🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Dik üçgende trigonometri oranlar Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Dik üçgende trigonometri oranlar Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
💡 Soru:
Bir ABC dik üçgeninde B açısının ölçüsü \( 90^\circ \) dir.
\( |AB| = 3 \) birim ve \( |BC| = 4 \) birim olduğuna göre, C açısının ölçüsü olan \( x \) açısı için \( \sin(x) \), \( \cos(x) \) ve \( \tan(x) \) değerlerini bulunuz.
Bir ABC dik üçgeninde B açısının ölçüsü \( 90^\circ \) dir.
\( |AB| = 3 \) birim ve \( |BC| = 4 \) birim olduğuna göre, C açısının ölçüsü olan \( x \) açısı için \( \sin(x) \), \( \cos(x) \) ve \( \tan(x) \) değerlerini bulunuz.
Çözüm:
📌 Çözüm:
Adım adım trigonometrik oranları hesaplayalım:
Adım adım trigonometrik oranları hesaplayalım:
- 1. Adım: Hipotenüs Uzunluğunu Bulma
Pisagor teoremini kullanarak hipotenüs olan \( |AC| \) uzunluğunu bulalım:
\[ |AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 \] \[ |AC|^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \] \[ |AC| = 5 \text{ birim} \] - 2. Adım: Trigonometrik Oranları Yazma
C açısına (\( x \)) göre kenarları belirleyelim:
Karşı dik kenar: \( |AB| = 3 \)
Komşu dik kenar: \( |BC| = 4 \)
Hipotenüs: \( |AC| = 5 \)
👉 \( \sin(x) = \frac{\text{Karşı dik kenar}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{3}{5} \)
👉 \( \cos(x) = \frac{\text{Komşu dik kenar}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{4}{5} \)
👉 \( \tan(x) = \frac{\text{Karşı dik kenar}}{\text{Komşu dik kenar}} = \frac{3}{4} \)
Örnek 2:
💡 Soru:
Bir dar açı olan \( x \) için \( \sin(x) = \frac{5}{13} \) olduğuna göre, \( \cos(x) + \tan(x) \) toplamının değerini hesaplayınız.
Bir dar açı olan \( x \) için \( \sin(x) = \frac{5}{13} \) olduğuna göre, \( \cos(x) + \tan(x) \) toplamının değerini hesaplayınız.
Çözüm:
📌 Çözüm:
Verilen trigonometrik orandan yola çıkarak diğer oranları bulalım:
Verilen trigonometrik orandan yola çıkarak diğer oranları bulalım:
- 1. Adım: Temsili Dik Üçgen Çizimi ve Kenarların Bulunması
Bir açısı \( x \) olan dik üçgen hayal edelim. \( \sin(x) = \frac{5}{13} \) olduğuna göre:
Karşı dik kenar = \( 5 \)
Hipotenüs = \( 13 \)
Pisagor teoreminden komşu dik kenarı bulalım:
\[ \text{Komşu}^2 + 5^2 = 13^2 \] \[ \text{Komşu}^2 + 25 = 169 \implies \text{Komşu}^2 = 144 \implies \text{Komşu} = 12 \] (Bu üçgen ünlü 5-12-13 özel dik üçgenidir.) - 2. Adım: İstenen Değerleri Hesaplama
Komşu kenarı \( 12 \) bulduğumuza göre:
👉 \( \cos(x) = \frac{\text{Komşu}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{12}{13} \)
👉 \( \tan(x) = \frac{\text{Karşı}}{\text{Komşu}} = \frac{5}{12} \)
- 3. Adım: Toplama İşlemi
\[ \cos(x) + \tan(x) = \frac{12}{13} + \frac{5}{12} \] Paydaları \( 156 \) sayısında eşitleyelim (birinci kesri \( 12 \) ile, ikinci kesri \( 13 \) ile genişletelim):
\[ \frac{144}{156} + \frac{65}{156} = \frac{209}{156} \]
Örnek 3:
💡 Soru:
Bir itfaiye merdiveni, yerle \( 60^\circ \) lik açı yapacak şekilde bir binanın duvarına yaslanmıştır. Merdivenin uzunluğu \( 12 \) metre olduğuna göre, merdivenin ulaştığı yüksekliğin kaç metre olduğunu bulunuz.
Bir itfaiye merdiveni, yerle \( 60^\circ \) lik açı yapacak şekilde bir binanın duvarına yaslanmıştır. Merdivenin uzunluğu \( 12 \) metre olduğuna göre, merdivenin ulaştığı yüksekliğin kaç metre olduğunu bulunuz.
Çözüm:
📌 Çözüm:
Bu problemi bir dik üçgen modeliyle çözelim:
Bu problemi bir dik üçgen modeliyle çözelim:
- 1. Adım: Modeli Kurma
Merdiven hipotenüs konumundadır ve uzunluğu \( 12 \) metredir.
Merdivenin yerle yaptığı açı \( 60^\circ \) dir.
Merdivenin ulaştığı yükseklik, bu açının karşı dik kenarıdır ve \( h \) ile gösterilsin. - 2. Adım: Trigonometrik Oranı Kullanma
Karşı kenar ve hipotenüs arasındaki ilişkiyi kurmak için sinüs oranını kullanırız:
\[ \sin(60^\circ) = \frac{h}{12} \] - 3. Adım: Değeri Yerine Yazma
\( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) olduğunu biliyoruz. Denklemde yerine yazalım:
\[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{12} \] İçler dışlar çarpımı yaparsak:
\[ 2 \cdot h = 12\sqrt{3} \implies h = 6\sqrt{3} \text{ metre} \]
Örnek 4:
💡 Soru:
ABCD bir karedir. E noktası [BC] kenarı üzerindedir.
\( |BE| = 3 \cdot |EC| \) olduğuna göre, m(EAB) = \( x \) açısının tanjant değerini bulunuz.
ABCD bir karedir. E noktası [BC] kenarı üzerindedir.
\( |BE| = 3 \cdot |EC| \) olduğuna göre, m(EAB) = \( x \) açısının tanjant değerini bulunuz.
Çözüm:
📌 Çözüm:
Karenin özelliklerini kullanarak adım adım ilerleyelim:
Karenin özelliklerini kullanarak adım adım ilerleyelim:
- 1. Adım: Kenar Uzunluklarını Belirleme
\( |EC| = k \) dersek, \( |BE| = 3k \) olur.
Bu durumda karenin bir kenar uzunluğu \( |BC| = |BE| + |EC| = 3k + k = 4k \) olur.
Kare olduğu için \( |AB| = 4k \) dir. - 2. Adım: Dik Üçgeni Belirleme
Karede B açısı \( 90^\circ \) olduğundan, ABE bir dik üçgendir.
Bu üçgende m(EAB) = \( x \) açısının tanjantını bulmak için karşı ve komşu kenarları oranlayalım:
Karşı dik kenar: \( |BE| = 3k \)
Komşu dik kenar: \( |AB| = 4k \) - 3. Adım: Oranı Hesaplama
\[ \tan(x) = \frac{|BE|}{|AB|} = \frac{3k}{4k} = \frac{3}{4} \]
Örnek 5:
💡 Soru:
Aşağıda verilen trigonometrik işlemin sonucunu hesaplayınız:
\[ \frac{\sin(30^\circ) + \cos(60^\circ)}{\tan(45^\circ)} \]
Aşağıda verilen trigonometrik işlemin sonucunu hesaplayınız:
\[ \frac{\sin(30^\circ) + \cos(60^\circ)}{\tan(45^\circ)} \]
Çözüm:
📌 Çözüm:
Özel açıların trigonometrik değerlerini hatırlayalım ve yerlerine yazalım:
Özel açıların trigonometrik değerlerini hatırlayalım ve yerlerine yazalım:
- 1. Adım: Değerleri Belirleme
👉 \( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \)
👉 \( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \)
👉 \( \tan(45^\circ) = 1 \) - 2. Adım: İşlemi Yapma
Değerleri ana formülde yerine koyalım:
\[ \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}{1} \] Pay kısmını toplarsak:
\[ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \] Sonuç:
\[ \frac{1}{1} = 1 \]
Örnek 6:
💡 Soru:
Bir okulun girişine engelli rampası yapılacaktır. Yönetmeliğe göre rampanın eğim açısının tanjant değeri en fazla \( \frac{1}{12} \) olmalıdır.
Okul girişinin yerden yüksekliği \( 50 \) cm olduğuna göre, bu yönetmeliğe uygun yapılacak en kısa rampanın yatay uzunluğu kaç metre olmalıdır?
Bir okulun girişine engelli rampası yapılacaktır. Yönetmeliğe göre rampanın eğim açısının tanjant değeri en fazla \( \frac{1}{12} \) olmalıdır.
Okul girişinin yerden yüksekliği \( 50 \) cm olduğuna göre, bu yönetmeliğe uygun yapılacak en kısa rampanın yatay uzunluğu kaç metre olmalıdır?
Çözüm:
📌 Çözüm:
Eğim ve dik üçgen ilişkisini kullanarak soruyu çözelim:
Eğim ve dik üçgen ilişkisini kullanarak soruyu çözelim:
- 1. Adım: Birimleri Eşitleme
Yükseklik \( 50 \) cm olarak verilmiştir. Metre cinsinden yazarsak:
\[ 50 \text{ cm} = 0.5 \text{ metre} \] - 2. Adım: Eğim Formülünü Kurma
Rampanın yatay uzunluğuna \( x \) metre diyelim.
Rampanın eğimi, dik üçgendeki karşı kenarın komşu kenara oranına yani tanjant değerine eşittir:
\[ \text{Eğim} = \tan(\theta) = \frac{\text{Dikey Yükseklik}}{\text{Yatay Uzunluk}} = \frac{0.5}{x} \] - 3. Adım: Eşitsizliği Çözme
Yönetmeliğe göre eğim en fazla \( \frac{1}{12} \) olmalıdır:
\[ \frac{0.5}{x} \le \frac{1}{12} \] İçler dışlar çarpımı yaparsak (yön değiştirmeden):
\[ 0.5 \cdot 12 \le x \implies 6 \le x \] Yatay uzunluk en az \( 6 \) metre olmalıdır.
Örnek 7:
💡 Soru:
Bir ABC dik üçgeninde A açısının ölçüsü \( 90^\circ \) dir. [AH] yüksekliği hipotenüse dik olarak indirilmiştir.
\( |BH| = 2 \) birim ve \( |HC| = 8 \) birim olduğuna göre, B açısının ölçüsü \( \beta \) olmak üzere \( \tan(\beta) \) değerini bulunuz.
Bir ABC dik üçgeninde A açısının ölçüsü \( 90^\circ \) dir. [AH] yüksekliği hipotenüse dik olarak indirilmiştir.
\( |BH| = 2 \) birim ve \( |HC| = 8 \) birim olduğuna göre, B açısının ölçüsü \( \beta \) olmak üzere \( \tan(\beta) \) değerini bulunuz.
Çözüm:
📌 Çözüm:
Öklid teoremi ve dik üçgende trigonometrik oranları bir arada kullanalım:
Öklid teoremi ve dik üçgende trigonometrik oranları bir arada kullanalım:
- 1. Adım: Öklid Teoremi ile Yüksekliği Bulma
Dik açılı üçgende hipotenüse ait yüksekliğin karesi, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların çarpımına eşittir:
\[ |AH|^2 = |BH| \cdot |HC| \] \[ |AH|^2 = 2 \cdot 8 = 16 \implies |AH| = 4 \text{ birim} \] - 2. Adım: ABH Dik Üçgeninde Trigonometrik Oranı Yazma
ABH dik üçgeninde H açısı \( 90^\circ \) dir ve B açısının ölçüsü \( \beta \) dır.
Bu üçgende \( \beta \) açısına göre:
Karşı dik kenar: \( |AH| = 4 \)
Komşu dik kenar: \( |BH| = 2 \)
Tanjant değerini yazalım:
\[ \tan(\beta) = \frac{|AH|}{|BH|} = \frac{4}{2} = 2 \]
Örnek 8:
💡 Soru:
Bir parkta bulunan ağacın gölgesinin boyu düz zeminde \( 15 \) metredir. Güneş ışınlarının yerle yaptığı açı \( 30^\circ \) olduğuna göre, bu ağacın boyu kaç metredir?
Bir parkta bulunan ağacın gölgesinin boyu düz zeminde \( 15 \) metredir. Güneş ışınlarının yerle yaptığı açı \( 30^\circ \) olduğuna göre, bu ağacın boyu kaç metredir?
Çözüm:
📌 Çözüm:
Gölge boyu ve ağaç yüksekliğini dik üçgen yardımıyla modelleyelim:
Gölge boyu ve ağaç yüksekliğini dik üçgen yardımıyla modelleyelim:
- 1. Adım: Üçgen Elemanlarını Belirleme
Ağacın boyu dikey kenardır ve \( h \) diyelim.
Gölgenin boyu yatay kenardır ve \( 15 \) metredir.
Güneş ışınlarının yerle yaptığı açı \( 30^\circ \) dir. Bu açı, gölgenin bittiği uç noktadaki açıdır. - 2. Adım: Tanjant Oranını Kullanma
Açının karşısındaki kenar \( h \), komşusundaki kenar \( 15 \) metredir:
\[ \tan(30^\circ) = \frac{h}{15} \] - 3. Adım: Hesaplama
\( \tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3} \) olduğunu biliyoruz. Yerine yazalım:
\[ \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{h}{15} \] İçler dışlar çarpımı yaparsak:
\[ 3 \cdot h = 15\sqrt{3} \implies h = 5\sqrt{3} \text{ metre} \]
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-dik-ucgende-trigonometri-oranlar/sorular