📄 10. Sınıf Matematik: Bölme Bölünebilme Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

1. Sayının 4 ile bölümünden kalan 2 ise, son iki basamağı olan \(b2\) sayısının 4 ile bölümünden kalan 2 olmalıdır. \(b2\) sayısının 4 ile bölümünden kalan 2 olan değerleri \(b \in \{0, 2, 4, 6, 8\}\) şeklindedir.
2. Sayının 3 ile bölümünden kalan 1 ise, rakamları toplamının 3 ile bölümünden kalan 1 olmalıdır. Rakamları toplamı \(5+a+3+b+2 = 10+a+b\). Bu toplamın 3 ile bölümünden kalan 1 olmalı, yani \(10+a+b \equiv 1 \pmod{3}\). \(10 \equiv 1 \pmod{3}\) olduğu için \(1+a+b \equiv 1 \pmod{3}\) ve buradan \(a+b \equiv 0 \pmod{3}\) yani \(a+b\) toplamı 3'ün katı olmalıdır.
Şimdi \(b\)'nin her bir değeri için \(a\)'nın alabileceği değerleri bulalım:
- Eğer \(b=0\) ise, \(a+0\) yani \(a\) 3'ün katı olmalı. \(a \in \{0, 3, 6, 9\}\).
- Eğer \(b=2\) ise, \(a+2\) 3'ün katı olmalı. \(a \in \{1, 4, 7\}\).
- Eğer \(b=4\) ise, \(a+4\) 3'ün katı olmalı. \(a \in \{2, 5, 8\}\).
- Eğer \(b=6\) ise, \(a+6\) 3'ün katı olmalı. \(a \in \{0, 3, 6, 9\}\).
- Eğer \(b=8\) ise, \(a+8\) 3'ün katı olmalı. \(a \in \{1, 4, 7\}\).
\(a\) rakamının alabileceği tüm değerler kümesi, bu kümelerin birleşimidir: \(\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\). Bu değerlerin toplamı \(0+1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45\) olur.

💡 Çözüm Adımları:

1. Bir sayının 12 ile tam bölünebilmesi için, sayının aralarında asal çarpanları olan 3 ve 4 ile de tam bölünmesi gerekir. Yani hem 3 ile bölünebilme kuralını hem de 4 ile bölünebilme kuralını sağlamalıdır.
2. \(7x4y\) sayısının 12 ile tam bölünebilmesi için:
a) 4 ile bölünebilme kuralı: Sayının son iki basamağı olan \(4y\) sayısı 4'ün katı olmalıdır. Bu durumda \(y \in \{0, 4, 8\}\) olabilir.
b) 3 ile bölünebilme kuralı: Sayının rakamları toplamı 3'ün katı olmalıdır. Rakamları toplamı: \(7+x+4+y = 11+x+y\). Bu toplam 3'ün katı olmalıdır.
Şimdi \(y\)'nin her değeri için \(x\)'i bulalım:
- Eğer \(y=0\) ise, \(11+x+0 = 11+x\) 3'ün katı olmalı. \(x \in \{1, 4, 7\}\). Olası \((x,y)\) ikilileri: \((1,0), (4,0), (7,0)\).
- Eğer \(y=4\) ise, \(11+x+4 = 15+x\) 3'ün katı olmalı. \(x \in \{0, 3, 6, 9\}\). Olası \((x,y)\) ikilileri: \((0,4), (3,4), (6,4), (9,4)\).
- Eğer \(y=8\) ise, \(11+x+8 = 19+x\) 3'ün katı olmalı. \(x \in \{2, 5, 8\}\). Olası \((x,y)\) ikilileri: \((2,8), (5,8), (8,8)\).
\(x\) rakamının alabileceği tüm değerler: \(\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\).
\(y\) rakamının alabileceği tüm değerler: \(\{0, 4, 8\}\).

💡 Çözüm Adımları:

Bölme işleminin temel kuralı \(A = B \cdot Q + K\) ve \(K < B\) şeklindedir.
Verilen değerleri yerine yazalım:
\(505 = B \cdot 12 + 1\)
\(505 - 1 = B \cdot 12\)
\(504 = B \cdot 12\)
\(B = \frac{504}{12}\)
\(B = 42\)
Bölen \(B\) değeri 42'dir. Bölme işleminde kalan kuralına göre \(K < B\) olmalıdır. Burada \(K=1\) olduğundan \(B > 1\) olmalıdır. Bulduğumuz \(B=42\) değeri bu koşulu sağlamaktadır. Bu durumda \(B\) için tek bir değer vardır ve bu değer 42'dir. Dolayısıyla \(B\) yerine gelebilecek en küçük tam sayı değeri 42'dir.