🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Doğru parçasının bölünmesi Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Doğru parçasının bölünmesi Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Analitik düzlemde A(2, 4) ve B(8, 12) noktaları veriliyor.
Bu iki noktayı birleştiren [AB] doğru parçasının orta noktasının koordinatlarını bulunuz. 📍
Çözüm:
Bir doğru parçasının orta noktasını bulmak için uç noktaların koordinatlarının aritmetik ortalaması alınır.
- Orta noktanın x koordinatı: \( x = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5 \)
- Orta noktanın y koordinatı: \( y = \frac{4 + 12}{2} = \frac{16}{2} = 8 \)
Örnek 2:
Analitik düzlemde A(1, 1) ve B(7, 13) noktaları verilmiştir.
[AB] doğru parçasını \( \frac{AC}{CB} = 2 \) oranında içten bölen C noktasının koordinatlarını bulunuz. 💡
Çözüm:
C noktası [AB] üzerinde olduğu için toplamda \( 2 + 1 = 3 \) birimlik bir yol vardır.
- x koordinatı için: A'dan B'ye x değeri \( 1 \)'den \( 7 \)'ye \( 6 \) birim artmıştır. 3 birimde 6 artış varsa, 1 birimde 2 artış olur. C noktası A'dan 2 birim uzaklıkta olduğu için \( 2 \times 2 = 4 \) artış olur. \( x = 1 + 4 = 5 \) bulunur.
- y koordinatı için: A'dan B'ye y değeri \( 1 \)'den \( 13 \)'e \( 12 \) birim artmıştır. 3 birimde 12 artış varsa, 1 birimde 4 artış olur. C noktası A'dan 2 birim uzaklıkta olduğu için \( 2 \times 4 = 8 \) artış olur. \( y = 1 + 8 = 9 \) bulunur.
Örnek 3:
Analitik düzlemde A(-2, 5) ve B(8, -5) noktaları veriliyor.
[AB] doğru parçasını \( \frac{AC}{BC} = \frac{3}{2} \) oranında içten bölen C noktasının koordinatlarını hesaplayınız. 📐
Çözüm:
Toplam oran \( 3 + 2 = 5 \) kat (k) olarak düşünülebilir.
- x değişimi: \( -2 \)'den \( 8 \)'e toplam \( 10 \) birim artış var. \( 5k = 10 \) ise \( k = 2 \) olur. AC arası \( 3k \) olduğu için \( 3 \times 2 = 6 \) birim artış eklenir: \( x = -2 + 6 = 4 \).
- y değişimi: \( 5 \)'ten \( -5 \)'e toplam \( 10 \) birim azalış var. \( 5k = 10 \) ise \( k = 2 \) olur. AC arası \( 3k \) olduğu için \( 3 \times 2 = 6 \) birim azalış uygulanır: \( y = 5 - 6 = -1 \).
Örnek 4:
A(1, 2) ve B(3, 4) noktaları veriliyor.
AB doğrusu üzerinde, [AB] doğru parçasının dışında olan ve \( AC = 3 \times BC \) şartını sağlayan, B noktasına daha yakın olan C noktasının koordinatlarını bulunuz. 🔍
Çözüm:
C noktası dışarıda ve B'ye daha yakınsa sıralama A - B - C şeklindedir.
- \( AC = 3 \times BC \) ise \( AB + BC = 3 \times BC \) olur. Buradan \( AB = 2 \times BC \) sonucuna varılır.
- x koordinatı: A(1) ile B(3) arasındaki fark 2 birimdir. Bu 2 birimlik mesafe \( 2k \) ise \( k = 1 \) olur. B'den C'ye \( k \) kadar gidileceği için \( x = 3 + 1 = 4 \) olur.
- y koordinatı: A(2) ile B(4) arasındaki fark 2 birimdir. Bu 2 birimlik mesafe \( 2k \) ise \( k = 1 \) olur. B'den C'ye \( k \) kadar gidileceği için \( y = 4 + 1 = 5 \) olur.
Örnek 5:
Bir ABCD paralelkenarında köşe koordinatları A(2, 3), B(5, 4) ve C(6, 7) olarak verilmiştir.
Buna göre D noktasının koordinatlarını bulunuz. 💎
Çözüm:
Paralelkenarda köşegenler birbirini ortalar. Bu nedenle karşılıklı köşelerin koordinatları toplamı birbirine eşittir.
- \( x_A + x_C = x_B + x_D \) kuralından: \( 2 + 6 = 5 + x_D \implies 8 = 5 + x_D \implies x_D = 3 \)
- \( y_A + y_C = y_B + y_D \) kuralından: \( 3 + 7 = 4 + y_D \implies 10 = 4 + y_D \implies y_D = 6 \)
Örnek 6:
Analitik düzlemde A(k, 2) ve B(5, t) noktalarının orta noktası C(3, 4) olduğuna göre \( k + t \) toplamı kaçtır? 📝
Çözüm:
Orta nokta formülünü kullanarak bilinmeyenleri bulalım:
- Apsisler için: \( \frac{k + 5}{2} = 3 \implies k + 5 = 6 \implies k = 1 \)
- Ordinatlar için: \( \frac{2 + t}{2} = 4 \implies 2 + t = 8 \implies t = 6 \)
- Toplam: \( k + t = 1 + 6 = 7 \)
Örnek 7:
Bir belediye, A(10, 20) ve B(70, 50) noktalarında bulunan iki aydınlatma direğinin arasına, bu direklerle aynı hizada olacak şekilde yeni bir direk dikecektir.
Yeni dikilecek C direğinin A direğine olan uzaklığı, B direğine olan uzaklığının yarısı olacaktır. C noktası A ve B arasındadır. Bu direğin koordinatları ne olmalıdır? 🏗️
Çözüm:
Soruda verilen \( AC = \frac{BC}{2} \) ifadesi, \( BC = 2 \times AC \) anlamına gelir. Yani oran \( \frac{AC}{BC} = \frac{1}{2} \)'dir.
- Toplam mesafe \( 1 + 2 = 3 \) birim (3k) kabul edilir.
- x ekseni: 10'dan 70'e değişim \( 60 \). \( 3k = 60 \implies k = 20 \). C noktası A'dan \( k \) kadar uzaklıkta olduğu için \( x = 10 + 20 = 30 \).
- y ekseni: 20'den 50'ye değişim \( 30 \). \( 3k = 30 \implies k = 10 \). C noktası A'dan \( k \) kadar uzaklıkta olduğu için \( y = 20 + 10 = 30 \).
Örnek 8:
Bir kargo uçağı A(-5, -10) noktasından kalkıp doğrusal bir rota izleyerek B(15, 30) noktasına iniş yapacaktır.
Uçak yolun %40'ını tamamladığında uçağın bulunduğu C noktasının koordinatlarını bulunuz. ✈️
Çözüm:
Yolun %40'ı demek, \( \frac{40}{100} = \frac{2}{5} \) demektir. Yani \( \frac{AC}{AB} = \frac{2}{5} \) oranını kullanacağız.
- x koordinatı: -5'ten 15'e toplam değişim \( 15 - (-5) = 20 \). Bu değişimin \( \frac{2}{5} \)'i: \( 20 \times \frac{2}{5} = 8 \). Başlangıç noktasına eklersek: \( x = -5 + 8 = 3 \).
- y koordinatı: -10'dan 30'ye toplam değişim \( 30 - (-10) = 40 \). Bu değişimin \( \frac{2}{5} \)'i: \( 40 \times \frac{2}{5} = 16 \). Başlangıç noktasına eklersek: \( y = -10 + 16 = 6 \).
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-dogru-parcasinin-bolunmesi/sorular