fonksiyonunu bulunuz. 💡
Çözüm:
Doğrusal bir fonksiyonun tersini bulmak için adım adım şu işlemler uygulanır:
\[ f^{-1}(x) = \frac{x + 12}{4} \] ✅
- 1. Adım: Fonksiyon denkleminde \( f(x) \) yerine \( y \) yazılır.
\( y = 4x - 12 \) - 2. Adım: Denklemdeki \( x \) değişkeni yalnız bırakılır.
\( y + 12 = 4x \)
\( x = \frac{y + 12}{4} \) - 3. Adım: Son aşamada \( x \) yerine \( f^{-1}(x) \), \( y \) yerine ise \( x \) yazılarak ters fonksiyon elde edilir.
\[ f^{-1}(x) = \frac{x + 12}{4} \] ✅
Örnek 2:
Soru:
\( f(x) = \frac{2x + 5}{3} \) fonksiyonu veriliyor.
\( f(x) = \frac{2x + 5}{3} \) fonksiyonu veriliyor.
Buna göre, \( f^{-1}(7) \) değerini hesaplayınız. 📌
Çözüm:
Bu soruyu iki farklı yöntemle çözebiliriz. En pratik yolu tercih edelim:
\( f^{-1}(7) = 8 \) olarak bulunur. 🎯
- Kural: \( f(a) = b \) ise \( f^{-1}(b) = a \) kuralını hatırla.
- Uygulama: \( f^{-1}(7) = k \) olsun. Bu durumda \( f(k) = 7 \) olmalıdır.
- Denklemi Kurma: Fonksiyonda \( x \) yerine \( k \) yazıp \( 7 \) sayısına eşitleyelim:
\( \frac{2k + 5}{3} = 7 \) - Çözüm:
\( 2k + 5 = 21 \)
\( 2k = 16 \)
\( k = 8 \)
\( f^{-1}(7) = 8 \) olarak bulunur. 🎯
Örnek 3:
Soru:
\( f(x) = (2m - 10)x + 7 \) doğrusal fonksiyonu azalan bir fonksiyon olduğuna göre, \( m \) tam sayısının alabileceği en büyük değeri bulunuz. 📉
\( f(x) = (2m - 10)x + 7 \) doğrusal fonksiyonu azalan bir fonksiyon olduğuna göre, \( m \) tam sayısının alabileceği en büyük değeri bulunuz. 📉
Çözüm:
Doğrusal fonksiyonların nitel özelliklerini inceleyelim:
\( m \) sayısı \( 5 \) sayısından küçük olmalıdır. Bu şartı sağlayan en büyük tam sayı değeri \( 4 \) olur. 🚀
- Bilgi: \( f(x) = ax + b \) fonksiyonunda \( a \) katsayısı (eğim), fonksiyonun artan veya azalan olmasını belirler.
- Kural 1: Eğer \( a > 0 \) ise fonksiyon artandır.
- Kural 2: Eğer \( a < 0 \) ise fonksiyon azalandır.
- Çözüm: Soruda fonksiyonun azalan olduğu belirtilmiştir. Bu yüzden \( x \) katsayısı negatif olmalıdır:
\( 2m - 10 < 0 \) - Eşitsizliği Çözelim:
\( 2m < 10 \)
\( m < 5 \)
\( m \) sayısı \( 5 \) sayısından küçük olmalıdır. Bu şartı sağlayan en büyük tam sayı değeri \( 4 \) olur. 🚀
Örnek 4:
Soru:
Bir taksi durağında taksimetre açılış ücreti \( 20 \) TL ve gidilen her kilometre başına alınan ücret \( 15 \) TL'dir.
Bir taksi durağında taksimetre açılış ücreti \( 20 \) TL ve gidilen her kilometre başına alınan ücret \( 15 \) TL'dir.
Gidilen yolu \( x \) (km), toplam ücreti \( f(x) \) (TL) ile gösteren fonksiyonun tersini bulunuz ve bu ters fonksiyonun neyi ifade ettiğini açıklayınız. 🚕
Çözüm:
Öncelikle doğrusal fonksiyonumuzu kuralım:
Orijinal fonksiyon \( f(x) \), mesafeye bağlı olarak ödenecek ücreti hesaplar.
Ters fonksiyon \( f^{-1}(x) \) ise, ödenen toplam ücret bilindiğinde kaç kilometre yol gidildiğini hesaplamaya yarar. 🛣️
- Fonksiyon: \( f(x) = 15x + 20 \)
- Tersini Bulma:
\( y = 15x + 20 \)
\( y - 20 = 15x \)
\( x = \frac{y - 20}{15} \) - Ters Fonksiyon:
\( f^{-1}(x) = \frac{x - 20}{15} \)
Orijinal fonksiyon \( f(x) \), mesafeye bağlı olarak ödenecek ücreti hesaplar.
Ters fonksiyon \( f^{-1}(x) \) ise, ödenen toplam ücret bilindiğinde kaç kilometre yol gidildiğini hesaplamaya yarar. 🛣️
Örnek 5:
Soru:
\( f(x) = \frac{3x - 4}{2x - 8} \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi \( A \) ve görüntü kümesi \( B \) olduğuna göre, \( R - A \) ve \( R - B \) kümelerinin elemanlarını bulunuz. 🔍
\( f(x) = \frac{3x - 4}{2x - 8} \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi \( A \) ve görüntü kümesi \( B \) olduğuna göre, \( R - A \) ve \( R - B \) kümelerinin elemanlarını bulunuz. 🔍
Çözüm:
Bu soru, fonksiyonun ve tersinin tanımlı olma şartları ile ilgilidir:
\( R - A = \{4\} \) ve \( R - B = \{1.5\} \). ✨
- Tanım Kümesi (A): Paydayı sıfır yapan değer tanım kümesinden çıkarılır.
\( 2x - 8 = 0 \Rightarrow x = 4 \). Yani \( R - A = \{4\} \). - Görüntü Kümesi (B): Fonksiyonun tersinin paydasını sıfır yapan değer görüntü kümesinden çıkarılır.
\( f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} \) tipindeki fonksiyonların tersi \( f^{-1}(x) = \frac{-dx + b}{cx - a} \) şeklindedir. - Tersini Bulalım:
\( f^{-1}(x) = \frac{8x - 4}{2x - 3} \) - Tersinin Paydası: \( 2x - 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2} \). Yani \( R - B = \{\frac{3}{2}\} \).
\( R - A = \{4\} \) ve \( R - B = \{1.5\} \). ✨
Örnek 6:
Soru:
Bir su deposunda başlangıçta \( 100 \) litre su bulunmaktadır. Deponun altındaki musluk açıldığında su miktarı her saat \( 5 \) litre azalmaktadır.
Bir su deposunda başlangıçta \( 100 \) litre su bulunmaktadır. Deponun altındaki musluk açıldığında su miktarı her saat \( 5 \) litre azalmaktadır.
Depodaki su miktarının zamana göre değişimini gösteren fonksiyon \( g(x) \) olduğuna göre, \( g^{-1}(40) \) değeri kaçtır? 💧
Çözüm:
Adım adım problemi modelleyelim:
\( 12 \) saat sonra depoda \( 40 \) litre su kalır. Yani \( g^{-1}(40) = 12 \) olur. 🕒
- Fonksiyonu Yazma: Başlangıç \( 100 \), azalma miktarı saatte \( 5 \).
\( g(x) = 100 - 5x \) - İstenen: \( g^{-1}(40) \) değerini bulmak. Bu, "Depoda ne zaman \( 40 \) litre su kalır?" sorusunun cevabıdır.
- Denklemi Çözme:
\( 100 - 5x = 40 \)
\( 100 - 40 = 5x \)
\( 60 = 5x \)
\( x = 12 \)
\( 12 \) saat sonra depoda \( 40 \) litre su kalır. Yani \( g^{-1}(40) = 12 \) olur. 🕒
Örnek 7:
Soru:
\( f(2x + 3) = 6x - 1 \) olduğuna göre, \( f^{-1}(x) \) fonksiyonunu bulunuz. 🧠
\( f(2x + 3) = 6x - 1 \) olduğuna göre, \( f^{-1}(x) \) fonksiyonunu bulunuz. 🧠
Çözüm:
Bu tarz sorularda içteki ifadeyi \( x \) cinsinden dışarı çıkarmak veya değişken değiştirmek gerekir:
\[ f^{-1}(x) = \frac{x + 10}{3} \] 💎
- 1. Yöntem: \( 2x + 3 = t \) diyelim. Buradan \( x = \frac{t - 3}{2} \) olur.
- 2. Yöntem: \( x \) gördüğümüz yere \( \frac{x - 3}{2} \) yazarak \( f(x) \)'i bulalım.
\( f(x) = 6(\frac{x - 3}{2}) - 1 \)
\( f(x) = 3(x - 3) - 1 \)
\( f(x) = 3x - 9 - 1 = 3x - 10 \) - Tersini Bulma:
\( f(x) = 3x - 10 \) ise
\( y = 3x - 10 \Rightarrow y + 10 = 3x \Rightarrow x = \frac{y + 10}{3} \)
\[ f^{-1}(x) = \frac{x + 10}{3} \] 💎
Örnek 8:
Soru:
\( f(x) = 2x - 8 \) fonksiyonunun grafiğinin eksenleri kestiği noktaları bulunuz. 📊
\( f(x) = 2x - 8 \) fonksiyonunun grafiğinin eksenleri kestiği noktaları bulunuz. 📊
Çözüm:
Doğrusal fonksiyonların grafiği bir doğrudur ve eksenleri kestiği noktalar şu şekilde bulunur:
Fonksiyonun eğimi \( 2 \) (pozitif) olduğu için bu fonksiyon artan bir fonksiyondur. 📈
- y eksenini kestiği nokta: \( x = 0 \) verilir.
\( f(0) = 2(0) - 8 = -8 \). Nokta: \( (0, -8) \) - x eksenini kestiği nokta: \( f(x) = 0 \) (yani \( y = 0 \)) verilir.
\( 2x - 8 = 0 \)
\( 2x = 8 \)
\( x = 4 \). Nokta: \( (4, 0) \)
Fonksiyonun eğimi \( 2 \) (pozitif) olduğu için bu fonksiyon artan bir fonksiyondur. 📈
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-dogrusal-fonksiyonun-nitel-ozellikleri-ve-tersinin-bulunmasi/sorular