🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Dik üçgenler Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Dik üçgenler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABCD dikdörtgeninde uzun kenar \( AB = 12 \) birim ve kısa kenar \( BC = 5 \) birimdir.
Bu dikdörtgenin AC köşegeninin uzunluğu kaç birimdir? 📏
Bu dikdörtgenin AC köşegeninin uzunluğu kaç birimdir? 📏
Çözüm:
Dikdörtgenin iç açıları \( 90^\circ \) olduğu için ABC üçgeni bir dik üçgendir.
Çözüm adımları:
Çözüm adımları:
- Dikdörtgende köşeler diktir, bu nedenle \( m(ABC) = 90^\circ \) olur.
- ABC dik üçgeninde Pisagor Teoremi uygulanır: \( AC^2 = AB^2 + BC^2 \)
- Değerleri yerine yazalım: \( AC^2 = 12^2 + 5^2 \)
- \( AC^2 = 144 + 25 \)
- \( AC^2 = 169 \)
- Her iki tarafın karekökü alındığında: \( AC = 13 \) birim bulunur.
Örnek 2:
Bir ABCD paralelkenarında \( AD = 10 \) birimdir. A köşesinden geçen iç açı \( 60^\circ \) olarak verilmiştir.
D köşesinden [AB] kenarına indirilen yüksekliğin (h) uzunluğu kaç birimdir? 📐
D köşesinden [AB] kenarına indirilen yüksekliğin (h) uzunluğu kaç birimdir? 📐
Çözüm:
D noktasından [AB] kenarına bir dikme indirelim ve bu noktaya H diyelim.
Oluşan ADH üçgeni bir 30-60-90 özel dik üçgenidir.
Oluşan ADH üçgeni bir 30-60-90 özel dik üçgenidir.
- 90 derecenin karşısındaki kenar (hipotenüs) \( AD = 10 \) birimdir.
- 30-60-90 üçgeni kuralına göre, 30 derecenin karşısındaki kenar hipotenüsün yarısıdır: \( AH = 10 \div 2 = 5 \) birim.
- 60 derecenin karşısındaki kenar (yükseklik h), 30 derecenin karşısındaki kenarın \( \sqrt{3} \) katıdır.
- Bu durumda yükseklik: \( h = 5\sqrt{3} \) birim olarak bulunur.
Örnek 3:
Bir ABCD dik yamuğunda [AD] kenarı [AB] ve [DC] tabanlarına diktir.
Köşegenler dik kesişmektedir. Üst taban \( DC = 4 \) cm ve alt taban \( AB = 9 \) cm olduğuna göre, yamuğun yüksekliği (AD) kaç cm'dir? 📌
Köşegenler dik kesişmektedir. Üst taban \( DC = 4 \) cm ve alt taban \( AB = 9 \) cm olduğuna göre, yamuğun yüksekliği (AD) kaç cm'dir? 📌
Çözüm:
Dik yamukta köşegenler dik kesiştiğinde, yüksekliğin karesi tabanların çarpımına eşittir. Bu, Öklid Teoremi'nin bir uygulamasıdır.
- Yüksekliğe \( h \) diyelim.
- Bağıntı: \( h^2 = AB \times DC \)
- Değerleri yerleştirelim: \( h^2 = 9 \times 4 \)
- \( h^2 = 36 \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \( h = 6 \) cm.
Örnek 4:
Bir ABCD karesinin bir kenar uzunluğu \( 4\sqrt{2} \) cm'dir.
Bu karenin köşegen uzunluğu ile bir kenar uzunluğunun toplamı kaç cm'dir? 💎
Bu karenin köşegen uzunluğu ile bir kenar uzunluğunun toplamı kaç cm'dir? 💎
Çözüm:
Karede köşegen, kenarlar ile \( 45^\circ \) lik açılar yapar. Bu da bir 45-45-90 (ikizkenar dik üçgen) oluşturur.
- Karenin bir kenarı \( a = 4\sqrt{2} \) cm.
- 45-45-90 üçgeni kuralına göre hipotenüs (köşegen), dik kenarın \( \sqrt{2} \) katıdır.
- Köşegen uzunluğu \( e = a \times \sqrt{2} \)
- \( e = 4\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 4 \times 2 = 8 \) cm.
- Soru bizden köşegen ile kenar toplamını istiyor: \( 8 + 4\sqrt{2} \) cm.
Örnek 5:
Bir itfaiye merdiveni, yerden 12 metre yükseklikteki bir pencereye ulaşmak için duvara yaslanmıştır.
Merdivenin alt ucunun duvara olan uzaklığı 5 metre olduğuna göre, itfaiye merdiveninin boyu kaç metredir? 🚒
Merdivenin alt ucunun duvara olan uzaklığı 5 metre olduğuna göre, itfaiye merdiveninin boyu kaç metredir? 🚒
Çözüm:
Bu problemde duvar, zemin ve merdiven bir dik üçgen oluşturur.
- Dikey kenar (duvar yüksekliği): \( a = 12 \) metre.
- Yatay kenar (duvar ile mesafe): \( b = 5 \) metre.
- Hipotenüs (merdiven boyu): \( x \) olsun.
- Pisagor Teoremi: \( x^2 = 12^2 + 5^2 \)
- \( x^2 = 144 + 25 = 169 \)
- \( x = 13 \) metre.
Örnek 6:
Bir parkta yapılacak engelli rampasının yüksekliği 3 metre, rampanın eğimli kısmının uzunluğu ise 5 metre olarak planlanmıştır.
Rampanın zeminde kapladığı yatay mesafe kaç metredir? ♿
Rampanın zeminde kapladığı yatay mesafe kaç metredir? ♿
Çözüm:
Rampanın tasarımı bir dik üçgen modelidir.
- Rampanın yüksekliği (karşı dik kenar): \( 3 \) metre.
- Rampanın eğimli yolu (hipotenüs): \( 5 \) metre.
- Yatay mesafe (komşu dik kenar): \( y \) olsun.
- Pisagor bağıntısından: \( 3^2 + y^2 = 5^2 \)
- \( 9 + y^2 = 25 \)
- \( y^2 = 16 \)
- \( y = 4 \) metre.
Örnek 7:
Köşegen uzunlukları \( 16 \) cm ve \( 30 \) cm olan bir eşkenar dörtgenin bir kenar uzunluğu kaç cm'dir? 💠
Çözüm:
Eşkenar dörtgenin en önemli iki özelliği: Köşegenler birbirini dik keser ve ortalar.
- Köşegenler birbirini ortaladığı için dik üçgenin kenarları: \( 16 \div 2 = 8 \) cm ve \( 30 \div 2 = 15 \) cm olur.
- Merkezde oluşan dik üçgende kenarlar 8 cm ve 15 cm'dir.
- Eşkenar dörtgenin bir kenarı bu üçgenin hipotenüsüdür.
- \( x^2 = 8^2 + 15^2 \)
- \( x^2 = 64 + 225 = 289 \)
- \( x = 17 \) cm.
Örnek 8:
Kısa kenarı 10 birim, uzun kenarı 20 birim olan dikdörtgen şeklindeki bir kağıt, bir köşesinden katlanarak kısa kenarı uzun kenarının üzerine getiriliyor.
Katlama sonucu oluşan üçgensel bölgenin alanı kaç birimkaredir? 📄
Katlama sonucu oluşan üçgensel bölgenin alanı kaç birimkaredir? 📄
Çözüm:
Kağıt katlandığında, katlanan köşe \( 90^\circ \) olduğu için bir dik üçgen oluşur.
- Kısa kenar (10 birim) uzun kenar üzerine katlandığında, oluşan dik üçgenin dik kenarlarından biri kağıdın kısa kenarı olan 10 birimdir.
- Katlama tam üst üste geldiği için bu bir ikizkenar dik üçgen (45-45-90) oluşturur.
- Dolayısıyla dik üçgenin diğer dik kenarı da 10 birim olur.
- Dik üçgenin alanı: \( (Dik Kenar \times Dik Kenar) \div 2 \)
- Alan \( = (10 \times 10) \div 2 \)
- Alan \( = 100 \div 2 = 50 \) birimkare bulunur.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-dik-ucgenler/sorular